平行四边形的证明题

平行四边形的证明题

一．解答题（共30小题）

1．如图，已知四边形ABCD 为平行四边形，AE ⊥BD 于E ，CF ⊥BD 于F ．

（1）求证：BE=DF；

（2）若 M 、N 分别为边AD 、BC 上的点，且DM=BN，试判断四边形MENF 的形状（不必说明理由）．

2．如图所示，▱AECF 的对角线相交于点O ，DB 经过点O ，分别与AE ，CF 交于B ，D ．

求证：四边形ABCD 是平行四边形．

3．如图，在四边形ABCD 中，AB=CD，BF=DE，AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，垂足分别为E ，F ．

（1）求证：△ABE ≌△CDF ；

（2）若AC 与BD 交于点O ，求证：AO=CO．

4．已知：如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，DE 、DF 是△ABC 的中位线，连接EF 、AD ．求证：EF=AD．

5．如图，已知D 是△ABC 的边AB 上一点，CE ∥AB ，DE 交AC 于点O ，且OA=OC，猜想线段CD 与线段AE 的大小关系和位置关系，并加以证明．

6．如图，已知，▱ABCD 中，AE=CF，M 、N 分别是DE 、BF 的中点． 求证：四边形MFNE 是平行四边形．

7．如图，平行四边形ABCD ，E 、F 两点在对角线BD 上，且BE=DF，连接AE ，EC ，CF ，FA ．

求证：四边形AECF 是平行四边形．

8．在▱ABCD 中，分别以AD 、BC 为边向内作等边△ADE 和等边△BCF ，连接BE 、DF ．求证：四边形BEDF 是平行四边形．

9．如图所示，DB ∥AC ，且

DB=AC ，E 是AC 的中点，求证：BC=DE．

10．已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD=24cm，BC=30cm，点P 自点A 向D 以1cm/s的速度运动，到D 点即停止．点Q 自点C 向B 以2cm/s的速度运动，到B 点即停止，直线PQ 截梯形为两个四边形．问当P ，Q 同时出发，几秒后其中一个四边形为平行四边形？

11．如图：已知D 、E 、F 分别是△ABC 各边的中点，

求证：AE 与DF 互相平分．

12．已知：如图，在▱ABCD 中，对角线AC 交BD 于点O ，四边形AODE 是平行四边形．求证：四边形ABOE 、四边形DCOE 都是平行四边形．

13．如图，已知四边形ABCD 中，点E ，F ，G ，H 分别是AB 、CD 、AC 、BD 的中点，并且点E 、F 、G 、H 有在同一条直线上．

求证：EF 和GH 互相平分．

14．如图：▱ABCD 中，MN ∥AC ，试说明MQ=NP．

15．已知：如图所示，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，EF 经过点O 并且分别和AB ，CD 相交于点E ，F ，点G ，H 分别为OA ，OC 的中点．求证：四边形EHFG 是平行四边形．

16．如图，已知在▱ABCD 中，E 、F 是对角线BD 上的两点，BE=DF，点G 、H 分别在BA 和DC 的延长线上，且AG=CH，连接GE 、EH 、HF 、FG ．

（1）求证：四边形GEHF 是平行四边形；

（2）若点G 、H 分别在线段BA 和DC 上，其余条件不变，则（1）中的结论是否成立？（不用说明理由）

17．如图，在△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是线段BC 延长线一点，过点A 作BE 的平行线与线段ED 的延长线交于点F ，连接AE 、CF ．

（1）求证：AF=CE；

（2）如果AC=EF，且∠ACB=135°，试判断四边形AFCE 是什么样的四边形，并证明你的结论．

18．如图平行四边形ABCD 中，∠ABC=60°，点E 、F 分别在CD 、BC 的延长线上，AE ∥BD ，EF ⊥BF ，垂足为点F ，DF=2

（1）求证：D 是EC 中点；

（2）求FC 的长．

19．如图，已知△ABC 是等边三角形，点D 、F 分别在线段BC 、AB 上，∠EFB=60°，DC=EF．

（1）求证：四边形EFCD 是平行四边形；

（2）若BF=EF，求证：AE=AD．

20．如图，四边形ABCD ，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点．

（1）请判断四边形EFGH 的形状？并说明为什么；

（2）若使四边形EFGH 为正方形，那么四边形ABCD 的对角线应具有怎样的性质？

21．如图，△ACD 、△ABE 、△BCF 均为直线BC 同侧的等边三角形．

（1）当AB ≠AC 时，证明：四边形ADFE 为平行四边形；

（2）当AB=AC时，顺次连接A 、D 、F 、E 四点所构成的图形有哪几类？直接写出构成图形的类型和相应的条件．

22．如图，以△ABC 的三边为边，在BC 的同侧分别作三个等边三角形即△ABD 、△BCE 、△ACF ，那么，四边形AFED 是否为平行四边形？如果是，请证明之，如果不是，请说明理由．

23．在△ABC 中，AB=AC，点P 为△ABC 所在平面内一点，过点P 分别作PE ∥AC 交AB 于点E ，PF ∥AB 交BC 于点D ，交AC 于点F ．若点P 在BC 边上（如图1），此时PD=0，可得结论：PD+PE+PF=AB．

请直接应用上述信息解决下列问题：

当点P 分别在△ABC 内（如图2），△ABC 外（如图3）时，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，PD ，PE ，PF 与AB 之间又有怎样的数量关系，请写出你的猜想，不需要证明

24．如图1，P 为Rt △ABC 所在平面内任意一点（不在直线AC 上），∠ACB=90°，M 为AB 边中点．操作：以PA 、PC 为邻边作平行四边形PADC ，连续PM 并延长到点E ，使ME=PM，连接DE ．

探究：

（1）请猜想与线段DE 有关的三个结论；

（2）请你利用图2，图3选择不同位置的点P 按上述方法操作；

（3）经历（2）之后，如果你认为你写的结论是正确的，请加以证明； 如果你认为你写的结论是错误的，请用图2或图3加以说明；

（注意：错误的结论，只要你用反例给予说明也得分）

（4）若将“Rt △ABC ”改为“任意△ABC ”，其他条件不变，利用图4操作，并写出与线段DE 有关的结论（直接写答案）．

25．在一次数学实践探究活动中，小强用两条直线把平行四边形ABCD 分割成四个部分，使含有一组对顶角的两个图形全等；

（1）根据小强的分割方法，你认为把平行四边形分割成满足以上全等关系的直线有 无数 组；

（2）请在图中的三个平行四边形中画出满足小强分割方法的直线；

（3）由上述实验操作过程，你发现所画的两条直线有什么规律？

26．如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠BCD=Rt∠，AB=AD=10cm，BC=8cm．点P 从点A 出发，以每秒3cm 的速度沿折线ABCD 方向运动，点Q 从点D 出发，以每秒2cm 的速度沿线段DC 方向向点C 运动．已知动点P 、Q 同时发，当点Q 运动到点C 时，P 、Q 运动停止，设运动时间为t ．

（1）求CD 的长；

（2）当四边形PBQD 为平行四边形时，求四边形PBQD 的周长；

（3）在点P 、点Q 的运动过程中，是否存在某一时刻，使得△BPQ 的面积为20cm2？若存在，请求出所有满足条件的t 的值；若不存在，请说明理由．

27．已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为O （0，0）、A （2，0）、B （1，1），则第四个顶点C 的坐标是多少？

28．已知平行四边形ABCD 的周长为36cm ，过D 作AB ，BC 边上的高DE 、DF ，且cm ，，求平行四边形ABCD 的面积．

29．如图，在平面直角坐标系中，已知O 为原点，四边形ABCD 为平行四边形，

A 、B 、C 的坐标分别是A （﹣3，

第一象限．

（1）求D 点的坐标；

（2）将平行四边形ABCD 先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长），B （﹣2，3），C （2，3），点D 在度所得的四边形A1B1C1D1四个顶点的坐标是多少？

（3）求平行四边形ABCD 与四边形A1B1C1D1重叠部分的面积？

30．如图所示．▱ABCD 中，AF 平分∠BAD 交BC 于F ，DE ⊥AF 交CB 于E ．求证：BE=CF．

1、解答：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB=CD，AB ∥CD ，

∴∠ABD=∠CDB ，∵AE ⊥BD 于E ，CF ⊥BD 于F ，

∴∠AEB=∠CFD=90°，∴△ABE ≌△CDF （A ．A ．S ．），∴BE=DF；

（2）四边形MENF 是平行四边形．

证明：有（1）可知：BE=DF，∵四边形ABCD 为平行四边行，

∴AD ∥BC ，∴∠MDB=MBD，

∵DM=BN，∴△DNF ≌△BNE ，∴NE=MF，∠MFD=∠NEB ，∴∠MFE=∠NEF ， ∴MF ∥NE ，∴四边形MENF 是平行四边形．

2、解答：证明：∵四边形AECF 是平行四边形

∴OE=OF，OA=OC，AE ∥CF ，∴∠DFO=∠BEO ，∠FDO=∠EBO ，

∴△FDO ≌△EBO ，∴OD=OB，∵OA=OC，∴四边形ABCD 是平行四边形．

3、解答：证明：（1）∵BF=DE，∴BF ﹣EF=DE﹣EF ，即BE=DE，

∵AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，∴∠AEB=∠CFD=90°，

∵AB=CD，∴Rt △ABE ≌Rt △CDF （HL ）；

（2）∵△ABE ≌△CDF ，∴∠ABE=∠CDF ，∴AB ∥CD ，

∵AB=CD，∴四边形ABCD 是平行四边形，∴AO=CO．

4、解答：证明：∵DE ，DF 是△ABC 的中位线，∴DE ∥AB ，DF ∥AC ，

∴四边形AEDF 是平行四边形，

又∵∠BAC=90°，∴平行四边形AEDF 是矩形，∴EF=AD．

5、解答：解：猜想线段CD 与线段AE 的大小关系和位置关系是：平行且相等． 证明：∵CE ∥AB ，∴∠DAO=∠ECO ，

∵OA=OC，∴△ADO ≌△ECO ，∴AD=CE，∴四边形ADCE 是平行四边形，∴CD AE ．

6、解答：证明：由平行四边形可知，AD=CB，∠DAE=∠FCB ，

又∵AE=CF，∴△DAE ≌△BCF ，∴DE=BF，∠AED=∠CFB

又∵M 、N 分别是DE 、BF 的中点，∴ME=NF

又由AB ∥DC ，得∠AED=∠EDC ∴∠EDC=∠BFC ，∴ME ∥NF ∴四边形MFNE 为平行四边形．

7、解答：证明：连接AC 交BD 于点O ，

∵四边形ABCD 为平行四边形，∴OA=OC，OB=OD．

∵BE=DF，∴OE=OF．∴四边形AECF 为平行四边形．

8、解答：证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，

∴CD=AB，AD=CB，∠DAB=∠BCD ．

又∵△ADE 和△CBF 都是等边三角形，∴DE=BF，AE=CF．∠DAE=∠BCF=60°． ∵∠DCF=∠BCD ﹣∠BCF ，∠BAE=∠DAB ﹣∠DAE ，

∴∠DCF=∠BAE ．∴△DCF ≌△BAE （SAS ）．∴DF=BE．∴四边形BEDF 是平行四边形．

9、解答：证明：∵E 是AC 的中点，∴EC=AC ，

又∵DB=AC ，∴DB=EC．

又∵DB ∥EC ，∴四边形DBCE 是平行四边形．∴BC=DE．

10、解答：解：设P ，Q 同时出发t 秒后四边形PDCQ 或四边形APQB 是平行四边形，根据已知得到AP=t，PD=24﹣t ，CQ=2t，BQ=30﹣2t ．

（1）若四边形PDCQ 是平行四边形，则PD=CQ，∴24﹣t=2t∴t=8∴8秒后四边形PDCQ 是平行四边形；

（2）若四边形APQB 是平行四边形，则AP=BQ，∴t=30﹣2t ∴t=10∴10秒后四边形APQB 是平行四边形

11、解答：证明：∵D 、E 、F 分别是△ABC 各边的中点，根据中位线定理知：

DE ∥AC ，DE=AF，

EF ∥AB ，EF=AD，

∴四边形ADEF 为平行四边形．故AE 与DF 互相平分．

12、解答：证明：∵▱ABCD 中，对角线AC 交BD 于点O ，∴OB=OD，

又∵四边形AODE 是平行四边形，∴AE ∥OD 且AE=OD，∴AE ∥OB 且AE=OB， ∴四边形ABOE 是平行四边形，同理可证，四边形DCOE 也是平行四边形．

13、解答：证明：连接EG 、GF 、FH 、HE ，点E 、F 、G 、H 分别是AB 、CD 、AC 、BD 的中点．

在△ABC 中，EG=BC ；在△DBC 中，

HF=BC ，

∴EG=HF．

同理EH=GF．

∴四边形EGFH 为平行四边形．∴EF 与GH 互相平分．

14、解答：证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AM ∥QC ，AP ∥NC ．

又∵MN ∥AC ，∴四边形AMQC 为平行四边形，四边形APNC 为平行四边形． ∴AC=MQ AC=NP．∴MQ=NP．

15、解答：证明：如答图所示，

∵点O 为平行四边形ABCD 对角线AC ，BD 的交点，∴OA=OC，OB=OD．

∵G ，H 分别为OA ，OC 的中点，∴OG=OA ，OH=OC ，∴OG=OH．

又∵AB ∥CD ，∴∠1=∠2．

在△OEB 和△OFD 中，

∠1=∠2，OB=OD，∠3=∠4，

∴△OEB ≌△OFD ，

∴OE=OF．∴四边形EHFG 为平行四边形．

16、解答：（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，

17、∴AB=CD，AB ∥CD ，∴∠GBE=∠HDF ．

又∵AG=CH，∴BG=DH．

又∵BE=DF，∴△GBE ≌△HDF ．∴GE=HF，∠GEB=∠HFD ，∴∠GEF=∠HFE ， ∴GE ∥HF ，∴四边形GEHF 是平行四边形．

（2）解：仍成立．（证法同上）

17、解答：（1）证明：∵AF ∥EC ，∴∠DFA=∠DEC ，∠DAF=∠DCE ，

∵D 是AC 的中点，∴DA=DC，∴△DAF ≌△DCE ，∴AF=CE；

（2）解：四边形AFCE 是正方形．理由如下：

∵AF ∥EC ，AF=CE，∴四边形AFCE 是平行四边形，

又∵AC=EF，∴平行四边形AFCE 是矩形，∴∠FCE=∠CFA=90°，

而∠ACB=135°，∴∠FCA=135°﹣90°=45°，∴∠FAC=45°，∴FC=FA，

∴矩形AFCE 是正方形．

18、解答：（1）证明：在平行四边形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB=CD，

又∵AE ∥BD ，∴四边形ABDE 是平行四边形，∴AB=DE，∴CD=DE，

即D 是EC 的中点；

（2）解：连接EF ，∵EF ⊥BF ，∴△EFC 是直角三角形，

又∵D 是EC 的中点，∴DF=CD=DE=2，

在平行四边形ABCD 中，AB ∥CD ，

∵∠ABC=60°，∴∠ECF=∠ABC=60°，∴△CDF 是等边三角形，∴FC=DF=2． 故答案为：2．

19、解答：证明：（1）∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC=60°，

∵∠EFB=60°，∴∠ABC=∠EFB ，∴EF ∥DC （内错角相等，两直线平行），

∵DC=EF，∴四边形EFCD 是平行四边形；

（2）连接BE

∵BF=EF，∠EFB=60°，∴△EFB 是等边三角形，∴EB=EF，∠EBF=60°

∵DC=EF，∴EB=DC，

∵△ABC 是等边三角形，∴∠ACB=60°，AB=AC，∴∠EBF=∠ACB ，

∴△AEB ≌△ADC ，∴AE=AD．

20、解答：解：（1）如图，四边形EFGH 是平行四边形．

连接AC ，

∵E 、F 分别是AB 、BC 的中点，∴EF ∥AC ，

EF=AC

同理HG ∥AC ，∴EF ∥HG ，EF=HG∴EFGH 是平行四边形；

（2）四边形ABCD 的对角线垂直且相等．

∵假若四边形EFGH 为正方形，∴它的每一组邻边互相垂直且相等，

∴根据中位线定理得到四边形ABCD 的对角线应该互相垂直且相等．

21、解答：（1）证明：∵△ABE 、△BCF 为等边三角形，

∴AB=BE=AE，BC=CF=FB，∠ABE=∠CBF=60°．

∴∠CBA=∠FBE ．∴△ABC ≌△EBF ．∴EF=AC．

又∵△ADC 为等边三角形，∴CD=AD=AC．∴EF=AD．

同理可得AE=DF．∴四边形AEFD 是平行四边形．

（2）解：构成的图形有两类，一类是菱形，一类是线段．

当图形为菱形时，∠BAC ≠60°（或A 与F 不重合、△ABC 不为正三角形）

当图形为线段时，∠BAC=60°（或A 与F 重合、△ABC 为正三角形）．

22、解答：解：四边形AFED 是平行四边形．

证明如下：

在△BED 与△BCA 中，BE=BC，BD=BA（均为同一等边三角形的边）

∠DBE=∠ABC=60°﹣∠EBA

∴△BED ≌△BCA （SAS ）∴DE=AC

又∵AC=AF∴DE=AF

在△CBA 与△CEF 中，CB=CE，CA=CF

∠ACB=∠FCE=60°+∠ACE

∴△CBA ≌△CEF （SAS ）∴BA=EF

又∵BA=DA，∴DA=EF

故四边形AFED 为平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）．

23、解答：解：图2结论：PD+PE+PF=AB．

证明：过点P 作MN ∥BC 分别交AB ，AC 于M ，N 两点，

由题意得PE+PF=AM．

∵四边形BDPM 是平行四边形，∴MB=PD．∴PD+PE+PF=MB+AM=AB，

即PD+PE+PF=AB．

图3结论：PE+PF﹣PD=AB．

24、解答：解：（1）DE ∥BC ，DE=BC，DE ⊥AC ．

（2）如图4，如图5．

（3）方法一：

如图6，

连接BE ，

∵PM=ME，AM=MB，∠PMA=∠EMB ，∴△PMA ≌△EMB ．

∵PA=BE，∠MPA=∠MEB ，∴PA ∥BE ．

∵平行四边形PADC ，∴PA ∥DC ，PA=DC．∴BE ∥DC ，BE=DC，

∴四边形DEBC 是平行四边形．∴DE ∥BC ，DE=BC．

∵∠ACB=90°，∴BC ⊥AC ，∴DE ⊥AC ．

方法二：

如图7，连接BE ，PB ，AE ，

∵PM=ME，AM=MB，∴四边形PAEB 是平行四边形．∴PA ∥BE ，PA=BE，

余下部分同方法一：

方法三：

如图8，连接PD ，交AC 于N ，连接MN ，

∵平行四边形PADC ，∴AN=NC，PN=ND．

∵AM=BM，AN=NC，∴MN ∥BC ，MN=BC ．

又∵PN=ND，PM=ME，∴MN ∥DE ，MN=DE ．∴DE ∥BC ，DE=BC．

∵∠ACB=90°，∴BC ⊥AC ．∴DE ⊥AC ．

（4）如图9，DE ∥BC ，DE=BC．

25、解答：解：（1）无数；

（2）作图的时候要首先找到对角线的交点，只要过对角线的交点，任画一条直线即可．如图有：AE=BE=DF=CF，AM=CN．

（3）这两条直线过平行四边形的对称中心（或对角线的交点）．

26、解答：解：（1）过点A 作AM ⊥CD 于M ，

根据勾股定理，AD=10，AM=BC=8，∴DM==6，∴CD=16；

（2）当四边形PBQD 为平行四边形时，

点P 在AB 上，点Q 在DC 上，如图，

由题知：BP=10﹣3t ，DQ=2t∴10﹣3t=2t，解得t=2

此时，BP=DQ=4，CQ=12∴

∴四边形PBQD 的周长=2（BP+BQ）=；

（3）①当点P 在线段AB 上时，即时，如图

∴．

②当点P 在线段BC 上时，即时，如图

BP=3t﹣10，CQ=16﹣2t ∴

化简得：3t 2﹣34t+100=0，△=﹣44＜0，所以方程无实数解．

③当点P 在线段CD 上时，

若点P 在Q 的右侧，即6≤t ≤，

则有PQ=34﹣

5t ，＜6，舍去

若点P 在Q 的左侧，即，

则有PQ=5t﹣34，，t=7.8．

综合得，满足条件的t 存在，其值分别为，t 2=7.8．

27、解答：解：当BC ∥OA ，BC=OA时，C 和B 的纵坐标相等，

若选择AB 为对角线，则C 1（3，1）；

若选择OB 为对角线，则C 2（﹣1，1）；

当AB ∥OC ，AB=OC时，

选择OA 为对角线，则C 3（1，﹣1）．

故第四个顶点坐标是：C 1（3，1），C 2（﹣1，1），C 3（1，﹣1）．

28、解答：解：设AB=x，则BC=18﹣x ，

由AB •DE=BC•DF

F

得：，

解之x=10，

所以平行四边形ABCD 的面积为．

29、解答：解：（1）由B 、C 的坐标可知，AD=BC=4，则可得点D 的横坐标为1，点D 的纵坐标与点A 的纵坐标相等，为，可得点D 的坐标为（1，）．

（2）依题意得A 1、B 1、C 1、D 1的坐标分别为A （﹣3+，0），B （﹣2+，2）C （2+，2），D （1+，0）．

（3）如图，

平行四边形ABCD 与四边形A 1B 1C 1D 1重叠部分的面积为平行四边形DEFG 的面积， 由题意可得GD=AD﹣AG=4﹣，

平行四边形DEFG 的高为2﹣=，

∴重叠部分的面积为（4﹣）•=4﹣2．

30、解答：证明：在平行四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∴∠DAF=∠F ，

又AF 平分∠BAD ，∴∠DAF=∠BAF ，∴∠BAF=∠F ，∴AB=BF，

又AF 平分∠BAD ，DE ⊥AF ，∴∠AOD=∠ADO ，

又∠BOE=∠AOD=∠EDC ，∠ADO=∠E ，

∴∠EDC=∠E ，∴CE=CD，又AB=CD，∴BE=CF．