高等数学知识在医学中的应用举例

高等数学知识在医学中的应用举例

随着现代科学技术的发展和电子计算机的应用与普及，数学方法在医药学中的应用日益广泛和深入。医药学科逐步由传统的定性描述阶段向定性、定量分析相结合的新阶段发展。数学方法为医药科学研究的深入发展提供了强有力的工具。 高等数学是医学院校开设的重要基础课程，下文仅例举一些用高等数学基础知识解决医学中的一些实际问题的例子，旨在启发学生怎样正确理解和巩固加深所学的知识，并且强化应用数学解决实际问题的意识。 例1 脉管稳定流动的血流量

设有半径为R ，长度为L 的一段血管，左端为相对动脉端，血压为P 1．右端为相对静脉端，血压为P 2（P （如下图）．取血管的一个横截面，求单位时间内1>P 2）通过血管横截面的血流量Q ．

P 2

分析 利用微元法，在取定的横截面任取一个内径为r ，外径为r +dr （圆心在血管中心）的小圆环作为研究问题的微元，它的面积近似等于2πrdr ，假定血管中血液流动是稳定的，此时血管中血液在各点处的流速v 是各点与血管中心距离

r 的函数，即v =v (r ) ．血流量等于流速乘以面积．因此，可以求得在在单位时

间内，通过该环面的血流量dQ 的近似值，进而求得该横截面的血流量Q ． 解 在单位时间内，通过环面的血流量dQ 近似地为

dQ =v (r )2πrdr =2πrv (r ) dr .

从而，单位时间内通过该横截面的血流量为 Q =

蝌v (r )2πrdr =2π

R R 0

rv (r ) dr .

由研究人员经实验得知，在通常情况下，有

v (r ) =

P 1-P 2

(R 2-r 2). 4ηL

其中η为血液的粘滞系数．于是 Q =2πò

R

P 1-P 2

(R 2-r 2) rdr 4ηL

R 40

轾221π(P 1-P 2) 犏R r -r =

犏4ηL 臌2

=

π4

(P 1-P 2) R . 8ηL

小结 血流量与血管两端压力差成正比；血流量与血管半径的４次方成正比；血流量与血液粘滞系数成反比．

例2 药物在体内血液中的浓度称为血药浓度．血药浓度随时间变化的函数称为药时曲线．如口服药后，体内血药浓度的变化关系是 C =C (t ) =A e -(k e t -e -k a t

这里A , k e , k a (k e >0, k a >0) 为参数，试对该药时曲线进行分析．

解题思路 要分析该药时曲线，首先要确定药时曲线的性态特征，然后根据曲线对血药浓度的进行分析． 解 性态描述 (1)定义域为(0,+ ) ． (2)求C (t ) 的一、二阶导数．

C ¢(t ) =A -(k e e -k e t +k a e -k a t )

2-k a t C ⅱ(t ) =A (k e 2e -k e t -k a e ) ．

(t ) =0，解得 (3) 求C (t ) 的一、二阶导数等于零的解．由C ¢k a

k e

. t =T m =

k a -k e

ln

(t ) =0，解得 由C ⅱ

k a k e

t =T 0=2=2T m .

k a -k e

ln

(4)因为lim C (t ) =0，所以C =0是曲线的水平渐近线．

t

(5)列出药时曲线的性态特征表如下

范围C ¢(t ) C ⅱ(t ) 性态绘出下图：

(0,T m ) +-凸增

T m 0-最大值

(T m , T 0) --凸减

-

T 0(T 0, + ) -+凹减

0拐点

根据曲线的性态特征，可见：

(1)服药后，体内血药浓度的变化规律是：从0到T m 这段时间内体内药物浓度不断增高，T m 以后逐渐减少．

(2)服药后到T m 时，体内药物浓度达到最大值C (T m ) =C m ，称之为峰浓度，T m 称为峰时．若T m 小C m 大，则反映该药物不仅被吸收快且吸收好，有速效之优点． (3)服药后到t =T 0这段时间内曲线是凸的，其后为凹的．这显示体内药物浓度在

T 0前变化的速度在不断减小（即血药浓度在减速变化），而在T 0后变化的速度在不断增加（即血药浓度在加速变化），在t =T 0 处血药浓度的变化速度达到最小

值．由于在T 0后整个血药浓度在不断减少，所以，血药浓度在加速减少． (4)当t

例3 求直线型经验公式

从某新生儿1个月开始，每月测量他的体重，得原始数据如下：

时，C (t ) 0，即渐近线是时间轴，表明药物最终全部从体内消除．

根据这些数据，求关于x , y 的经验公式（精确到0.001）．

解 （主要介绍最小二乘法，也把选点法和平均值法作以介绍，以示比较） （一）选点法

把表中各对数据作为点的坐标，在坐标平面上画出这些点，观察这些点，可以看出它们大致分布在一条直线上，用透明直尺的边缘在这些点间移动，使它尽量靠近或通过大多数点，画出直线，然后在该直线上选两点（一般为提高经验公式的

精确度，选取的两点间隔较远为好），例如选(1,3.5)和(7,8.0)两点，得经验公式为

y =0. 7x 5+0

. （Ａ） 2

（这里图略） （二）平均值法

先根据七组数据画出经验曲线，确定经验公式是直线型的，然后把表中x , y 的对应值代入y =kx +b ，可得七个关于k , b 的一次方程．为了确定k 与b 的值，把七个方程分为两组，使两组中方程个数相差一个（当方程为偶数个时，则取相同个数），再把各组方程两边分别相加，就得关于k , b 的方程组．

3.5=4.2=5.8=+)8.0=

k +b 2k +b 5. =0k +3b

4k +b 6. =5k +5b 7k +b +) 7=. 2k +6b

21.5=14k +4b 18=. 7k +14b

ì21.5=14k +4b ïï解方程组：í， ï18.7=14k +3b ïî

得b =2.800, k =0.736，代入y =kx +b ，得经验公式：

. （Ｂ） 2

y =0. 7x 3+6（三）最小二乘法

对于实验数据中自变量的每一个值x i (i =1,2, 经验公式求出相应的值y i ¢(i =1, 2,

n

, n ) 的实测值y i (i =1,2,

, n ) ，由

n , ，) 则差值y i -y i ¢叫做偏差，记作

偏差平方和记作åδi 2，最小二乘法就是采用偏差平方和为最小δi (i =1, 2, n , ，)

i =1

来确定经验公式的．

利用最小二乘法求经验公式y =kx +b ，其中k 与b 为待定系数，分别由下列公式确定：k =

å

x i y i -x i 2-n () 2

k x

. 其中=

邋x , =

i

y i n

n

b =y -

由上式得k =

åx i y i -x -n ()

2i

2

181.8-7创4=

140-7 4

40.2

0.750. 2

2. 743.

b =y -k x 5=. 743-椿0. 750 4

代入y =kx +b ，得经验公式： y =0. 7x 5+0

. （Ｃ） 2

三种方法求得的经验公式分别为：

y =0.750x +2.750; 计算得偏差平方和åδi 2=0.0075;

i =1n n

y =0.736x +2.800; 计算得偏差平方和åδi 2=0.0127;

i =1n

y =0.750x +2.743. 计算得偏差平方和åδi 2=0.0068.

i =1

可见，用最小二乘法求出的经验公式最精确．

例4 药物动力学中静脉恒速注射的一室模型

把剂量为D 0的丹参注射液在T 一段时间内以恒速（速度k 0=

D 0

）滴入人体，人T

体内药物量用x 表示，显然当t =0时，x =0，求体内血药浓度C 随时间t 的变化规律．

分析 人体内除了有药物输入这一输入速度外，同时还有一个消除速度记为kx ，这样体内药物量x 变化的数学模型为

dx

=-kx +k 0 (1) dt

其中k 为消除速度常数．由方程和初始条件可求得血药浓度C 随时间t 的变化规律．

dx

=-kx +k 0是一阶线性微分方程，常数变易法解之． dt

dx

对应的齐次方程为=-kx ，分离变量得x =ce -kt ，将x =c (t ) e -kt 代入方程

dt

解（一）

k dx

=-kx +k 0中，得c (t ) =0e kt +c 1，则x =dt k 骣k 0kt k 0-kt -kt ÷çe +c e =1+c e ÷() ，由 ç11÷ç桫k k

初始条件t =0时，x =0得c 1=-1，故x =

k 0

1-e -kt ) (k

两端再除以表现分布容积V ，则血药浓度方程为

k

-e -kt ) C (t ) =0(1kV

当滴注完了时(t =T 时) 的体内血药浓度为

D 0=-(e 1-kT ． ) C (T )

kVT

dx

解（二）由=-kx +k 0，t =0时，x =0是初始条件，用拉普拉斯变换求解．

dt 设X (s ) =L (s ) ，则x (0)=0，对方程(1)两端取拉氏变换

骣dx ÷

L =-kL (x +) L k 0( ) ÷÷桫dt

整理后得

k 0k 0骣11÷ X (s ) ==-÷, 桫s (s +k ) k s s +k ÷

取拉氏逆变换，可得

x =

k 0

(1-e -kt ) k

k 0

(1-e -kt ) kV D 0kVT

两端再除以表现分布容积V ，则血药浓度方程为 C (t ) =

当滴注完了时(t =T 时) 的体内血药浓度为 C (T ) =

例5 药物动力学中快速静脉注射的二室模型

在一次快速静脉注射给药的情况下，如快速静脉注射柴胡注射液、葡萄糖注射液等，其药物动力学过程可用下图所示的二室模型来模拟．其中一室常代表血液及血流灌注充沛的器官和组织，二室表血流灌注贫乏的组织，

1x 1k 10¯

k 12k 21

2x 2

-(e 1-kT ． )

k 10, k 12, k 21都是一级速率常数．设静脉注射的剂量为x 0，在时刻t ，一室和二室中的药量分别为x 1和x 2，且当t =0时，x 1=x 0, x 2=0．试求一室和二室药量随时间变化的规律．

分析 在时刻t ，一室和二室中的药量分别为x 1和x 2，其数学模型为下列微分方程组

ìïïïï í

ïïïïïî

dx 1

=k 2x 1-2(k +1k 2) x 101dt

(1)

dx 2

=k 1x 2-1k x . 212dt

由方程和初始条件可求得一室和二室药量x 1和x 2随时间的变化规律． 解 用拉普拉斯变换求解，设L [x 1(t )]=X 1(s ), L [x 2(t )]=X 2(s ) ，对方程组(1)两端取拉氏变换得

ìs X -) s ï1(ï íï) =s 2(ïîs X 解得

x =k

21

k (X ) s (+2-1k 2

21

12

X (1-) s k (X 2) . s

) 1k

(X ) , s

X 1(s ) =

x 0(s +k 2) 1

2

s +(k 12+k +2k 1) s +1k 0k

2110

设-α和-β是s 2+(k 12+k 21+k 10) s +k 21k 10=0的两个根，由判别式可知

α¹β，则有

s 2+(1k 2+k 2+k ) 1

于是

X 1(s ) =

10

s +k

21

k (=αs +s ) β( +) , 10

x 0(s +k 2) 1

(s +α)(s +β)

取拉氏逆变换，即得一室药量随时间t 的变化规律为

αt -βt

(k 2-) -e (k -2β1x e ) 1αx 0- x 1= 0

β-α

若以V 1表示一室的表现分布容积，则血药浓度随时间的变化规律为 C (t ) =类似地，可求出 X 2(s ) =

k 1x k x 12020

=

s 2+(k 12+k +k ) s +k k (s +α)(s +β) 21102110x 0(α-k 2) 1-αt x (k 0-β2) 1-e +e V 1(α-β) V 1(α-β)

βt

取拉氏逆变换，得二室药量随时间的变化规律为 x 2=

k 1x 2

(0e -αt -e -βt ) ． β-α

（注：本例选自＂生物数学学报＂2000,15(4):476-479董萍, 拉普拉斯变换在药物动力学中的应用）

例6 某医院采用I 、II 、III 、IV 四种方法医治某种癌症，在该癌症患者中采用4种方案的百分比分别为0.1，0.2，0.25，0.45，其有效率分别为0.97，0.95，0.94，0.9. 试求: (1)到该院接受治疗的患者, 治疗有效的概率为多少?

(2)如果1名患者经治疗有收效, 最有可能接受了哪种方案的治疗? 解 分别记采用I 、II 、III 、IV 种方法治疗为事件A 1, A 2, A 3, A 4,

则P (A 1) =0.1, P (A 2) =0.2, P (A 3) =0.25, P (A 4) =0.45

治疗有效记为B, 则B 伴随事件A 1, A 2, A 3, A 4之一的发生而发生 则P (B |A 1) =0.97, P (B |A 2) =0.95, P (B |A 3) =0.94, P (B |A 4) =0.9 由全概率公式有,

P (B ) =

å

4

P (A i ) P (B |A i ) =0.1? 0.97

0.2? 0.950.25? 0.940.45? 0.90.927.

i =1

由贝叶斯公式P (A k |B ) =

P (A k ) P (B |A k )

å

4

P (A i ) P (B |A i )

97

; 927

i =1

有P (A 1|B ) =

P (A 1) P (B |A 1)

å

4

=

P (A i ) P (B |A i )

i =1

190235405

; P (A 3|B ) =; P (A 4|B ) =. 927927927

405

取max {P (A 1|B ), P (A 2|B ), P (A 3|B ), P (A 4|B ) }=, 所以最有可能接受了第IV

927P (A 2|B ) =

种方案的治疗.

例7 某种动物雌性的最大生丰年龄为15年．以5年为间隔，把这一动物种群分为3个年龄组[0,5)，[5,10)，[10,15)．设初始时刻t 0=0时，3个年龄组的雌性动物个数分别为

500, 1000, 500．利用统计资料，已知

*

11

a 1=0, a 2=4, a 3=3, b 1=, b 2=．试分析该动物种群的年龄分布．

24

*注释与分析 设第i (i =1,2,3) 个年龄组的生育率为a i (i =1,2,3) ，存活率为b i (b i 表示第i 年龄组中可存活到第i +1年龄组的雌性数与该年龄组总数之比，

i =1, 2) ．在不发生意外事件(灾害等) 的条件下a i , b i 均为常数，且

a i ? 0, 0b i

1．由已知条件可知初始年龄分布向量X (0)=(500,1000,500)T ．由

a 20

b 2

骣a 1珑珑b 1莱斯利种群模型得莱斯利矩阵为L =珑珑珑珑珑0桫

a 3鼢骣043

鼢鼢0鼢=1/200． 鼢鼢

鼢桫01/400鼢

X (k ) =LX (k -1) =L k X (0), k =0,1,2, 分布进行分析．

. 以下从莱斯利矩阵入手对该动物种群的年龄

骣043÷ç÷ç(0)T ç÷解 由X =(500,1000,500)，L =ç1/200÷． ÷ç÷ç÷ç桫01/40÷

于是，

骣04鼢3骣50 0骣 5500珑鼢 珑 0) 鼢 鼢 1/20010=00250 X (1=) L X (=珑 珑 鼢 珑 鼢 珑鼢桫 珑 0桫1/4鼢05 0 250桫0骣04鼢3骣55 0骣0 1750珑鼢 珑 (珑1) 鼢 鼢 1/2002=50 X (2=) L X = 2750珑 鼢 珑 鼢 珑鼢桫 珑0 5桫1/4鼢02 0 62. 5桫

骣0骣43鼢1750骣11000 珑 鼢 珑 (3)(2)鼢珑 X =LX =珑1/200鼢2750= 875 鼢 珑 鼢 珑 鼢62.5 珑 687.5 桫01/40鼢桫桫

为了分析k 时，该动物种群年龄分布向量的特点．先求出矩阵L 的特征值和

特征向量．L 的特征多项式

骣λ-4-3÷ç÷ç3231ç÷λ0÷=(λ-)(λ-λ+) det(λE -L ) =ç-1/2÷ç÷224ç÷ç-1/4λ÷桫0

得L

的特征值λ1=

3, λ2=λ3= 显然λ1是矩阵L 的唯一正特2征值， 且λ1>λ2, λ1>λ3，因此矩阵L 可与对角矩阵相似．

设矩阵L 属于特征值λi 的特征向量为αi (i =1,2,3) ．不难计算，L 的属于特征

3

值λ1=的特征向量α1=

2

骣11÷ç记矩阵P =(α1, α2, α3), Λ=diag (λ1, λ2, λ3), 1, , ÷．çç桫318÷

T

则

P Λ或L =P ΛP -1 P -1L =

) -L k X (=0) ΛP k 于是， X (k =

P 1X

骣100÷ç÷-1çk ç÷P ç0(λ2/λ) k

10÷P X =λ1÷ç÷ç÷ç00(λ3/λ1) k ÷桫(0

骣骣k 骣λ2鼢λ31(k ) ç鼢即 k X =Pdiag ç1ç鼢鼢çλ1λ1桫λç桫桫

因为k ÷-1÷ P X ÷÷1÷(0) λλ2

1(k ) (0) l i ． X X =P d (i a 1g ) , -0, 10P k k λ1

记列向量P -1X (0)的第一个元素为c (常数) ，则上式可化为

骣c ÷çç÷1÷0÷=c α1 lim k X (k ) =(α1, α2, α3) çç÷k ç÷λ1ç÷ç0÷桫

于是，当k 充分大时，近似地成立

骣1÷ç÷骣ç3(k ) k ÷÷ç÷1/3 X =c λ1α1=c ç (c 为常数) ÷çç÷÷çç÷桫2ç÷ç1/18÷桫k

这一结果说明，当时间充分长，这种动物中雌性的年龄分布将趋于稳定：即311个年龄组的数量比为1::，并由此可近拟得到t k 时种群中雌性动物的总量，318

从而对整个种群的总量进行估计．

11