磁通量概念的内涵与外延

24 磁通量概念的内涵与外延

24。.1磁通量的定义式和决定式

BScos是磁通量的定义式，式中θ为面元法线与磁感应线方向的夹角，当面元

法线与磁感应线方向一致（即磁感应线垂直面元）时，上式可简化为BS。另外，如果把感应电动势E

I

与自感电动势EL对比还可以看出，对于电流产生磁场（不存tt

在磁介质）的情况下应该有LI，此式可称为的决定式，即：线圈的自感系数越大，线圈的电流越大，穿过线圈的磁通量也越大。

例1：一间民房的屋顶有如图1中的三种不同盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜。记三种盖法屋顶的面积分别为若屋顶斜面与水P1、P、2P和3P4，平面所成的角都是α，则：（ ）

A．P3＞P2＞P1 B．P3＞P2＝P1 C．P3＝P2＞P1 D．P3＝P2＝P1 分析：这是2001年全国高教数学试题，我们可以从物理角度给出结果：设有与屋顶水平截面相垂直的匀强磁场穿过屋顶，则三种情况下穿过屋顶的磁通量完全相同。由于屋顶面积P满足Pcos＝S，在房屋水平截面S及屋顶斜面倾角α相同的条件下，必定有

①

② 图1

③

P3＝P2＝P1，选D。

24。.2磁通量是双向标量

与电流强度一样，对于磁通量虽然也存在着磁感应线入面方向的问题，但它同样不是矢量而是标量。由于这样标量通常被称为双向标量。

例2：六根相互绝缘的导线，在同一平面内构成四个相等的正方形，导线中通以大小相等的电流，方向如图2所示。在这四个正方形区域中，指向纸内且磁通量最大的区域是：（ ）

A．Ⅰ区 B．Ⅱ区

C．Ⅲ区 D．Ⅳ区

分析：对于每一直线电流产生的磁场，沿电流方向看去，在其左右两侧分别为垂直纸面向外及垂直纸面向里，平面四区域中的磁通量，

正是由这六个直线电流产生的磁场的磁通量

叠加的结果。从等效的角度分析，就相当于一根从右下角到左上角方向直线电流产生的磁场。此时由于在Ⅰ、Ⅳ两区内“”“”相抵，因此净磁通量为零，Ⅲ区为指向纸外最大的区域，Ⅱ区为指向纸内最大的区域，选B。

(xsz：用等效方法求解磁通量，此法妙！) 24。.3、和

图2



t



是磁通量的变化率，即变化的快慢。t



是磁通量的变化量，即变化的大小；

由于变化较为简单的两种模式是：B不变S改变对应切割模型；S不变B改变对应磁变模型，这就给出了通过法拉弟电磁感应定律计算感应电动势大小时两类典型物理问题。

在平动切割模型中，感应电动势的大小可以写成EB

SS，式中的被称为面积变tt

化率，它与开普勒第二定律中“在相等时间内扫过的相等面积”在说法上一致；在转动切割模型中，从线圈平面垂直磁场方向到的中性面开始计时，当t图按余弦规律变化时，et图线按正弦规律变化（图3）。它的物理意义是：“当穿过线圈的磁通量最大时，磁通的变化率最小为零；当穿过线圈的磁通量为零时，穿过线圈的磁通的变化率最大。”这就是数学上“正弦（或余弦）函数图线在峰值处

切线水平，零值处切线的斜率最大”的意思。

图3



R

此结果可借助E及感应电荷量定义式qIt导出，而且 不论磁通量的变化

t

24.4二级结论q

是否均匀，都 可应用此式计算咸应电荷量，只是在线框共n匝的情况下，应该将此式改写为qn



。 R

例3：一边长为50cm的正方形线框，放在B＝0.4T的匀强磁场中，已知图4磁场方向与水平方向成370角,线框电阻R=0.1,在线框绕其一边从水平方向转到竖直方向的过程中,求通过线框导线某一截面的电荷量q.

分析：当线框处于水平位置时，穿过线框的磁通量BSsin37，

磁感应线的入面方

向为：“自下而上”；当线框转到竖直位置时，穿过线框的磁通量BScos37，磁感应线“自右而左”。由于位置Ⅱ时的右面于位置Ⅰ时的上面，因此，在线框转动使磁感应线入面方向改变的情况下，便有

Ⅰ

100

1.4C。 qBScos37BSsin37RR

24.5磁通量与动量定理

磁通量与动量定理间的密切关系，可以通过下面这些例题加以说明。

例4：在光滑水平桌面上，矩形线框以速度V1自左向右进入竖直方向的匀强磁场B，线框离开磁场区域后，其速度减为V2。若匀强磁场B的边界与线框的边严格平行，求图5中线框整体在磁场内的平动时的速度大小。

分析：设线框整体在磁场中的运动速度为V，根据动量定理写出线框进入及离开磁场区域过程中的方程分别为：

mV1VBI1Lt1



mVVBILt222

此时磁场作用于线框单边（进入磁场的前边，离开磁场的后边）的作用力均为阻力。由于两过程穿过线框的磁通量的改变量大小相等，根据q

图5



知I1t1I2t2，因此R

V

V1V2

。线框的速度图线见图6，图中两块阴影部分2

的面积相等。

例5：质量为m的直杆ab可沿“U”形导轨无摩擦地

滑行，匀强磁场的磁感应强度为B，两导轨间的距离为L, 导轨左侧接有电阻R，导轨电阻不计，若给直杆一个平行于导轨的初速度V0，求直杆能够沿导轨滑行的最大距离。

分析：ab杆向运动，切割磁感应线后，回路中产生逆时针方向的感应电流，磁场对电流的作用力方向向左，使ab 杆减速运动。根据动量定理，磁场力的冲量

图7

1图

6

IFBILt

mV，而感应电流对时间的积累



mV0，由于到ab杆恰好静止时磁通的改变量BLXm，，∴BL

RR

mVR

于是给出结果，直杆能沿导轨滑行的最大距离为Xm202。

BLItq

例6： 在图8所示的竖直光滑平行导轨上接有电阻R，匀强磁场B的方向垂直轨道平面，一金属杆ab 以初速度V0沿轨道向上运动，经过一段时间后又滑回初始位置。设轨道足够长，轨道与杆的电阻忽略不计，金属杆回到初始位置时的速度为V1，求杆在磁场中运动的总时间。

分析：在金属杆沿轨道上行的过程中，重力mg及安培力

图

8

R

B2L2VBIL均为阻力，且安培力随杆的减速而逐渐减小，杆做加速度逐渐减小的变减速

RB2L2V

速运动；在杆的下行阶段，重力是动力而安培力是仍为阻力，但由于mg，因此杆

R

做加速度减小的变加速运动，整个过程杆的运动可用图像（图9）定性表示：图中两块的阴影部分的面积相等。以向下为正，分别写出上行和下行过程中杆的动量定理方程：

上行：mgBI1Lt10mV0 下行：mgBI2Lt2mV1

由于前二段的大小相等，根据可知，I1t1I2t2，这意味着与切割速度成正比的安培力的冲量在往返过程中恰好相抵，将上述两式相加可得：

mgt1t2mV0mV1，即t

V0V1

。 g

结合本题的分析过程，使我们联想起一道典型的力学竞赛题： “将物体以初速度V0从地面上竖直上抛，物体落地时的速度为Vt，如果物体运动中的空气阻力与速度成正比，求物体在空中运动的总时间。”

原题提供的解法是：由于fV，因此ft图线与图9几何相似，这就给出了物体上行与下行阶段空气阻力的冲量大小相等、方向相反的结论。

t

V

可见它同例6中借助磁场媒介来分析的方法如出一撤，因此，通过电学模型与力学模型的相似去求解这道力学竞赛题的做法在理论上中完全可行的。