2014年广西高二数学竞赛初赛试卷及答案

2014年广西高二数学竞赛初赛试卷及答案

9月24日

一、选择题（每小题6分，共36 分）

1、设[x ]表示不大于x 的最大整数，集合A ={x |x 2-2[x ]=3}，B ={x |（ B ）.

A. {1,

B. {-

1 C.{-

1 D. {-

1

⎧x 2-2[x ]=3

解：由 x ∈A B ，知 ⎨，所以 [x ]只可能取 -3，-2，-1，0，1，2.

⎩-3

经检验知，[x ]只可能取 -1，2，

故x =-1, 故选B.

2、已知△ABC 的三个顶点A 、B 、C 及平面内一点P 满足PA +PB +PC =0，若实数λ满足：的值为（ C ） AB AB ++AC =λAP , 则则λ值为 A.2 B.

3

C.3 D.6 2

解：由PA +PB +PC =0知，点P 为△ABC 的重心，故有+=3，所以选C 。 3、已知{a n }是等比数列，a 3=2, a 6=（ D ）.

A .[128,168) B .[解：易知公比q =

1

，则a 1a 2+a 2a 3+4

+a n a n +1(n =1, 2, ) 的取值范围是

[1**********], ) C .[16,) D .[32,) 3333

112

，所以 a 1=8，从而数列{a n a n +1}是以a 1a 2=32为首项，q =为公比的等比24

数列. 于是，利用前n 项和公式不难得出 32=a 1a 2≤a 1a 2+a 2a 3+4、设a =s i n (s i n 2010) ,

+a n a n +1

128

.故选D. 3

s i n (c b o s2=010) , c o s (s i n 2010) c , =c d =o s (c o s2010) ，则a , b , c , d 的

大小关系是（ B ）.

A . a 解：因 2010=5⨯360+180+30，所以 a =sin(-sin30) =-sin(sin30)

b =sin(-cos30) =-sin(cos30)

1

c =cos(-sin30) =cos(sin30) >0, d =cos(-cos30) =cos(cos30) >0

又 sin 305、若关于x 的方程x -ax +1-a =0在区间[2,+∞) 上有解，则a 的取值范围是（ D ）.

2

5A . (1,)

325B .[, ]334C . (, 2]

35

D .[, +∞)

3

x 2+12

=(x +1) +-2. 令t =x +1≥3，则 解：由原方程，有a =

x +1x +1

a =f (t ) =t +

2

-2(t ≥3) t

55

，即当a ≥时原方程在区间[2,+∞) 上

33

由于f (t ) 在[3,+∞) 上为单调增函数，因此 a ≥f (3)=有解. 故选D.

6、已知函数f (x ) 满足：f (p +q )= f(p ) f(q ) ，f (1)= 3，则

22222

f f (1) +f (2) f (2) +f (4) f (3) +f (6) f (4) +f (8) ++++(5) +f (10) 的值为（ B ）

f (9) f (1) f (3) f (5) f (7)

A.15 B.30 C.75 D.60

解法1：由f (p +q )= f(p ) f(q ) ，f (1)= 3，得f (2)=32，f (3)=33，f (4)=34，f (5)=35，f (6)=36，……，从而有 f 2(1) +f (2) +f 2(2) +f (4) +f 2(3) +f (6) +f 2(4) +f (8) +f 2(5) +f (10) ＝30。故选B .

f (9) f (1) f (3) f (5) f (7)

解法2：由f (p +q )= f(p ) f(q ) ，f (1)= 3，令f (x ) =3，从而有

f 2(1) +f (2) +f 2(2) +f (4) +f 2(3) +f (6) +f 2(4) +f (8) +f 2(5) +f (10) ＝30。故选B . f (9) f (1) f (3) f (5) f (7)

x

二、填空题（每小题9分，共54分）

1、某运动会开了n 天（n >1），共颁发了m 个奖牌，第一天发出1个加上余下的（m -1）个的第二天发出2个加上余下的

1

，7

1

；如此继续到n -1天，第n 天发出n 个，恰好把奖牌发完。则7

m +n = .

解：设k 天后，剩下a k 个奖牌，则第k 天发出奖牌数为 k +故 a k =a k -1-[k +所以 a k -1=k +

1

(a k -1-k ) 。 7

1

(a k -1-k )] 7

7

a k 。即 6

2

777

m =1+a 1=1+(2+a 2) =

666

7727n -17n

=1+2⋅+3⋅() + +n ⋅() +() a n

6666

因为a n =0，所以m =36+(n -6)() 。又因为m ∈N ，故n =6,m =36.

2、用1，2，3，4，5排成一个五位数，使任意相邻数码之差至少是2，则这种五位数有 个。

解：填14.

先排该五位数的中间数，共有以下14个数满足要求：

24135,24153,35142,53142，14253,35241,25314,41352,31425,52413，13524,31524,42513,42531. 3、方程cos(15θ) =cos(3θ) 在[0,π]上的根的个数为________.

解：令x =3θ，则x ∈[0,3π]. 方程变为 cos5x =cos x ，所以 5x =2k π±x ，即

76

n

x =

k πk π

(k ∈Z ) . 或x =

23

当x 为π的整数倍时，同时满足上面两式且在[0,3π]上的有4个值； 当x 不是π的整数倍时，在[0,3π]上有3个值满足x =因此，原方程在[0,π]上共有4+3+6=13个根. 4、在1到2010的所有正整数中，满足1+2+为 。 解：填1，由于有求和公式： 1+2+ +n =

2

2

2

2

2

k πk π

，有6个值满足x =. 23

+n 2整除13+23++n 3的所有正整数n 的和

n (n +1)(2n +1)

，

6

2

⎡n (n +1) ⎤

13+23+ +n 3=⎢⎥ 2⎣⎦

n (n +1)(2n +1) 由题意，得

6

⎡n (n +1) ⎤

⎢2⎥⇒(2n +1) ⎣⎦

2

3

n (n +1). 2

又 (2n +1, n ) =1，(2n +1, n +1) =1， ∴(2n +1) 3, 故仅有解n =1。

a , b , c 分别是角A , B , C 所对边的边长，5、在∆ABC 中，若cos A +sin A -

的值是_______. 解：由已知等式，有

a +b 2

=0，则

c cos B +sin B

3

A +

π

4

) -

2

B +)

4

ππ

即 sin(A +)sin(B +) =1.

44

由正弦函数的有界性及A , B 为三角形内角可知，sin(A +

=0，

π

) =1且sin(B +) =1，从而

44

π

A =B =

π

4

， 所以 C =

π

2

，因此

a +b

=sin A +sin B =. c

6

、若函数f (x ) =log a (x +（a>0且a ≠1）是奇函数，则a +b =

解：填

+1. 由奇函数的性质，知 2

2a 2=0，即2a 2=1, 解得a =

f (0) =l o g a

2

（舍去负值）， 2

于是f (x ) =log

2

(x +2+1)

又0=f (x ) +f (-x ) =log =log

2

(x ++1) +log 2

2

(-x ++1) 2

2

2

[(b -1)x

2

+1

]

2

于是(b -1) x =0恒成立，故b =1.

三、解答题（每小题20分，共60 分）

1-m (x -2)(a >0, a ≠1)，1、已知函数f (x )=l o a

x -3

对定义域内的任意x 都有

（1）求实数m 的值；（2）若当x ∈(b , a )时，f (x )的取值范围恰为f (2-x )+f (2+x )=0成立．

(1, +∞)，求实数a , b 的值．

解：（1）由f (x )=log a

1-m (x -2)及f (2-x )+f (2+x )=0可得： x -3

log a

1-m ((2-x )-2)1-m ((2+x )-2)+log a =0 ，解之得：m =±1．

2-x -32+x -3

当m =1时，函数f (x )无意义，所以，只有m =-1．--------------------------------------10分

4

（2）当m =-1时，f (x )=log a

x -1

，其定义域为 x -3

(-∞, 1)⋃(3, +∞). (b , a )⊂(-∞, 1)或(b , a )⊂(3, +∞)．

①若(b , a )⊂(3, +∞)，则3≤b

x -1

在x -3

(3, +∞)上的单调性．

下证f (x )在(3, +∞)上单调递减．任取x 1, x 2∈(3, +∞)，且x 1

x 1-1x 2-13(x 2-x 1)-=>0 x 1-3x 2-3x 1-3x 2-3x 1-1x -1

，即f (x 1)>f (x 2)． >log a 2

x 1-3x 2-3

又a >1，所以，log a

所以，当(b , a )⊂(3, +∞)，f (x )在(3, +∞)上单调递减------------------------------------------15分 由题：x ∈(b , a )时，f (x )的取值范围恰为(1, +∞)，所以，必有b =3且f (a )=1，解之得：a =2+（因为a >3，所以舍去a =2-）

②若(b , a )⊂(-∞, 1)，则b 0, a ≠1，所以，0

此时，同上可证f (x )在(-∞, 1)上单调递增（证明过程略）．所以，f (x )在(b , a )上的取值范围应为(f (b ), f (a ))，而f (a )为常数，故f (x )的取值范围不可能恰为(1, +∞)．所以，在这种情况下，a , b 无解．综上，符合题意的实数a , b 的值为a =2+，b =3。---------------------------------------20分 2、如右图，过点P 任作⊙O 的两条割线PAB 、PCD , 直线AD 与BC 交于Q ，弦DE //PQ , BE 交直线PQ 于M , 求证：OM ⊥PQ .

P

证明：由∠PCB =∠DEB =∠PMB ,

O

5

得P 、B 、M 、C 四点共圆。 ------------5分 由QP ∙QM =QC ∙QB =QA ∙QD ,

得P 、A 、M 、D 四点共圆.----------------10分

连接 MD , 则∠EDM =∠PMD =∠PAD =∠DEM ----------------------------15分 于是 MD =ME , 又OD =OE , 所以OM ⊥DE , 则OM ⊥PQ ---------------------20分

3、证明：方程6(6a 2+3b 2+c 2) =5n 2有唯一一组整数解.

证明：易知 a =b =c =n =0是方程的一组整数解.-------------------------5分 而对于方程的任一组整数解(a , b , c , n ) ，显然6|n . 令n =6n 1，则 6a 2+3b 2+c 2=30n 12，知3|c ，令c =3c 1，代入得2a 2+b 2+3c 12=10n 12.

因此，只要证明方程 2x 2+y 2+3z 2=10w 2没有使w >0的整数解，否则，将有一组这种解使w 取最小正值.-----------------------------------------------------10分

因y 2+3z 2为偶数，所以y 与z 同奇偶，但若y 与z 同为奇数， 则y 2≡z 2≡1(mod8),2x ≡0或2(mod8),10w 2=0或2(mod8)，从而

2x 2+y 2+3z 2≡4或6(mod8)，不可能等于10w 2，因此，y 与z 同为偶数.---------15分 令y =2y 1, z =2z 1，代入得 x 2+2y 12+6z 12=5w 2，于是同理可证，x 与w 必同为偶数. 令x =2x 1, w =2w 1，代入得 2x 12+y 12+3z 12=2w 12，但0

6