随机振动理论综述

随机振动理论综述

摘要：本文对随机振动理论在现代工程中的应用以及该理论在现阶段的发展做了简要的论述，还简单的说明了随机振动在抗震方面的应用。此外，还介绍了对随机振动理论的分析和计算的方法。最后具体的阐述了随机振动试验的类型和方法。

关键词：随机振动、抗震分析、试验

1、引言

随机振动是一门用概率与统计方法研究受随机载荷的机械与结构系统的稳定性、响应、识别及可靠性的技术学科。[1]

20世纪50年代的中期,为解决航空与宇航工程中所面临的激励的随机性,将统计力学、通讯噪声及湍流理论中已有的方法移植到机械振动中来,初步形成了随机振动这门学科。[2] 1958年在美国麻省理工学院举办的随机振动暑期讨论班以及该讨论班文集的出版可认为是随机振动作为一门学科诞生的标准，此后,随机振动在环境测量、数学理论、振动引起的损伤、系统的识别与诊断、试验技术以及结构在随机荷载下的响应分析与可靠性研究等方面都有了很大的发展。

随机振动理论是机械振动或结构动力学与概率论相结合的产物,而作为一种技术学科乃是由工程实践需要而产生并为工程实践服务的。近10年来,在理论基础、分析方法、数值计算、信号分析测试技术和实验研究、载荷分析、环境减振降噪、设计优化、故障诊断、工程可靠性分析等诸多方面，得到了全方位的发展,结构工程、地震工程、海洋工程、车辆工程、包装工程、机械工程、飞行器、土木工程等方面有了广泛的应用，并与其它相关学科如非线性振动、有限元方法等相结构交叉而产生新的生长点，如非线性随机振动，随机分叉与随机浑沌，随机有限元等方面并取得长足进展，跟上了国际的发展潮流，有些研究达到了国际先进水平，在国际学术交流中发挥了影响。[3]近20年来，我国在随机振动领域做出了多项具有国际影响的突破性成果，包括虚拟激励法、复模态理论、FPK方程的哈密顿理论体系和非线性随机系统的密度演化理论等方面的贡献。

作为机械振动或结构动力学与概率论及其分支相结合的产物，随机振动是关于机械或结构系统对随机激励的稳定性、响应及可靠性的一整套理论的总称，是现代应用力学的一个分支。

2、随机振动在抗震方面的应用

地震是一种能对人类的生产和生活带来极大破坏的自然灾害，对工程结构的破坏更是非常严重，人类一直对其进行研究，以提高工程结构的抗震能力。自1947年Housner首次用随机过程描述地震动以来的半个多世纪，随机振动理论在工程抗震中得到应用并迅速发展，日益成为一种较为先进合理的抗震分析工具。

地震发生的时间、空间和强度特征不仅随时间变化，而且具有明显的随机性。主要表现在:同样的基本条件下得到的地震动时程曲线不相同。地震荷载不同于静载也不同于其他的动力荷载，是一种随机荷载，每次的动力作用的频率样本不一。荷载的频率大小、峰谷值高

低、幅值变化、持续时间长短以及不同幅值各个脉冲的排列顺序都标志着荷载的变化，它们反映出不同的峰值效应、速率效应、往复效应、波序效应和持时效应，从而使受荷载作用的土体动力性质在参数相同的条件下也会表现出不同的响应状态，引起不同的动孔压和动强度。国内外很多学者根据地面运动观测资料的统计分析，提出了相关函数公式或模型，同时考虑了地面运动的随机性、波的传播特性、地面不同激励点之间的相关性，为多点输入的研

[4]究提供必要的前提条件。

以地震作用为例， 讨论线性结构体系复合随机振动问题的计算方法。具有n个自由度的线性结构体系的地震反应方程为：

[M]{}+[C]{}+[K]{y}=-[M]{E}g(t) （1） 式中[M][C][K] 是结构体系的质量矩阵、阻尼矩阵、刚度矩阵，由于结构参数具有随机特性， 因此它们都是随机矩阵; g(t)是输入地震加速度， {E}是惯性指示向量。

若结构体系参数受多个小参数扰动，不失一般性，假定受三个小参数扰动，分别用 η， γ，η表示。这些小参数反映了结构体系的随机性，可模型化为零均值的正态随机场。分别对随机场 β，γ，η进行离散化，可得随机向量：

β={β1，β2，β3，…，βn1}T

γ={γ1，γ2，γ3，…，γn1}T

η={η1，η2，η3，…，ηn1}T （2）

将三个随机向量合在一起，表示为一个总的随机向量:

α ={β1，β2，β3，„，βn1， γ1，γ2，γ3，„，γn1，η1，η2，η3，„，ηn1}

={α1，α2，α3} （3） 其中，m = n1+n2+n3，即α中的随机变量总数是β， γ，η三者随机变量数之和，它包含结构体系中所有的随机扰动信息。很显然，方程(1)所描述的是线性结构体系的复合随机振动问题。[5]

3、随机振动的分析计算方法

3.1线性系统受确定激励时的振动

这类振动间题在传统的振动著作中均有叙述，以单自由度系统求响应的问题为例，必须解下列微分方程:

（4） 式中f(t)为确定性激励力，m、r、k为系统的参数，y(t)为要求的响应，（4）的齐次解就是振动的过渡过程，（4）式的非齐次解就是振动的稳态过程。

对于多自由度系统，必须解下列矩阵形式的微分方程:

（5）

式中{f(t)}为确定性激励列阵，[m]、[r]、[k]分别为质量、阻尼、刚度矩阵，它们表示系统的特性参数，、分别为响应的位移列阵和速度列阵。

对于无限多自由度系统的振动问题，以悬臂梁受基础位移激励u(t)为例(还有弦、膜、板、壳、拱等有类似方法)，响应需从如下偏微分方程求解，即:

（6） 式中为单位长度的质量，C为阻尼系数，I为梁的截面惯矩，E为弹性模量，这些参数综合起来表示系统的动态特性，y(x，t)为响应。

3.2非线性系统受确定性激励的振动

以一种典型的Duffing方程为例，必须从下列微分方程求响应：

（7）

式中f(t)为激励力，m、r、、为系统参数，这些参数比起线性系统来对初始条件或外界激励的依赖特别敏感，从而具有内在的随机性，以至于使响应y(t)出现貌似随机的运动，在近代有关著作中称这种现象为浑沌，它和真正的随机振动外貌上十分相似.它的响应谱也是连续的.但是它又是有确定性规律的。从已有实验观察到的现象与理论推导结果十分吻合，

[6]说明非线性系统受到激励后一定出现浑沌。

3.3随机振动离散分析方法

为了拓宽随机振动离散分析方法的应用范围，本文将考虑线性动力系统在时间相关多白噪声激发作用下的随机振动离散分析方法。涉及这种荷载的研究具有很大的实际意义，例如地震动在大尺度结构(如大跨空间结构，桥梁和水坝等)上产生的荷载输入都是时间相关的。

结构体系的动力微分方程可写为:

t （8）mxcxkxqs ,分别是结构各自由度的xx其中m，c，k分别是结构体系的质量阵、阻尼阵和刚度阵。,xs位移、速度和加速度向量;t为结构受到的外部激发向量q为表示激发作用位置的矩阵。

本文中矩阵用英文字母下加波浪号表示。

离散化方法在工程结构的力学性能分析中得到了极为广泛的应用。有限元、边界元等方法在空间把结构离散化，从而为规范地数值分析多维复杂结构奠定了基础;而直接积分法，则把连续的时间轴离散化，为结构确定性动力反应的数值分析开辟了道路。但是离散化方法在结构随机振动分析中却迟迟没有得到广泛的应用。这里面的原因很多。本文想就工程结构的离散随机振动这个新领域做些尝试性工作。首先我们从结构的二阶动力微分方程出发，把它化成结构状态方程，然后进行离散化，作离散随机振动分析。对一般的工程结构来说，不难建立它的动力微分方程式。所以，叙述的方法对一般结构都能适用。

通过空间离散化法，我们可以把结构动力微分方程写成下列标准形式:

mXCXKXPt （9）

这里[m]是结构的质量阵；[C]自是结构的阻尼阵；[K]是结构的刚度阵；p(t)是外荷载向量；

XXX是运动状态向量。

4、随机振动试验

4.1随机振动试验中的几个术语

频率范围:是指随机信号的有效频率成份的带宽。

加速度谱密度(或称功率谱密度):表示随机信号的各个频率分量所包含的功率(或称能量)在频域上是怎样分布的，通常用PSD来表示，单位为g2/Hz。它在频域上分布的曲线图称为谱图(简称谱)。横坐标为频率，纵坐标为功率谱密度g2/Hz(称功率谱)。

参考谱:试验用的输入的规范标准谱图，称参考谱。指从现场环境中实地采集的随机信号经过数字处理后，提供给试验室真实再现现场振动环境的试验规范标准图谱。

控制谱:又称响应谱，是指在振动台面上从安装在控制点的传感器采集到实际的随机信号谱图。从试验的真实性上讲，控制谱和参考谱应该是一致的。但由于随机信号的不确定性以及振动试验系统本身存在的细微的时变性，使得控制谱和参考谱存在一定的误差。这个误差通常用容差带来表示，其单位是dB。

驱动谱:是指随机振动控制仪直接输出去驱动功率放大器的随机信号谱图。它实际上是响应谱与参考谱比较进行修正后产生的随机振动信号谱图。之所以要进行修正是功放、振动台、试件和夹具的频率特性(也称传递函数)影响了振动台面控制点上控制谱(响应谱)，使得响应谱与参考谱存在一定的差异。

动态范围:是描述一个随机控制仪克服振动试验系统固有频率特性，使控制谱与参考潜的误差在一定范围内的最大控制能力。动态范围通常分控制谱动态范围与驱动谱动态范围。控制谱动态范围是指控制谱上最大功率谱密度与最小功率谱密度之间的差。驱动谱动态范围是指为了使控制谱与参考谱的误差达到一定范围，输入到功放上的驱动谱上最大功率谱密度与最小功率谱密度之间的差。由于受试验频率特性的影响，通常控制谱动态范围要小于驱动谱动态范围。

控制精度:是指描述随机振动控制仪台面控制点上的控制谱(响应谱)与试验规范所要求的参考谱之间误差的大小。控制精度与置信度有关，置信度越高，控制精度也就越高，一般是指在90%置信度下的控制精度。

回路时间:回路时间是指一个驱动谱经过IFFT、D/A变换、抗混淆滤波、由输出放大器从随机控制仪输出送入功率放大器推动振动台，再由控制点上的传感器将响应信号检测出来，经电荷放大器反馈到随机振动控制仪，再经抗混淆滤波器A/D采样，FFT变换后产生新的驱动谱，这样一个过程所需的时间。

4.2 随机振动试验的类型

根据样品所处的环境类别确定所采用的试验条件、试验方法和试验程序，随机振动试验按实际环境要求有以下几种类型:

1.宽带随机振动试验，这是应用最广泛的随机振动试验。

2.窄带随机振动试验，这种随机振动有一中心频率，有一定带宽，但带宽内功率谱密度是不变的。这种窄带随机的中心频率可以变化，这就是窄带随机扫描试验，也是在宽带随机振动试验不易实现时提出的一种变通方法，它比正弦扫描进了一步，其幅值在均方根值附近变化且有一定的随机特性，但不能各种频率同时激振。

3.宽带随机加上一个或数个正弦信号，这是直升飞机的振动环境。

4.宽带随机加上一个或数个窄带随机，这是履带式载重车的运输振动环境。 [7]

4.3随机振动的预试验

一般随机振动试验在准备工作做完后都要进行预试验，其目的是通过小量级的振动试验了解系统工作是否正常，试件安装是否合适，并了解试验的振动特性，观察控制曲线和驱动曲线，估计正式试验是否会有什么问题，想办法解决出现的各种问题。

4.3.1用试验量级的1/4(一12dB)进行随机振动的预试验时间60S，记录全部测点响应，画出控制曲线及驱动曲线，观察功放最大的输出电压和电流。通过试验了解各驱动曲线的动态范围是否快达到控制仪的极限，功放的最大输出电压和电流是否小于额定值的l/4。研究这些问题是为了估计满量级试验是否有把握。

4.3.2频率特性的测量，用正弦振动测量试件的频率特性，选择试件上有代表性的若干个测点，给振动台施加一定加速度值，当加速度谱密度

当加速度谱密度在(0.05一0.2) g2/Hz时，正弦加速度幅值1.5 g，当加速度谱密度>0.2g2/Hz时，正弦加速度幅值为2.0g。在整个试验频率范围内进行扫描试验，扫描速率为loct/min，记录下各钡焦的频率响应曲线。

4.3.3试验样品的初始检查，许多试件要在试验过程中通电工作，试验前必须对样品进行检查通电测试，记录一下初始检测数据。

4.4正式随机振动试验

一般试验要进行X、Y、Z三个方向的试验，三个方向依次进行，但换一个方向后应从预试验开始，因为更换方向，许多部分都要重新连接，重新安装。每一个方向正式试验完毕，记录下各测点的频率响应曲线和试验样品在试验台上的安装方式，以便试验检测报告的编制。

5.结束语

当今世界科学的发展潮流是多种学科的相互渗透，交叉和综合发展，随机振动的发展已经证实并将继续遵循这一路线前进。从大的方面不确定性的处理在工程系统的优化或合理化设计提出的工程设计理论已经综合模糊随机振动理论、随机可靠性理论、优化设计方法和专家系统，这一领域仍将继续发展扩充和成熟起来。而非线性随机振动、随机分叉和随机浑沌的诸多方面理论和实践也有待深入，时域离散化与空间离散化技术的结合的动力随机有限元方法也将不仅应用于系统的工程领域而将发展到相关的流体力学、传热传质等各种偏微分方程的求解，在解决具有不确定性和非线性的工程领域中，有着广阔的发展和应用前景。其中数字的采集、传感器、分析处理的数值方法软件和实验技术也是其重要的基础。

随机振动理论研究十分重要，论文数量不少，国外关于平稳的、各态历经的、正态分布的线性系统随机振动问题理论上已基本解决，但对非线性、非平稳、多自由度系统及参变系统等问题尚待进一步研究。

总之，随机振动理论的发展还在进行之中，仍然需要我们不断地努力去探索随机振动理论在在新的方向中的应用。随机振动是振动的一门新分支，它有着广阔的研究前景和广泛的实用价值。

参考文献

[1] 朱位秋. 随机振动[M].北京:科学出版社，1992.

[2] Riee,S.0,Mathematieal analysis of random noise, Bell Sys.Tech.J.23(1944),282-232。

[3] 张森文，庄表中，欧阳怡，等. 我国随机振动研究近10年来的进展[J].振动与冲击，

1997，16（3）：1-9.

[4] 郝婷玥，付爱华. 随机振动理论在工程抗震中的应用[J].水利科技与经济， 2011，

17(1)：46-48.

[5] 楼梦麟. 多自由度线性结构复合随机振动分析的计算方法[A]. 2005年上海市国际工业

博览会第三届上海市“工程与振动”科技论坛论文集[C]. 2005

[6] 朱位秋. 非线性随机振动理论的近期进展[J].力学进展，1994，24（2）：163-172.

[7] 蒋瑜， 陈循. 非高斯随机振动试验技术及应用[A]. 2012年全国机械行业可靠性技术

学术交流会暨第四届可靠性工程分会第四次全体委员大会论文集[C]. 2012

[8] 王光远，欧进萍. 在地震作用下结构的模糊随机振动[J].力学学报，1988，20（2）：

当加速度谱密度在(0.05一0.2) g2/Hz时，正弦加速度幅值1.5 g，当加速度谱密度>0.2g2/Hz时，正弦加速度幅值为2.0g。在整个试验频率范围内进行扫描试验，扫描速率为loct/min，记录下各钡焦的频率响应曲线。

4.3.3试验样品的初始检查，许多试件要在试验过程中通电工作，试验前必须对样品进行检查通电测试，记录一下初始检测数据。

4.4正式随机振动试验

一般试验要进行X、Y、Z三个方向的试验，三个方向依次进行，但换一个方向后应从预试验开始，因为更换方向，许多部分都要重新连接，重新安装。每一个方向正式试验完毕，记录下各测点的频率响应曲线和试验样品在试验台上的安装方式，以便试验检测报告的编制。

5.结束语

当今世界科学的发展潮流是多种学科的相互渗透，交叉和综合发展，随机振动的发展已经证实并将继续遵循这一路线前进。从大的方面不确定性的处理在工程系统的优化或合理化设计提出的工程设计理论已经综合模糊随机振动理论、随机可靠性理论、优化设计方法和专家系统，这一领域仍将继续发展扩充和成熟起来。而非线性随机振动、随机分叉和随机浑沌的诸多方面理论和实践也有待深入，时域离散化与空间离散化技术的结合的动力随机有限元方法也将不仅应用于系统的工程领域而将发展到相关的流体力学、传热传质等各种偏微分方程的求解，在解决具有不确定性和非线性的工程领域中，有着广阔的发展和应用前景。其中数字的采集、传感器、分析处理的数值方法软件和实验技术也是其重要的基础。

随机振动理论研究十分重要，论文数量不少，国外关于平稳的、各态历经的、正态分布的线性系统随机振动问题理论上已基本解决，但对非线性、非平稳、多自由度系统及参变系统等问题尚待进一步研究。

总之，随机振动理论的发展还在进行之中，仍然需要我们不断地努力去探索随机振动理论在在新的方向中的应用。随机振动是振动的一门新分支，它有着广阔的研究前景和广泛的实用价值。

参考文献

[1] 朱位秋. 随机振动[M].北京:科学出版社，1992.

[2] Riee,S.0,Mathematieal analysis of random noise, Bell Sys.Tech.J.23(1944),282-232。

[3] 张森文，庄表中，欧阳怡，等. 我国随机振动研究近10年来的进展[J].振动与冲击，

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[4] 郝婷玥，付爱华. 随机振动理论在工程抗震中的应用[J].水利科技与经济， 2011，

17(1)：46-48.

[5] 楼梦麟. 多自由度线性结构复合随机振动分析的计算方法[A]. 2005年上海市国际工业

博览会第三届上海市“工程与振动”科技论坛论文集[C]. 2005

[6] 朱位秋. 非线性随机振动理论的近期进展[J].力学进展，1994，24（2）：163-172.

[7] 蒋瑜， 陈循. 非高斯随机振动试验技术及应用[A]. 2012年全国机械行业可靠性技术

学术交流会暨第四届可靠性工程分会第四次全体委员大会论文集[C]. 2012

[8] 王光远，欧进萍. 在地震作用下结构的模糊随机振动[J].力学学报，1988，20（2）：

173-181.

[9] 殷雪岩. 随机振动试验技术研究[J].北京航空航天大学学报，1995，21（4）：119-123.