提高高三数学课堂效率方法
提高高三数学课堂效率方法 ——以线性规划为载体的交汇问题
厦门集美中学 连水城
提高课堂教学的效率的方法有很多，各有各的长处，但万变不离其宗，关键是要让学生充分地参与进来，课内要能自然地延伸到课外。我以线性规划为载体的交汇问题来说明提升课堂教学的效率．
线性规划基本模式是已知两个变量x ，y 的线性约束条件，求z =f (x ，y ) 的范围。但是，常会遇到一些与线性规划似乎不相关的求最值（范围）的问题，其实，只要作深入分析，不难发现均能化归为线性规划问题去求解．
列举8类这样的交汇问题进行剖析． 一、线性规划与函数交汇
⎧x +2y -19≥0⎪x
例１．设二元一次不等式组⎨x -y +8≥0所表示的平面区域M ，使函数y =a (a >0，
⎪2x +y -14≤0⎩
且a ≠1) 的图象边区域M 的a
解：可行域如图所示，由可行域范围．知a >1且
A (1，9) 、C (3，8) ，由y =a x (a >1) 中，a x 取相同值时y 的值越大．可知
y =a x 过A (1，9) a 取最大值，此时a =9；当y =a 过C (3，8) a 取最小值，此时，a =2；∴2≤a ≤9．
点评：准确作出可行域，熟知指数函数y =a 的图象特征是解决本题的关键
x
x
例２．定义在R 上的函数f (x ) 满足f (4)=1，f '(x ) 为f (x ) 的图象如图所示，若两个正数a 、b ，满足f (2a +b )
b +2
的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿． a +2
解：作出可行域如图所示，可知f (x ) 在(-∞，0]在[0，+∞) 上是增函数，由f (2a +b )
可得⎨a >0，画出以a ，b 为坐标轴的可行域
⎪b >0⎩
b +2
（如图所示阴影部分，不含边界），而可看成
a +2
1
(a ，b ) 与(-2，2) 连线的斜率，可求得(，3)
2
点评：首先应该会识别函数与导数的关系，从而运用函数单调性确定的线性约束条件，进一步画出以此为坐标的可行域，然后运用斜率的意义进行求解． 例３．已知函数f (x ) =-x 3+最小值＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；
解： f '(x ) =-x +mx +
n ≥0(-2≤x ≤1)
2
13
12
mx +nx -
12⎧f '(-2) ≥0⎧-4-2m +n ≥0
∴⎨，则⎨ ⎩f '(1)≥0⎩-1+m +n ≥0
此不等式组表示的可行域如图所示：
2
2
目标函数z =m +n 表示点(m ，n ) 与原点(0点(0，0) 与交点P (-1，2) 距离的平方，即z min =5，∴(m +n ) min =5．
点评：运用函数单调性与导函数正负关系和函数单调性与线性规划交汇，把两个模块的内容融合在一起，实现了知识之间的融合与交汇．
二、线性规划与概率交汇
例４．两人约定下午4点到5点在某一公园见面，他们事先约定，先到者等候另一个20分钟，过时就离去，请问这两个人见面的概率有多大？
解：用x ，y 分别表示两人到公园的时间，若两人能见面，则有|x -y |≤20，又0≤x ≤60，
2
2
⎧x -y -20≤0
⎪x -y +20≤0⎪
，作出点(x ，y ) 可行域， 0≤y ≤60，即有⎨
0≤x ≤60⎪⎪⎩0≤y ≤60
如图所示阴影部分．由图知，
两人能见面的概率为阴影部分的面积与大正方形的面积之比：602-40⨯405
= 所求的概率为P =2
609
点评：这是一道几何概率的题目，关键在于确定两从能见面的时间区域，和用线性规划的
思法直观．
三、线性规划与方程的根的分布交汇 例５．已知方程x +(2+a ) x +1+a +b =0的两根分别为x 1、x 2，且0
则函数f (x ) 在(0，1) 及(1，+∞) 内各有一个零点，∴⎨
22
b a
⎧f (0)>0⎧a +b +1>0
即⎨
⎩f (1)
作出可行域，如图： 令k =
b
，则k
a
⎧a +b +1=0由⎨，交点M (-3，2) 2a +b +4=0⎩2
k OM =-，结合图，
3
22
可知-2
-2，-) ．
33
点评：本题一元二次方程的根的范围为背景，线性约束条件来求解，其中理解
四、线性规划与集合交汇
例６．若{(x ，y ) |x -2y +5≥0
，3-x ≥0，x +y ≥0}⊆{(x ，y ) |x +y ≤m (m >0)}，求实数m 的取值范围．
解：设集合A ={(x ，y ) |x -2y +5≥0，3-x ≥0，x +y ≥0}，
2
2
2
b
表示可行域内的点，与原点连线的斜率是解题的关键． a
B ={(x ，y ) |x +y ≤m (m >0)}， 则集合A 表示的区域为图阴影部分， 集合B 表示以从标原点为圆心， m 为半径的圆及其内部．
2
2
2
⎧x -2y +5=0
由A ⊆B ，得m ≥|PO |，又⎨3-x =0⎩
得P (3，4) ，∴|PO |=5即m ≥5
例７．在平面直角坐标系xoy 中，已知平面区域A ={(x ，y ) |x +y ≤1，且x ≥0，y ≥0}则平面区域B ={(x +y ，x -y ) |(x ，y ) ∈A }的面积为＿＿＿＿＿＿＿＿＿．
u +v u -v
解：令x +y =u ，x -y =v ，则x =，y =22
由x +y ≤1，x ≥0，y ≥0，得
u ≤1，u +v ≥0，u -v ≥0
1
因此，平面区域B 的图形如图，其面积为S =⨯2⨯1=2
点评：有关平面区域的面积问题首先作出可行域，根据平面区域图形的性质，利用面积公式整体或部分求解是关键．
五、线性规划与平面向量交汇
⎧x ≥1⎪
例８．已知O 为坐标原点，定点A (3，4) ，动点P (x ，y ) 的坐标满足约束条件⎨y +1≥x
⎪x +y ≤3⎩
则向量OP 在OA 上的投影的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿．
解：可行域如图所示，OP 在OA 上的投影为
OP ⋅OA 3x +4y
=|OP |cos ∠AOP =
5|OA |
令z =3x +4y ，易知直线3x +4y =z 过点G (1，0) 时，z min =3，
过点N (1，2) 时，z max =11．∴所求取值范围是
点评：明晰向量投影概念对解答本题至关重要
x 22
例９．在平面直角坐标系xoy 中，设A 、B 、C 是x +y =1上相异三点，
若存正实数λ，
μ，使得OC =λOA +μOB ，则λ2+(μ-3) 2的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿；
解：设OA ，OB 的夹角为θ，将OC =λOA +μ1=λ+μ+2λμcos θ
2
2
∴根据λ、μ是正实数，得到
1λ2+μ2-2λμ
⎧λ+μ>1⎪
即：⎨λ-μ
而λ+(μ-3) 的几何意义是可行域内的点到点(0，3) 的距离的平方，再结合下所求式子的意义得到结果．
2
2
点评：本题综合性强，首先要会处理OC =λOA +μOB ，即两边进行平方，然后找出λ、
μ之间的约束条件，进一步画出可行域，最后确定λ2+(μ-3) 2的几何意义，从而求出其
取值范围．
六、线性规划与解三角形交汇
例１０．已知点A 5) ，过点A 的直线l ：x =my +n (n >0) ，若可行域：
⎧x ≤my +n ⎪
⎨x ≥0的外接圆的直线为20，则实数n =＿＿＿＿＿＿＿＿＿； ⎪y ≥0⎩
解：可行域如图所示，设直线l 的倾斜角为α，则|OA |=10，
|OA |
=2R =20
11
=，∴m =则sin α=，tan α=±3m 2
由A 5) 在直线上l ．
当m =
=5m +n ，∴n =0（舍去）
当m ==5m +n ，∴n =
点评：根据可行域，选择正弦定理求出直线l 的斜率，体现出线性规划与解三角形的合理交汇．
七、线性规划与数列交汇 例１１．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 1≤13，S 4≥10，S 5≤15，则a 4的最大值为＿＿＿＿＿＿＿＿．
⎧S 1≤13⎧a 1≤13⎪⎪
解：⎨S 4≥10⇒⎨2a 1+3d ≥5，又a 4=a ⎪S ≤15⎪a +2d ≤3
⎩5⎩1⎧x ≤13
⎪
本题即在线性约束条件⎨2x +3y ≥5下，
⎪x +2y ≤3⎩
求目标函数z =x +3y 的取值范围
如图，易知当直线z =x +3y 过点A (1，1) 时，z max =4；
当直线z =x +3y 过点C (13，-7) 时，z
点评：分析已知条件，由数列模型类比转换到线性规划模型，是解决本题的关键．
八、线性规划与基本不等式交汇
⎧y ≥0
kS ⎪
(k >1) 表示的平面区域的面积为S ，则例１２．不等式组⎨x ≥0的最小值为
k -1⎪y ≤-kx +4k
⎩
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．
解：如图，直线y =-kx +4k 与x 轴交于(4，0) ，与y 轴交于(0，4k )
1
S =⨯4⨯4k =8k k >1，
2
kS 8k 28(k -1) 2+16(k -1) +81
∴===8[(k -1) +]+16
k -1k -1k -1k -1
当且仅当k =2时，等号成立
kS
的最小值为32． ∴k -1
点评：本题是线性规划与不等式问题交汇有效尝试，提高学生综合处理问题的能力后积极推动作用．