1.3.1单调性与最大(小)值
1.3.1单调性与最大（小）值
三维目标
知识与技能 使学生理解函数单调性的概念，并能判断一些简单函数在给定区间上的单调性．
过程与方法 启发学生发现问题和提出问题，培养学生分析问题、认识问题和解决问题的能力．
情感态度与价值观 通过观察——猜想——推理——证明这一重要的思想方法，进一步培养学生的逻辑推理能力和创新意识；通过渗透数形结合的数学思想，对学生进行辩证唯物主义的思想教育．
教学重点 函数单调性的概念和判断
教学难点 利用函数单调性的定义或者函数的图象判断函数的单调性 教学过程 一、建构定义: 1、引入直观性定义：
观察下列函数的图象,由学生讨论交流并回答下列问题（几何画板动态展示）
2
(1)f(x)x1
(2)f(x)x
2
问题3:这两个函数图象有怎样的变化趋势？（上升？下降？）
问题4:函数f(x)x在区间内y随x的增大而增大，在区间内
y随x的增大而减小；
教师说明直观性定义：称左边的函数在区间D上单调递增函数，
右边的函数则称为区间I
上单调递减函数。 2、严格数学语言定义：
多媒体展示：图象在区间D内呈上升趋势
当xy也增大
区间内有两个点x1、2，当x1x2时，有f(x1)f(x2) 问题5：若区间内有两点x1x2时，有f(x1)f(x2)，能否推出增函数？
构造反例，动画演示，引导学生对自变量取值的“任意性”的深刻理解。 定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I:
f(x)是单调递
如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是单调递增函数。 由学生类比得到减函数的定义：
如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是单调递减函数。 注:
(1)x1,x2三大特征：①属于同一区间；②任意性；③有大小：通常规定x1x2； (2)相对于定义域，函数的单调性可以是函数的局部性质。
举例：yx在(0,)上是单调增函数，但在整个定义域上不是增（减）函数。 二、 定义应用:
例1、下图是定义在[－5，5]上的函数yf(x)的图象，根据图象说出函数yf(x)的单调区间，以及在每一单调区间上，yf(x)是增函数还是减函数。
2
分析：动画演示，帮助学生理解。
解：yf(x)的单调区间有[－5，－2），[－2，1），[1，3），[3，5]。
其中yf(x)在[－5，－2）,[1，3）上是减函数；
在[－2，1）， [3，5）上是增函数。 强调单调区间的写法：
问题6：可否写成[－5，－2）U[－2，1）？ 问题7：写成[－5，－2）还是写成[－5，－2]？ 多媒体展示构造反例说明：
（1）单调区间一般不能求并集；
（2）当端点满足单调性定义时，可开可闭。
例2、试判断函数f(x)xx 在区间（0，＋∞）上是增函数还是减函数？并给予证明。
分析：问1：除了图象法判定函数单调性还有什么方法？ 2：如何用定义法判定函数单调性？
3：用定义判定函数单调性的关键是什么？（提示如何比较3和2的大小，从而引入作差法）
证明：函数f(x)xx 在（0，＋∞）上是增函数
设x1、x2 是(0,＋∞)上的任意两个值,且x1x2， 则f(x1)f(x2)(x1x1)(x2x2)
2
2
2
2
取值
(x1x2)（x1x2）
22
(x1x2)(x1x2)（x1x2）
作差变形
(x
1x2)(x1x21)
又0x1x2，故x1x20，x1x210 则f(x1)f(x2)0，即：f(x1)f(x2)
因此，函数f(x)xx 在（0，＋∞）上是增函数。 总结定义法证明函数单调性的步骤：
1、取值:设任意x1、x2属于给定区间，且x1x2；
2
定号 下结论
2、作差变形:f(x1)f(x2)变形的常用方法:因式分解、配方、有理化等； 3、定号:确定f(x1)f(x2)的正负号； 4、下结论:由定义得出函数的单调性。 思考题：
在上面证明中，你能理解x1、x2的任意性的意义吗？
解答：有了“任意性”在区间内不管取哪两个值，其证明过程都是一样的。 三、课堂练习：
（1）课本 （2）证明:函数y3在上是减函数。（动画演示帮助理解）
（0，）x
课后思考：
函数f(x)在R上单调递增，又该如何? 四、回顾小结：
1、函数单调性的定义； 2、判定函数单调性： （1）方法：图象法，定义法；
（2）定义法步骤：取值，作差变形，定号，下结论。 五、课后作业： 六、板书设计
f(x1)f(x2)
的符号有什么规律？若单调递减，
x1x2