求函数定义域和值域方法和典型题归纳
求函数定义域、值域方法和典型题归纳
一、基础知识整合
1.函数的定义:设集合A和B是非空数集,按照某一确定的对应关系f,使得集合A中任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)与之对应。则称f:为A到B的一个函数。
2.由定义可知:确定一个函数的主要因素是①确定的对应关系(f),②集合A的取值范围。由这两个条件就决定了f(x)的取值范围③{y|y=f(x),x∈A}。
3.定义域:由于定义域是决定函数的重要因素,所以必须明白定义域指的是:
(1)自变量放在一起构成的集合,成为定义域。
(2)数学表示:注意一定是用集合表示的范围才能是定义域,特殊的一个个的数时用“列举法”;一般表示范围时用集合的“描述法”或“区间”来表示。
4.值域:是由定义域和对应关系(f)共同作用的结果,是个被动变量,所以求值域时一定注意求的是定义域范围内的函数值的范围。
(1)明白值域是在定义域A内求出函数值构成的集合:{y|y=f(x),x∈A}。 (2)明白定义中集合B是包括值域,但是值域不一定为集合B。 二、求函数定义域
(一)求函数定义域的情形和方法总结
1已知函数解析式时:只需要使得函数表达式中的所有式子有意义。 (1)常见要是满足有意义的情况简总:
①表达式中出现分式时:分母一定满足不为0;
②表达式中出现根号时:开奇次方时,根号下可以为任意实数;开偶次方时,根号下满足大于或等于0(非负数)。
③表达式中出现指数时:当指数为0时,底数一定不能为0. ④根号与分式结合,根号开偶次方在分母上时:根号下大于0. ⑤表达式中出现指数函数形式时:底数和指数都含有x,必须满足指数底数大于0且不等于1.(01)
⑥表达式中出现对数函数形式时:自变量只出现在真数上时,只需满足真数上所有式子大于0,且式子本身有意义即可;自变量同时出现在底数和真数上时,要同时满足真数大于0,底数要大于0且不等于1.
2
(f(x)=logx(x-1))
注:(1)出现任何情形都是要注意,让所有的式子同时有意义,及最后求的是所有式子解集的交集。 (2)求定义域时,尽量不要对函数解析式进行变形,以免发生变化。(形
如:
f(x)=
x
2
)
x
2.抽象函数(没有解析式的函数)
解题的方法精髓是“换元法”,根据换元的思想,我们进行将括号为整体的换元思路解题,所以关键在于求括号整体的取值范围。总结为: (1)给出了定义域就是给出了所给式子中x的取值范围; (2)在同一个题中x不是同一个x;
(3)只要对应关系f不变,括号的取值范围不变。
(4)求抽象函数的定义域个关键在于求f(x)的取值范围,及括号的取值范围。
例1:已知f(x+1)的定义域为[-1,1],求f(2x-1)的定义域。 解:∵f(x+1)的定义域为[-1,1];(及其中x的取值范围是[-1,1])
∴0≤x+1≤2 ; (x+1的取值范围就是括号的取值范围)
∴f(x)的定义域为[0,2];(f不变,括号的取值范围不变) ∴f(2x-1)中
0≤2x-1≤2 12
32
∴-≤x≤
⎧⎩
12
3⎫⎬ 2⎭
∴f(2x-1)的定义域为⎨x|-3.复合函数定义域
≤x≤
复合函数形如:y=f(g(x)),理解复合函数就是可以看作由几个我们熟悉的函数组成的函数,或是可以看作几个函数组成一个新的函数形式。 例2:
若函数f(x)的定义域为(-2,3),g(x)=f(x+1)+f(x-2),求g(x)的定义域。
分析:由题目可以看出g(x)是由y=x+1、y=x-2和y=f(x)三个函数复合起来的新函数。此时做加运算,所以只要求出f(x+1)和f(x-2)的定义域,再根据求函数定义域要所有式子同时满足,即只要求出f(x+1)和f(x-2)的定义域的交集即可。
解:由f(x)的定义域为(-2,3),则 f(x+1)的定义域为(-3,2),f(x-2)的定义域为(0,4);
⎧-3
∴⎨,解得0
所以,g(x)的定义域为(0,2).
(二)求定义域的典型题 1.已知函数解析式 (1)求下列函数的定义域
(1)f(x)=
1x+3
;(2)f(x)=(x+1)+
(3)f(x)=
x-1x-1
2
;
(4)f(x)=(x-1)
x+2
;(5)f(x)=log(2x-3)(x-
2
14
);(6)f(x)=
12-x
+(2)求下列函数的定义域
(1)f(x)=
x-1(2)f(x)=
x-
12
(3)f(x)=(4)f(x)=
(3)与函数定义域有关的问题题 ①若函数f(x)=
x-4
x+(2m+1)x+m
2
2
的定义域为R,求实数m的取值范围。
②函数y=
R,求k的取值范围。
③函数f(x)=R,求m的取值范围。
2.求抽象数定义域
①若函数f(x)的定义域为(-2,6),求f(
12
x-1)的定义域。
f(2x)x-1
②若数f(x)的定义域为[0,2],求函数g(x)=的定义域。
③若数f(x-1)的定义域为[-1,2],
求函数g(x)=f(x+2)+定义域。
的
④若函数f(x)的定义域为[0,1],g(x)=f(x+a)+f(x-a),(a≤求函数g(x)的定义域。
12
),
⑤若f(x)=loga(x+1),g(x)=loga(1-x),(a>0,且a≠1),令 F(x)=f(x)-g(x),求F(x)的定义域。 二、求函数值域
(一)求函数值域方法和情形总结
1.直接观察法(利用函数图象)
一般用于给出图象或是常见的函数的情形,根据图象来看出y值的取值范围。 2.配方法
适用于二次函数型或是可以化解成二次函数型的函数,此时注意对称轴的位置,在定义域范围内(以a
例1:求f(x)=x2-4x+6在[1,5]上的值域. 解:配方:f(x)=(x-2)2+2 f(x)的对称轴为x=2在[1,5]中间
ymin=f(2)=2
(端点5离x=2距离较远,此时为最大值)
ymax=f(5)=11
所以,f(x)的值域为[2,11]. 3.分式型
(1)分离常量法:应用于分式型的函数,并且是自变量x的次数为1,或是可以看作整体为1的函数。具体操作:先将分母搬到分子的位子上去,观察与原分子的区别,不够什么就给什么,化为y=a+例2:求f(x)=
5x-14x+2
的值域.
dbx+c
。
5
解:f(x)=
5x-14x+2
=(4x+2)-1-
4x+2
10
7=5-
42(4x+2)
由于分母不可能为0,则意思就是函数值不可能取到即:函数f(x)的值域为{y|y≠
54}.
54
,
跟踪练习:已知f(x)=ax2+4(a+1)x-3(x∈(0,2])在x=2处有最大值,
⎡1⎫
,+∞⎪ ⎢2⎣⎭
求a的取值范围.
(2)利用x2≥0来求函数值域:适用于函数表达式为分式形式,并且只出现x2形式,此时由于为平方形式大多时候x可以取到任意实数,显然用分离常量法是行不通,只有另想它法(有界变量法)。 例3:求函数f(x)=
3x-1x+2
22
的值域.
解:由于x2+2不等于0,可将原式化为 yx2+2y=3x2-1
即 (y-3)x2=-1-2y(由于x2≥0) 只需y≠3,则有
-1-2yy-
3
x2=≥0y-3)(-1-2y)≥0
所以,函数值域y∈⎢-
⎣
⎡1
⎫,3⎪. 2⎭
2
(3)方程根的判别式法:适用于分式形式,其中既出现变量x又出现x
混合,此时不能化为分离常量,也不能利用上述方法。对于其中定义域为R的情形,可以使用根的判别式法。 例4:求函数y=
2xx+1
2
的值域
解:由于函数的定义域为R,即x2+1≠0 原式可化为 yx2-2x+y=0
(由于x可以取到任意的实数,那么也就说总有一个x会使得上述方程有实数根,即方程有根那么判别式大于或等于0,注:这里只考虑有无根,并不考虑根为多少)
所以,∆=4-4y2≥0 所以,函数值域为y∈[-1,1] 跟踪练习:求下列函数值域 (1)y=
11+x
(2)y=
1-x1+x
22
(3)y=
11+x
2
)= (4y
x+2x+3x+6
2
(5)若y=log3
mx+8x+n
x+1
2
2
的定义域为R,值域为[0,2],求常数m,n
的值(m=n=5)
4.换元法
通过换元将一个复杂的问题简单化更便于求函数值域,一般函数特征是函数解析式中含有根号形式,以及可将问题转换为我们熟悉的函数形式等问题。而换元法其主要是让我们明白一种动态的方法来学习的一种思路,注重换元思维的培养,并不是专一的去解答某类问题,应该多加平时练习。注:换元的时候应及时确定换元后的元的取值范围。 例5
:求函数f(x)=2x-
解:令t=
2
2
t≥0,则x=t+1,带入原函数解析式中得
2
y=2(t+1)-t=2t-t+2=2(t-
因为,t≥0
所以,函数的值域为y∈⎢,+∞⎪.
⎣8⎭跟踪练习:求下列函数的域
⎡15
⎫
14
)+
2
158
(1)y=2sinx-3cosx-1 (2
)y=2x+1+
2
(3)y=sinx+cosx+sinxcosx,(令t=sinx+cosx)
(4) y=x+4+
(令x=3cosθ(θ∈[0,π]))