魔方的生成元
关于魔方的生成元问题
定理：魔方的生成元有六个，其中任意五个生成元是独立的。是极大无
关组，而四个生成元不是极大无关组。六个生成元是不独立的。任意一个生成元可以由其它五个生成元表示。 证明：
一个角在同一个位置上有三个方向。转动可以实现一个角在同一个位置上的三个方向，下面说明这一点。
例如角7，不妨设7的前面是红色。上面是黄色，右面是蓝色。依顺时针为序不会发生变化。位置变动顺时针为正，逆时针为负，即则红色转到上面为正，红色转到右面为负。
角7转动U 使7到5，红色到左边，再转动F 使5到7，红色到上边， 角7转动-U 使7到6，红色到右边，再转动-R 使6到7，红色到右边， 下面说明一个角可以转动到八个不同的位置上。
例如角7，转动U ，可以到5，4，6三个位置。转动R 可以到（6），2，3三个位置。转动F 可以到（3），1，（5）三个位置。这里只涉及七个角。
再转动L ，（4），（5），（1）可以转到0。这里涉及八个角。 这里用到四个生成元U ，R ，F ，L 。
一个边在同一个位置上有二个方向。转动可以实现一个边在同一个位置上的二个方向，下面说明这一点。
例如边S 前面是红色。上面是黄色。转动U 使S 到-T ，红色到左边，再转动L 使-T 到Z ，红色仍然在左边，继续转动F 使Z 到S ，红色到上边。
然而：转动U 使S 到，-T ，-S ，T 。转动R 可以使Ｔ到Ｐ，Ｎ，Ｈ。转动F 可以使Ｈ到Ｍ，Ｚ，（Ｓ）．转动L 可以使Ｚ到－Ｎ，Ｑ，（Ｔ）。四个生成元U ，R ，F ，L 只涉及十一个边。即四个生成元不能得到整个魔方群。即四个生成元不是极大无关组。
只有再增加一个转动。例如增加一个转动Ｄ，使－Ｎ到－Ｍ，（Ｎ），（Ｍ）。或增加一个转动Ｂ，使Ｑ到（－Ｓ），（Ｐ），－M 。才能使一条边到达十二个位置上。得到整个魔方群。所以五个生成元是极大无关组。
因为整个魔方可以任意拿，所以也就证明了魔方的生成元有六个。其中任
意而四个生成元虽然是独立的，但不是极大无关组。任意五个生成元不仅是独立的，而且是极大无关组。但六个生成元是不独立的。
以下证明：任意一个个生成元可以由其它五个生成元表示。 为此首先证明一个引理：UD ’R 2L 2UD ’=U’DR 2L 2U ’D 。
上面的表格第8列表示的是X 的变化，与第19列表示的是-X 的变化，为了便于看出把第19列复制到第10列，上面的表格第8列与第10列完全相同, 这就证明了引理。
设：X= UD’R 2L 2UD ’, 则 X ’= U’DR 2L 2U ’D 。
因为B 的转动 后面的四边四角的方向不变。6—4, ，4—0，0—2，2—6。-S__Q，
Q__-m，-m__P，P__-S。以下说明实现上述变化的转动程序。
下证明B 的任何转动，可以由U ，D ，F ，R ，L 的转动而加以实现。 （表一，表二列表示转动，行表示块的变化）
’22’’’22’由上面的表可以看出：B=XFX; B 2=XF2X; B ]=B3=XF3X; 定理证毕。
任何转动都是四个边四个角八个元素的变换，
E 表示恒等变换，D U F R L 的四次方都是恒等变换。三次方等于逆变换。即X 3=X]。
(大家知道n 维空间中n+1个向量是线性相关的。n 维空间的基底中含n 个线性无关的向量，任意一个向量可以由这n 个向量线性表示。上述与此相仿。) 说明：如果看本文有困难的话，可先看“魔方我的数学模型”，这里用的符号均来自“魔方我的数学模型”一文。