关于"学会数学地认识和解决问题的方法"的思考

作者：高峰

中学数学：初中版 2013年12期

　　数学教育在学校育人的过程中具有独特的作用，其主要体现在开发学生的智力，锻炼学生的逻辑思维，使学生学会认识问题和解决问题的基本方法，并在这个过程中提高推理能力，培育理性精神和创造力.而实现这个目标的基本途径就是要使学生在认识数学的基本方法的同时，学会数学地思考和解决问题.

　　要把这种认识转化为课堂教学实践，需要教师理解数学的基本思想方法，把握数学地认识和解决问题的“基本套路”，这样才能在教学中自觉地遵循数学认识问题的轨迹，引导学生经历这样的认识过程，这样才能让学生有机会逐步学会数学地认识和解决问题.如果教师自己对“数学地认识和解决问题”的方法理解不充分，那么他就很难把“数学地认识和解决问题”做到位.

　　下面就笔者最近听到的一堂《同底数幂的乘法》课谈谈对这个问题的认识.

　　二、教学过程概要

　　环节1：发现问题

　　先让学生思考问题：太阳光照射到地球表面所需的时间大约是5×s，光的速度大约是3×m/s.那么地球与太阳之间的距离是多少？

　　教师让学生列出算式，然后引导学生利用乘法交换率得到：15×（）后，直接进入下一个环节.

　　设计意图：通过这个例子引入同底数幂的乘法，引导学生在探索这个问题的过程中，体会研究同底数幂的乘法的必要性，感受数学与外部世界的联系.但是教师没有引导学生针对这个问题进行分析，如涉及什么知识，如何计算，有何感受等，所以学生并不能体会研究同底数幂的乘法的必要性.

　　环节2：探索新知

　　（1）计算下列各式：

　　

　　（8）总结：①幂的底数必须________，相乘时指数才能相加；②上述性质对三个或三个以上同底数幂相乘同样适用.

　　（1）～（4）中教师出示问题，学生计算后归纳出结论（5）～（8），采取问答式，学生口答结论，教师板书，然后结束，这里没有总结探究过程中涉及的思想方法，以及这些问题是如何产生的.

　　设计意图：让学生感受从特殊到一般、从具体到抽象思考问题的方法，知道用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性.同时培养学生的归纳能力，从而提升合情推理和演绎推理的能力.但是这个目标在教学中并没有达成，因为学生只是在计算，并没有经历这些问题的产生过程.

　　环节3：知识运用

　　（1）例题讲解.

　　例1 计算：

　　

　　设计意图：一方面规范解题格式，另一方面加深对同底数幂的乘法的性质的理解以及利用性质解决实际问题，进一步感受“大”数值，发展数感.但是教师只是让学生口答过程，教师书写，完成后强调解题的规范性，没有对“如何运用法则进行求解”作任何说明，只强调底数不变，指数相加，指数不能进行其他运算.

　　（2）当堂反馈.

　　例3 计算（口答）：

　　

　　设计意图：本组问题中，有直接应用法则的问题，有与整式加减混合的问题，有底数不一样的问题，有逆向思考的问题.通过多样的题型，提醒学生用好法则，明确算理，发展学生的运算能力，为后继因式分解学习做铺垫.学生或口答或板书，对于出现的错误，教师帮助学生进行了改正，却没有从“算理”出发分析错误原因，以及在以后的学习中如何进行预防.没有对题目进行对比、归类，以及对运用到的数学思想方法进行归纳.

　　三、教学过程分析

　　1.原教学过程分析

　　（1）本节课的教学结构完整，包括课题的引入，同底数幂相乘的运算法则的探究，同底数幂相乘的运算法则的巩固与应用等环节.

　　（2）教学方法主要采用的是问答法，也注意了学生自主活动和教师讲授的结合，安排了多样化的学习活动.

　　（3）整个教学活动安排了如下的过程.

　　①用具体的例子引入课题，即通过计算“地球与太阳之间的距离”这个例子引入同底数幂的乘法，引导学生在探索这个问题的过程中，体会研究同底数幂的乘法的必要性，感受数学与外部世界的联系，激发学习兴趣.

　　②用“从特殊到一般，从具体到抽象”的认知方法探究同底数幂相乘的运算法则，先是底数与指数都是具体的数字，然后更换底数并把指数一般化，引导学生进行归纳总结，获得猜想，最后借助字母把底数和指数都一般化，从而得到一般化的结论.

　　③安排两个例题来规范解题格式，加深对同底数幂的乘法的性质的理解以及利用性质解决实际问题，进一步感受“大”数值，发展数感.

　　④利用多样的问题巩固法则，培养思维，体现数学思想方法.

　　（4）从教学设计可以看出，教师注意到了从实际问题中发现数学问题，通过“从特殊到一般，从具体到抽象”的认知方法去探究问题，想让学生经历“发现和猜想——验证和去伪——归纳与概括——推理与证明——应用与拓展”的知识形成过程，并要“培养学生的动手能力、观察能力和探究能力，以及合作交流能力”等，结合教师的教学实践，我们可以发现教师具有贯彻“新课标”理念的强烈愿望，而且也在努力实践.

　　因此，以一般的教学理论为视角，这节课没有多大的瑕疵.然而，如果从数学的角度，从发挥数学的内在力量开展育人活动的角度，从使学生学会认识问题、解决问题的方法的要求等角度，审视本节课，需要改进的工作是大量的，而且许多都是根本性的.

　　2.对改进教学的思考

　　实现数学课程的育人目标，根本上还是要发挥数学的内在力量.这就要求教师在日常教学中，以概念的发生、发展过程为载体，使学生经历完整的思考过程，包括：弄清问题产生的原因，分析研究的对象，确定研究的内容，选取研究的方法，安排研究的进程，获得研究结论.只有这样，才能让学生逐步树立从数学的角度看问题的观点，逐步掌握数学思考的过程与方法，进而学会数学地认识和解决问题，从这样的要求来审视，本节课需要改进的问题有以下几点.

　　（1）弄清问题产生的原因.纵观现在的课堂，教师都喜欢设计一个个问题，引导学生进行探究，但是学生并不知道这些问题是怎样产生的.本节课，对于为什么要研究“”类型的运算方法教师并没有进行阐述，其实利用乘方的意义是可以得到结果的.完全可以先让学生尝试进行计算，然后对过程进行分析，通过对比，发现过程比较烦琐，从而引出课题：研究“”类型的简便运算方法.由此还可让学生感受原来只是为了寻求简便方法，但是经过研究却发现了许多有价值的数学事实.这也是数学发展的一个动力所在，并且能培养学生自主质疑的习惯和质疑方法.同时，对计算过程中涉及的知识进行总结，为下面的探究做好知识和方法上的准备.这需要教师引导学生进行归纳和总结.

　　（2）分析研究的对象，确定研究的内容.本节课没有引导学生去分析研究对象，如“”类型不但是幂乘幂，还是同底数幂相乘.教师可以先让学生尝试写几个与本类型类似的算式，并说明理由，最后通过归纳、提炼，总结出本节课研究的内容：同底数幂相乘运算的性质.本节课指向不明，学生只是被牵着鼻子走，永远学不会数学地思考.

　　（3）选取研究的方法，安排研究的进程.探究性质时，本节课直接给出算式，学生并不能理解为什么会出现这些算式.我们应该让学生回顾有理数的运算法则的探究过程，思考本节课的探究方法，引导学生通过类比，得到“从特殊到一般”的方法，然后可以让学生对前面举的例子进行归纳、分类，知道分类举例可以使猜想更准确.

　　具体的探究过程中，应该先探究特殊情形，然后引导学生思考，从特殊到一般、从具体到抽象可以帮助我们发现问题、方法、结论，但是它们不具有一般性，而使用符号（如字母）进行运算和推理，可使得到的结论具有一般性.而本节课中特殊与一般是一起给出的，这就使学生缺少了对这一环节的思考.尽管老师提出了八个问题，对探究有一定的引领作用，但实际效果也只是“学生按照教师的指令做”.

　　（4）在概念、性质的应用教学中，没有强调“如何应用概念、性质解决问题”，在学生遇到困难或出现错误时，没有引导学生“回到定义去”.在计算时要让学生学会类比有理数的运算将不符合“同底数幂相乘”转化为“同底数幂相乘”；还要让学生正确运用性质进行计算，养成“以理驭算”的良好的运算习惯.

　　同时，本章知识的生成过程中还蕴含了把新问题转化为旧知识来解决的“化归思想”和把一个代数式看成一个字母的“整体代入思想”，要引导学生思考、总结，逐步感悟这些数学思想方法.

　　四、体现运算性质探究“基本套路”的教学设计

　　从上面分析中我们可以归纳出研究运算性质的“基本套路”：明确问题——定义对象——研究性质——应用.其中，“明确问题——定义对象”体现数学研究对象的抽象过程和数学概念发生、发展的过程，体现了“数学教学要讲背景”的要求；“定义对象——研究性质”体现了从概念和概念间的相互关系认识对象，通过命题刻画数式的变化规律.显然，这就是数学的内核，也是数学育人的内在力量之所在.

　　下面我们就根据上述“基本套路”来进行教学设计.

　　环节1：情景引入，明确问题

　　

　　学生完成计算后，教师引导学生进行如下反思：

　　（1）在计算“地球与太阳的距离”时，你运用了哪些知识？

　　（2）你觉得你的计算烦琐吗？你考虑过探究简便的计算方法吗？针对这个“情景”，我们能提出一个怎样的问题？

　　说明：其一，解决问题都是从学生已有的知识出发，所以提出第一个反思；其二，我们要引导学生学会在解决问题的过程中发现新问题（如运用已有的知识来解决本问题比较烦琐，从而想到去研究新的方法与性质等），所以提出第二个反思.教师引导学生归纳提炼出数学问题，这个“情景”向我们提出的问题是：如何更简单地计算“”型算式.

　　环节2：分析算式特征，明确研究对象

　　提问：请分析“”的结构特征，并再举一些类似的例子.

　　说明：引导学生得到“”类型不但是幂乘幂，还是同底数幂相乘，再让学生尝试写几个与本类型类似的算式，并说明理由，可以加深对结构的理解，最后通过归纳、提炼，总结出本节课研究的内容：同底数幂相乘运算的性质.

　　环节3：类比有理数运算，确定研究方法

　　先行组织者：同学们还记得研究有理数的运算法则时用的是什么方法吗？在学生回答出从“特殊到一般”时，提出下列问题.

　　提问：同学们刚才举的例子能用吗？为了使猜想更准确，举的例子应该具有什么样的特征？

　　师生活动：通过讨论，可以分别将底数和指数进行逐步一般化，即底数与指数都是具体的数字，然后底数是数字，指数是字母，最后获得猜想.

　　说明：引导学生举例，而不是直接给出例子，目的是让学生更好地感受从特殊到一般、从具体到抽象思考问题的方法，虽然学生不能准确的归纳，但是在教师的引导下，感受会很深刻的.这才是经历真正的思维过程，而不只是计算过程.

　　环节4：验证与证明

　　先行组织者：从特殊到一般、从具体到抽象可以帮助我们发现问题、方法、结论，但是它们不具有一般性，而使用符号（如字母）进行运算和推理，可使得到的结论具有一般性.

　　师生活动：用字母表示出同底数幂乘法的一般形式，然后利用乘方的意义进行证明，最后用文字和符号分别叙述和表示同底数幂乘法运算的性质，交流公式的条件和结论.

　　说明：整个过程，用探究运算性质的“基本套路”统领研究过程，贯穿着性质研究的基本思想.在教学活动中，始终强调“学生先做”，然后交流、互动、总结.这样做的目的就是为了落实数学基本思想和基本活动经验的教学，在整个过程中，学生分析和解决问题的能力也会得到锻炼.这样才能真正实现“从一类具体问题的操作、观察、比较、交流中，探索幂的运算规律，在这样的探索活动中感受‘从具体到抽象、从特殊到一般’思考问题的方法；通过符号进行运算和推理，得到幂的运算性质，发展符号意识与推理能力”.

　　环节5：理解与巩固

　　活动一：先自主求解例1中的题目，然后对照解答过程，思考下列问题：

　　（1）你发生过什么错误？你能分析错误的原因吗？

　　（2）你计算时，先研究过算式的特征吗？

　　（3）题目中的问题可以分几种类型？每种类型的注意点是什么？

　　（4）你能总结出解决问题的一般步骤吗？

　　说明：引导学生从分析错误入手，形成在计算时要先观察算式的特征，然后对照运算法则，正确使用法则进行求解的习惯.体会类比、化归以及整体思想的应用.

　　活动二：练习巩固（先自主探究，然后总结解题规律，写出错因）.

　　（1）下面计算是否正确？如有错误，请指正.

　　

　　提示1：（a-b）与（b-a）有关系吗？

　　提示2：（a-b）=-（b-a）.

　　（1）说说解决问题时你的困难是什么，以及你是如何突破的.

　　（2）还有哪些解决问题的方法？与同伴交流，将思路记录下来.

　　说明：提示的目的是为了帮助学生顺利前行，但是要让学生养成独立思考的习惯，确有困难时再在适当的时机寻求帮助.提供多种提示，可使得不同学生都有自己的思考空间，同时又获得自身需要的帮助.

　　环节6：学习反思

　　（1）同底数幂乘法运算的性质是什么？我们是如何研究的？

　　（2）你在计算的过程中，遇到了什么问题？发生了什么错误？是如何解决的？

　　说明：这些反思的内容在学习的过程中都及时地总结过，现在再次总结就是为了进一步巩固，促进建构，形成经验.

　　以上对数学教学中如何发挥数学的内在力量，使学生学会数学知识的同时，学会数学地认识和解决问题的方法，进而真正体现“学会学习”的育人目标，谈了个人的一些粗浅认识，请大家批评指正.

作者介绍：高峰，江苏省金湖县实验中学.