函数自变量取值范围的确定方法
函数自变量取值范围的确定策略
金山初级中学 庄士忠 201508
函数是初中数学一个十分重要的内容,为保证函数式有意义或实际问题有意义,函数式中的自变量取值通常要受到一定的限制,这就是函数自变量的取值范围。函数自变量的取值范围是函数成立的先决条件,初中阶段确定函数自变量的取值范围大致可分为三种类型:(1)函数关系式中函数自变量的取值范围;(2)实际问题中函数自变量的取值范围;(3)几何问题中函数自变量的取值范围。
一、 函数关系式中函数自变量的取值范围:
初中阶段,在一般的函数关系中自变量的取值范围主要考虑以下四种情况:(1)函数关系式为整式形式:自变量取值范围为任意实数;(2)函数关系式为分式形式:分母≠0;
(3)函数关系式含算术平方根:被开方数≥0;(4)函数关系式含0指数:底数≠0。 典型例题:
例1:
函数x的取值范围在数轴上可表示为【 】
A.B.C.D.
【分析】
根据二次根式有意义的条件,计算出不等式的解集在数轴上表示的方法:>,≥向右画;<,≤向左画,在表示解集时“≥”,“≤”要用实心圆点表示;“<”,“>”要用空心圆点表示。根据二次根式被开方数必须是非负数的条
件,要使x10 x
1。故在数轴上表示为:
。故选D。
例2:函数y=1 中自变量x取值范围是【 】A.x=2 B.x≠2 C.x>2 D.x<2 x2
1在实数范围内有意义,必须x20x2。故选B。 x2
【分析】求函数自变量的取值范围,就是求函数解析式有意义的条件,根据分式分母不为0的条件,要使例3:
函数x的取值范围是【 】A.x>﹣2 B.x≥2 C.x≠﹣2 D.x≥﹣2
【分析】求函数自变量的取值范围,就是求函数解析式有意义的条件,根据二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为0
的条件,要使在实数范围内有意义,必须
x+20x2x>2。故选A。 x+20x2
1 】象限 A.第一 B.第一、三 C.第二D.第二、四 x
1【分析】
∵函数yx0,∴y0,∴根据面直角坐标系中各象限点的x例4:
函数y
特征知图像在第一象限,故选A。
二、实际问题中函数自变量的取值范围:在实际问题中确定自变量的取值范围,主要考虑两个因素:(1)自变量自身表示的意义,如时间、路程、用油量等不能为负数;(2)问题中的限制条件,此时多用不等式或不等式组来确定自变量的取值范围。
典型例题:
例1:某工厂生产一种产品,当生产数量至少为10吨,但不超过50吨时,每吨的成本y(万元/吨)与生产数量x(吨)的函数关系式如图所示.(1)求y关于x的函数解析式,并写出它的定义域;(2)当生产这种产品的总成本为280万元时,求该产品的生产数量. (注:总成本=每吨的成本×生产数量)
【分析】(1)利用待定系数法求出一次函数解析式即可,
根据当生产数量至少为10吨,但不超过50吨时,得出x的定义域。(2)根据总成本=每吨的成本×生产数量,利用(1)中所求得出即可。
【答案】解:(1)利用图象设y关于x的函数解析式为y=kx+b,
1k=10k+b=10将(10,10)(50,6)代入解析式得:,解得:10。 50k+b=6b=11
1x+11(10≤x≤50)。 10
1(2)当生产这种产品的总成本为280万元时,x(x+11)=280,解得:10∴y关于x的函数解析式为y=
x1=40,x2=70(不合题意舍去)。∴该产品的生产数量为40吨。
例2:某私营服装厂根据2011年市场分析,决定2012年调整服装制作方案,准备每周(按
120工时计算)制作西服、休闲服、衬衣共360件,且衬衣至少60件。已知每件服装的收入和所需工时如下表:
设每周制作西服x件,休闲服y件,衬衣z件。
(1) 请你分别从件数和工时数两个方面用含有x,y 的代数式表示衬衣的件数z。
(2) 求y与x之间的函数关系式。 (3) 每周制作西服、休闲服、衬衣各多少件时,才能使总收入最高?最高总收入是多少?
【分析】(1)题目中的已知条件分别从件数和工时数两个方面用含x,y的关系式表示z。
(2)由(1)整理得:y=360-3x。
(3)由题意得s=3x+2y+z,化为一个自变量,得到关于x的一次函数。由题意得2x60,解得30≤x≤120,从而根据一次函数的性质作答。 x0
3603x0
【答案】解:(1)从件数方面:z=360-x-y, 从工时数方面:由
得:z=480-2x-111x+y+z=120整理23444y。(2)由(1)得360-x-y=480-2x-y,整理得:y=360-3x。 33
(3)由题意得总收入s=3x+2y+z=3x+2(360-3x)+2x=-x+720
2x60由题意得x0,解得30≤x≤120。
3603x0
由一次函数的性质可知,当x=30的时候,s最大,即当每周生产西服
30件,休闲服270件,衬衣60件时,总收入最高,最高总收入是690百元。
例3:某科技开发公司研制出一种新型产品,每件产品的成本为2400 元,销售单价定为3000 元.在该产品的试销期间,为了促销,鼓励商家购买该新型产品,公司决定商家一次购买这种新型产品不超过10 件时,每件按3000 元销售;若一次购买该种产品超过10 件时,每多购买一件,所购买的全部产品的销售单价均降低10 元,但销售单价均不低于2600 元.(1)商家一次购买这种产品多少件时,销售单价恰好为2600 元?
(2)设商家一次购买这种产品x 件,开发公司所获的利润为y 元,求y(元)与x(件)之间的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围.
(3)该公司的销售人员发现:当商家一次购买产品的件数超过某一数量时,会出现随着一次购买的数量的增多,公司所获的利润反而减少这一情况.为使商家一次购买的数量越多,
公司所获的利润越大,公司应将最低销售单价调整为多少元?(其它销售条件不变)
【分析】(1)设件数为x,则销售单价为3000-10(x-10)元,根据销售单价恰好为2600元,列方程求解。(2)由利润y=销售单价×件数,及销售单价均不低于2600元,按0≤x≤10,10<x≤50,x>50三种情况列出函数关系式。
(3)由(2)的函数关系式,利用二次函数的性质求利润的最大值,并求出最大值时x的值,确定销售单价。
【答案】解:(1)设件数为x,依题意,得3000-10(x-10)=2600,解得x=50。
答:商家一次购买这种产品50件时,销售单价恰好为2600元。
(2)当0≤x≤10时,y=(3000-2400)x=600x;
2当10<x≤50时,y=[3000-10(x-10)-2400]x,即y=-10x+700x;
当x>50时,y=(2600-2400)x=200x。
600x(0x10,且x为整数)2∴y10x700x(10
200x(x>50,且x为整数)
2(3)由y=-10x+700x可知抛物线开口向下,当x70035时,利润210y有最大值,此时,销售单价为3000-10(x-10)=2750元,答:公司应将最低销售单价调整为2750元。
例4:某商品的进价为每件50元,售价为每件60元,每个月可卖出200件。如果每件商品
的售价上涨1元,则每个月少卖10件(每件售价不能高于72元)。设每件商品的售价上涨x元(x为整数),每个月的销售利润为y元,
(1)求y与x的函数关系式,并直接写出x的取值范围;
(2)每件商品的售价定为多少元时,每个月可获得最大利润?最大月利润是多少元?
【分析】(1)根据题意,得出每件商品的利润以及商品总的销量,即可得出y与x的函数
关系式。(2)根据题意利用配方法得出二次函数的顶点形式(或用公式法),从而得出当x=5时得出y的最大值。
【答案】解:(1)设每件商品的售价上涨x元(x为正整数),则每件商品的利润为:(60
-50+x)元,总销量为:(200-10x)件,
商品利润为:y=(60-50+x)(200-10x)=-10x2+100x+2000。
∵原售价为每件60元,每件售价不能高于72元,∴0<x≤12。
(2)∵y=-10x2+100x+2000=-10(x-5)2+2250,
∴当x=5时,最大月利润y=2250。
答:每件商品的售价定为5元时,每个月可获得最大利润,最大月利润是2250元。
例5:市某生态示范村种植基地计划用90亩~120亩的土地种植一批葡萄,原计划总产量要达到36万斤.(1)列出原计划种植亩数y(亩)与平均每亩产量x(万斤)之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;(2)为了满足市场需求,现决定改良葡萄品种.改良后平均每亩产量是原计划的1.5倍,总产量比原计划增加了9万斤,种植亩数减少了20亩,原计划和改良后的平均每亩产量各是多少万斤?
【分析】(1)直接根据亩产量、亩数及总产量之间的关系得到函数关系式即可。
(2)根据题意列出3636920后求解即可。 x1.5x
【答案】解:(1)由题意知:xy=36,∴y(2)根据题意得:3632(x)。 x1053636920,解得:x=0.3。 x1.5x
经检验:x=0.3是原方程的根。1.5x=0.45。
答:改良前亩产0.3万斤,改良后亩产0.45万斤。
例6、小丁每天从某报社以每份0.5元买进报纸200分,然后以每份1元卖给读者,报纸卖不完,当天可退回报社,但报社只按每份0.2元退给小丁,如果小丁平均每天卖出报纸x份,纯收入为y元.(1)求y与x之间的函数关系式(要求写出自变量x的取值范围);
(2)如果每月以30天计算,小丁每天至少要买多少份报纸才能保证月收入不低于2000元?
【分析】(1)因为小丁每天从某市报社以每份0.5元买出报纸200份,然后以每份1元卖给读者,报纸卖不完,当天可退回报社,但报社只按每份0.2元退给小丁,所以如果小丁平均每天卖出报纸x份,纯收入为y元,则y=(1﹣0.5)x﹣(0.5﹣0.2)(200﹣x)即y=0.8x﹣60,其中0≤x≤200且x为整数。(2)因为每月以30天计,根据题意可得30(0.8x﹣60)≥2000,解之求解即可。
【答案】解:(1)y=(1﹣0.5)x﹣(0.5﹣0.2)(200﹣x)=0.8x﹣60(0≤x≤200)。
(2)根据题意得:30(0.8x﹣60)≥2000,解得x≥138。
∴小丁每天至少要买159份报纸才能保证每月收入不低于2000元。
13
三、几何问题中函数自变量的取值范围:几何问题中的函数关系式,除使函数式有意义外,还需考虑几何图形的构成条件及运动范围,如在三角形中“两边之和大于第三边”。 典型例题:
例1:将一根长为16厘米的细铁丝剪成两段.并把每段铁丝围成圆,设所得两圆半径分别为r1和r2.(1)求r1与r2的关系式,并写出r1的取值范围; (2)将两圆的面积和S表示成r1的函数关系式,求S的最小值.
【分析】(1)由圆的周长公式表示出半径分别为r1和r2的圆的周长,再根据这两个圆周长之和等于16π厘米列出关系式即可。(2)先由(1)可得r2=8﹣r1,再根据圆的面积公式即可得到两圆的面积和S表示成r1的函数关系式,然后根据函数的性质即可求出S的最小值。
【答案】解:(1)由题意,有2πr1+2πr2=16π,则r1+r2=8。∵r1>0,r2>0,∴0<r1<8。
∴r1与r2的关系式为r1+r2=8,r1的取值范围是0<r1<8厘米。
(2)∵r1+r2=8,∴r2=8﹣r1。
∵Sr12+r22=r12+8r12=2r1216r1+64=2r142+32,
∴当r1=4厘米时,S有最小值32π平方厘米。
例2:如图,在边长为24cm的正方形纸片ABCD上,剪去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三角形,再沿图中的虚线折起,折成一个长方体形状的包装盒(A.B.C.D四个顶点正好重合于上底面上一点).已知E、F在AB边上,是被剪去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点,设AE=BF=x(cm).(1)若折成的包装盒恰好是个正方体,试求这个包装盒的体积V;(2)某广告商要求包装盒的表面(不含下底面)面积S最大,试问x应取何值?
【分析】(1)根据已知得出这个正方体的底面边长a
x,EF
a=2x,再利用AB=24cm,求出x即可得出这个包装盒的体积V。(2)利用已知表示出包装盒的表面,从而利用函数最值求出即可。
【答案】解:(1)根据题意,正方体的底面边长a
x,EF
a=2x,∴x+2x+x=24,解得:x=6。则 a
,∴V=a3=(
)3
cm3);
(2)设包装盒的底面边长为acm,高为hcm,则a
x
,
h12x,∴S=4ah+a2=
12x26x296x=6x8238。 2
∵0<x<12,∴当x=8时,S取得最大值384cm2。
例3:(2012上海市)如图,在半径为2的扇形AOB中,∠AOB=90°,点C是弧AB上的一个动点(不与点A、B重合)OD⊥BC,OE⊥AC,垂足分别为D、E.
(1)当BC=1时,求线段OD的长;(2)在△DOE中是否存在长度保持不变的边?如果存在,请指出并求其长度,如果不存在,请说明理由;
(3)设BD=x,△DOE的面积为y,求y关于x的函数关系式,并写出它的定义域.
【答案】解:(1)∵点O是圆心,OD⊥BC,BC=1,
11∴BD=BC=。 又∵OB=2
,。 22(2)存在,DE是不变的。如图,连接AB
,则
∵D和E是中点,∴DE
=。
(3)∵BD=x
,∴OD。∵∠1=∠2,∠3=∠4,∠AOB=900。
∴∠2+∠3=45°。过D作DF⊥OE,垂足为点F。∴DF=OF
12
由△BOD∽△EDF,得BDOD,即
=EFDF
x,解得EF
。∴OE
EF∴y1DFOE1。 0
例4:如图,矩形OABC中,A(6,0)、C(0,2)、D(0,3),射线l过点D且与x轴平行,点P、Q分别是l和x轴正半轴上动点,满足∠PQO=60°.
(1)①点B的坐标是 ;②∠CAO= 度;③当点Q与点A重合时,点P的坐标为 ;(直接写出答案)(2)设OA的中心为N,PQ与线段AC相交于点M,是否存在点P,使△AMN为等腰三角形?若存在,请直接写出点P的横坐标为m;若不存在,请说明理由.(3)设点P的横坐标为x,△OPQ与矩形OABC的重叠部分的面积为S,试求S与x的函数关系式和相应的自变量x的取值范围.
【分析】(1)①由四边形OABC是矩形,根据矩形的性质,即可求得点B的坐标:
∵四边形OABC是矩形,∴AB=OC,OA=BC,
∵A(6,0)、C(0,
,∴点B的坐标为:(6,
)。
②由正切函数,即可求得∠CAO的度数:
∵tanCAOOC,∴∠CAO=30°。 =OA63
③由三角函数的性质,即可求得点P的坐标;如图:当点Q与点A
重合时,过点P作PE⊥OA于E,∵∠PQO=60°,D(0,
,∴PE
。 ∴AEPE
tan600。 3。∴OE=OA﹣AE=6﹣3=3,∴点P的坐标为(3,
)
(2)分别从MN=AN,AM=AN与AM=MN去分析求解即可求得答案:
情况①:MN=AN=3,则∠AMN=∠MAN=30°,
∴∠MNO=60°。
∵∠PQO=60°,即∠MQO=60°,∴点N与Q重合。
∴点P与D重合。∴此时m=0。
情况②,如图AM=AN,作MJ⊥x轴、PI⊥x轴。
MJ=MQ•sin60°=AQ•sin60
(OAIQOI)sin60又MJ 3m)113AM=AN=,
222
33m)=,解得:m=3
。 2
情况③AM=NM,此时M的横坐标是4.5,
过点P作PK⊥OA于K,过点M作MG⊥OA于G,
∴MG
。∴QKPK3,GQMG1。
tan600tan6002∴KG=3﹣0.5=2.5,AG= 1AN=1.5。∴OK=2。∴m=2。 2
综上所述,点P的横坐标为m=0或m=3
m=2。
(3)分别从当0≤x≤3时,当3<x≤5时,当5<x≤9时,当x>9时去分析求解即可求得答案。
【答案】解:(1)①(6,
)。 ②30。③(3,
。
(2)存在。m=0或m=3
m=2。
(3)当0≤x≤3时,如图1,OI=x,IQ=PI•tan60°=3,OQ=OI+IQ=3+x;由题意可知直线l∥BC∥OA
,可得
梯形,其面积为:
1EFPEDC1,此时重叠部分是==,∴EF=(3+x)OQPODO33
1SS梯形EFQOEFOQ)OC3x)=2当3<x≤5时,如图2,
1SS梯形EFQOSHAQS梯形EFQOAHAQ2
x32=2当5<x≤9时,如图3,
12SBEOA)OCx)23 =当x>9时,如图4,
11 SOAAH622综上所述,S与x的函数关系式为:
0x32
3
S
5
x>9例5:如图,抛物线y=x2x9与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,连接BC、AC.(1)求AB和OC的长;(2)点E从点A出发,沿x轴向点B运动(点E与点A、B不重合),过点E作直线l平行BC,交AC于点D.设AE的长为m,△ADE的面积为s,求s关于m的函数关系式,并写出自变量m的取值范围;
(3)在(2)的条件下,连接CE,求△CDE面积的最大值;此时,求出以点E为圆心,与BC相切的圆的面积(结果保留π).
1232
【分析】(1)已知抛物线的解析式,当x=0,可确定C点坐标;当y=0时,可确定A、B点的坐标,从而确定AB、OC的长。(2)直线l∥BC,可得出△AED∽△ABC,它们的面积比等于相似比的平方,由此得到关于s、m的函数关系式;根据题目条件:点E与点A、B不重合,可确定m的取值范围。 (3)①首先用m列出△AEC的面积表达式,△AEC、△AED的面积差即为△CDE的面积,由此可得关于S△CDE关于m的函数关系式,根据函数的性质可得到S△CDE的最大面积以及此时m的值。
②过E做BC的垂线EF,这个垂线段的长即为与BC相切的⊙E的半径,可根据相似三角形△BEF、△BCO得到的相关比例线段求得该半径的值,由此得解。
【答案】解:(1)在y=x2x9中,令x=0,得y=-9,∴C(0,﹣9); 3
2
13令y=0,即x2x9=0,解得:x1=﹣3,x2=6,∴A(﹣3,0)、B(6,2212
0)。∴AB=9,OC=9。
(2)∵ED∥BC,∴△AED∽△ABC,sS12mAE∴,即:。∴s=m(0<m<9)。 1SABCAB92992
(3)∵S△AEC=22191AE•OC=m,S△AED=s=m2, 222
∴S△EDC=S△AEC﹣S△AED
1291981m+m=﹣(m﹣)2+。 22228
8199∴△CDE的最大面积为,此时,AE=m=,BE=AB﹣AE=。
822=﹣
又BC
- 11 -
过E作EF⊥BC于F,则Rt△BEF∽Rt△BCO,得:EFBE,即:
OCBC
9
729EF E点为圆心,与BC相切的圆的面积 E=π•EF2=。
。∴EF529例6、如图,在OABC中,点A在x轴上,∠AOC=60o,OC=4cm.OA=8cm.动点P从点
O出发,以1cm/s的速度沿线段OA→AB运动;动点Q同时从点O出发,以acm/s..
的速度沿线段OC→CB运动,其中一点先到达终点B时,另一点也随之停止运动.设运动时间为t秒. (1)填空:点C的坐标是(______,______),对角线OB的长度是_______cm;(2)当a=1时,设△OPQ的面积为S,求S与t的函数关系式,并直接写出当t为何值时,S的值最大?
(3)当点P在OA边上,点Q在CB边上时,线段PQ与对角线OB交于点M.若以O、M、P为顶点的三角形与△OAB相似,求a与t的函数关系式,并直接写出t的取值范围.
【答案】解:(1)C(2,
,OB
cm。
(2)①当0
则QD
=21t。 ∴S=OP·QD
=t。 242
1DP·QE
。 2 ②当4
。 ∴S =
③当8
易证△PBQ与△PAF均为等边三角形,
(t-8)。 11∴SSOQFSOPF=t
t
(t-8) 222 =
t
t。 ∴OF=OA+AP=t,AP=t-8。∴PH
- 12 -
2
0t4 综上所述,
。 S
4t828t12 ∵①②中S随t的增加而增加,③中S
2
t62,S随t的增加而减小,∴当t=8时,S最大。 (3)①当△OPM∽△OAB时,则PQ∥AB。
∴CQ=OP。
∴at-4=t,即a=1+4。 t的取值范围是0
②当△OPM∽△OBA时,
则OPOMOM,
。∴OM
。 8OBOA 又∵QB∥OP,∴△BQM~△OPM。 ∴QBBM12at,即
OPOMt 2,t的取值范围是6≤t≤8。 t
42 综上所述:a=1+ (0
【分析】(1)如图,过点C、B分别作x的垂线于点M、N,
则在Rt△COM中,由∠AOC=60o,OC=4,应用锐角三角
函数定义,可求得OM=2,CM
,∴ C(2,
。由CMNB是矩形
和OA=8得BM
ON=10,在Rt△OBN中,由勾股定理,得OB
。
(2)分0
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