微分中值定理及其应用和推广论文
微分中值定理及其应用和推广
王泓元
摘要:微分中值定理包括罗尔(Rolle)中值定理、拉格朗日(lagrange)中值定理、柯西(cauchy)中值定理、泰勒(Taylor)定理。
微分中值定理是反映函数与导数之间关系的重要定理,也是微积分学的理论基础,也是沟通导数值与函数值之间的桥梁,它利用导数的局部性质来推断函数的整体性质的工具。在许多方面它都有着重要的作用,在进行一些公式推导和定理证明中都有很多应用。
关键词:中值定理;推广;应用
2. 微分中值定理的基本内容
2.1罗尔(Rolle)中值定理
“罗尔定理”这个名字是由德罗比什在1834年给出的。 罗尔在当时提出的这个结论,主要是针对多项式函数的,现在所看到的罗尔定理则一般适用于一般的函数。而且证明的方法也与罗尔的有所不同,罗尔是利用纯代数的方法加以证
[1]
明的,而后人则是以分积分的理论证明的。
nn1axaxan1xan0中,至少01 罗尔在《方程的解法》论著中给出了“在多项式
有一个实根。”的论断。正好是定理的一个特例,这也是以上定理称为罗尔定理的原因。 2.1.1罗尔定理 若函数f(x)满足如下条件:
(i) f在闭区间[a,b]上连续; (ii) f在开区间(a,b)内可导; (iii)f(b)f(a),
则在(a,b)内至少存在一点,使得f()0.
2.1.2罗尔定理的证明
证明:由(i)知f(x)在[a,b]上连续,故f(x)在[a,b]上必能有最大值M和最小值m,此时,分两种情况来谈论:
(1)若M=m,即f(x)在[a,b]上得最大值和最小值相等,此时f(x)为常数,
f(x)Mm,所以f(x)0,因此,可知为(a,b)内任意一点都有f()0.
(2)若M>m,因为f(a)f(b),使得最大值M和最小值m至少有一个在(a,b)内某点处取得,从而是f的极值点,由条件(ii)f在点处可导,故由费马定理推知,
f()0.
注:⒈ 定理中的三个条件缺少任何一个,结论将不一定成立,即定理中的条件是充分
的,但非必要(见图2-2)。
图 2-2
⒉ 罗尔定理中的点不一定唯一。实际上,从定理的证明过程中不难看出,若可
导函数f(x)在点处取最大值或者最小值,则有f()0.
2.1.3几何意义
在每一点都可导的一段连续曲线上,如果曲线的两端点高度相等,则至少存在一条水平切线(图2-1)。
2.2 拉格朗日(lagrange)中值定理
拉格朗日定理是微分中值定理中最主要的定理,历史上对拉格朗日定理的证明有三种,最初的证明是由拉格朗日在《解析函数论》中给出的,从这个定理的条件和结论可见,罗尔定理是拉格朗日定理的一种特殊情况。正因为如此,可以借助罗尔定理的证明方法来证明拉
[1]
格朗日定理,这是现代的证明方法,也是由法国数学家O.博内给出的。 2.2.1拉格朗日中值定理 若函数f满足下条件
(i)f在闭区间[a,b]上连续; (ii)f在开区间(a,b)内可导,
则在(a,b)内至少存在一点,使得
f()
f(b)f(a)ba.
2.2.2利用罗尔定理证明拉格朗日中值定理
证明:上式又可以写为
f()
作辅助函数
f(b)f(a)
0
ba
F(x)f(x)
f(b)f(a)
(xa)
ba
显然,F(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上可导,且
f(b)f(a)
(aa)f(a)
ba f(b)f(a)
F(b)f(b)(ba)f(a)
ba
F(a)F(b).
F(a)f(a)
所以由罗尔中值定理知,在(a,b)内至少存在一点,使得F()0,即
f()
2.2.3几何意义
f(b)f(a)ba
在满足定理条件的曲线yf(x)上 至少存在一点P(,f()),该曲线在该 点处的切线平行于曲线两端点的连线AB
(见图2-3).
我们在证明引入的辅助函数F(x),正是曲线
yf(x)与直线AB(
yf (a)
f(b)f(a)
(xa)
ba)之差。
2.2.4拉格朗日公式的表示形式:
拉格朗日公式共有4种表示形式,供在不同场合选用:
图 2-3
f()
(1)
f(b)f(a)ba;
(2)f(b)f(a)f()(ba),ab;
(3)f(b)f(a)f(a(ba))(ba),01;
(4)f(ah)f(a)f(ah)h,01.
注:拉格朗日公式无论对于ab都成立,而则是介于a与b之间的某一定数。 而(3)、(4)两式的特点,在于把中值点表示成了a(ba),使得无论a,b为何值时,
总可以小于1的某一正数。
2.3 柯西(cauchy)中值定理
柯西定理中对于定理中函数g1当g(x)x时,柯西定理就是拉格朗日定理,所以柯西
定理可以看作是拉格朗日定理的推广。关于该定理的证明方法也与拉格朗日定理的证明方法类似。
中值定理研究的是函数在某一点所具备的性质,定理的应用也比较广泛,当定理中的条件稍作改动,从而就可以得到了一些特殊的结论,因此也推广了定理的使用范围[1]。 2.3.1柯西中值定理 设函数f(x)和g(x)满足 (i) 在[a,b]上都连续; (ii) 在(a,b)内都可导;
(iii)f(x)和g(x)不同时为零;
(iv)g(a)g(b),
f()f(b)f(a)
g()g(b)g(a). (a,b)则存在,使得
2.3.2利用罗尔定理证明柯西定理
证明:作辅助函数
F(x)f(x)f(a)
f(b)f(a)
(g(x)g(a))
g(b)g(a),
易见F在[a,b]上满足罗尔定理条件,故存在(a,b),使得
F()f()
f(b)f(a)
g()0
g(b)g(a),
因为g()0(否则由上式f()也为零),所以可把上式改写成 f()f(b)f(a)
g()g(b)g(a).
2.3.3几何意义
柯西中值定理有着与前两个中值定理相类似的 几何意义,只是现在要把f,g这两个函数写作以x 为参数的参量方程
u=g(x), v=f(x).
在uOv平面上表示一段曲线(图2-5),由于
f(b)f(a)
g(b)g(a)表示连接该曲线两端的弦AB的斜率, f()g()而
图2-4
x
则表示该曲线上与x相对应
的一点C(g(),f())处的切线的斜率,因此表示
上述切线与弦AB互相平行(见图2-4).
2.4罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理三者之间的关系
在拉格朗日定理中,如果f(a)f(b),则变成罗尔定理。在柯西中值定理中,如果F(x)=x,则变成拉格朗日定理。因此,拉格朗日定理是罗尔定理的推广,柯西中值定理是拉格朗日定理的推广。反之,拉格朗日定理是柯西中值定理的特例,罗尔定理是拉格朗日定理的特例。
我们只有对这三种微分中值定理做到真正的理解,才能在以后的推论常函数,利用导数求函数单调性或求不定式的极限的问题灵活运用。
2.5 泰勒(Taylor)定理
18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒(Brook Taylor),1717年,他以泰勒定理求解了数值方程[1]。
泰勒的主要著作是1715年出版的《正的和反的增量方法》,书中以下列的形式陈述出他已于1712年7月给其老师梅钦(数学家 、天文学家)信中首先提出的定理——泰勒定理。 2.5.1 带有佩亚诺型余项的泰勒公式
x对于一般函数f,设它在点0存在直到n阶的导数,由这些导数构造一个n次多项式
f(x0)f(x0)f(n)(x0)2
Tn(x)f(x0)(xx0)(xx0)(xx0)n
1!2!n!,称为函数ff(k)(x0)
(k1,2,3...n)
xT(x)k!0n在点处的泰勒(Taylor)多项式,的各项系数称为泰勒系数。
n
xf(x)T(x)o((xx)),f0n0定理2.5.1 若函数在点存在直到n阶的导数,则有
即:
f(x0)f(n)(x0)2
f(x)f(x0)f(x0)(xx0)(xx0)(xx0)no((xx0)n)
2!n!.
xR(x)f(x)Tn(x),称为泰勒公式的余项,形如
称为函数f在点0处的泰勒公式,n
o((xx0)n)的余项称为佩亚诺(Peano)型余项,所以又称定理2.5.1为带有佩亚诺型余项
的泰勒公式。
n
R(x)f(x)T(x)Q(x)(xx)n0证明:设n,n,
Rn(x)
0
xx0Q(x)n 现在只需要证明.
lim
(n)
(x0)...RnR(x)R(x0)0, n0n 由定理2.5.1可知,
(n1)(n)
(x0)...QnQ(x)Q(x)0Q(x0)n! n0n0n 即,,
(n)
f(x0)存在,所以在点x0的某邻域U(x0)内f存在n-1阶导函数f(x).
因为
xU(x0)且xx0时,允许接连使用洛必达法则n-1次,得到
于是当
(n1)Rn(x)(x)Rn(x)Rn
limlim...lim(n1)xx0Q(x)xx0Q(x)xx0Q(x)nnn
f(n1)(x)f(n1)(x0)f(n)(x0)(xx0)
limxx0n(n1)...2(xx0) f(n1)(x)f(n1)(x0)1
lim[f(n)(x0)]n!xx0(xx0)
0
n
xf(x)p(x)((xx)),其中pn(x)为0n0注意:①若f(x)在点附近满足
pn(x)a0a1(xx0)a2(xx0)2...an(xx0)n的n阶多项式,此时并不意味着pn(x)必定就是f的泰勒多项式Tn(x).
n
f(x)p(x)((xx))(即带有佩亚诺型误差)的n次逼近多项式n0 ②满足
pn(x)是唯一的。
③特殊形式的泰勒公式(即
x00时)
,
f(0)2f(n)(0)n
f(x)f(0)f(0)xx...x(xn)
2!n!
2.5.2常见函数的麦克劳林公式
x2xn
e1xo(xn)
2!n!(1);
x
x3x5x2m1m1
sinxx(1)o(x2m)
3!5!(2m1)!(2);
2mx2x4mxcosx1(1)o(x2m1)2!4!(2m)!(3); n
x2x3n1xln(1x)x(1)o(xn)23n(4);
(1x)1x
(5)
(1)
2!
x2
(1)(n1)
n!
xno(xn)
;
1
1xx2xno(xn)
(6)1x.
2.5.3 带有拉格朗日型余项的泰勒公式
定理2.5.2 泰勒定理 若函数f在[a,b]上存在直至n阶的连续导函数,在(a,b)内存在(n+1)阶导函数,则对任意给定的x,
x0[a,b],至少存在一点(a,b),使得
f(x0)f(n)(x0)f(n1)()2nf(x)f(x0)f(x0)(xx0)(xx0)(xx0)(xx0)n1
2!n!(n1)!
f(n1)()Rn(x)f(x)Tn(x)(xx0)n1
(n1)!称为泰勒公式,它的余项为,
x0(xx0) (01),称为拉格朗日型余项,所以定理2.5.2又称为带有拉格朗
日型余项的泰勒公式。
当
x00时,得到泰勒公式
f(0)2f(n)(0)nf(n1)(x)n1
f(x)f(0)f(0)xxxx
2!n!(n1)! (01).也称为
(带有拉格朗日余项的)麦克劳林公式。
f(n)(t)
F(t)f(x)[f(t)f(t)(xt)...(xt)n]
n!证明:作辅助函数,
n1
G(t)(xt) .
F(x0)f(n1)()f(n1)()
F(x0)G(x0)
G(x0)(n1)! (n1)! 所以只需证明,或者
设
x0x,则F(t)和G(t)在[x0,x]上连续,在(x0,x)内可导,
f(n1)(t)
F(t)(xt)nn
G(t)(n1)(xt)0. n! 且,
又因为F(x)G(x)0,所以由柯西中值定理证得
F(x0)F(x0)F(x)F()f(n1)()
G(x)G(x)G(x)G()(n1)!. 00
其中
(x0,x)(a,b).
3.微分中值定理的应用
微分中值定理的应用在高等数学中的地位是不容置疑的,而且在解题中的应用也是十分灵活、广泛的,举不胜举。
微分中值定理的应用主要是利用函数导数在区间上所具有的特征去研究函数本身在该区间上的性质,在研究函数的性质上是一个非常有利而且方便的工具,下面一一举例说明。
3.1讨论函数的单调性
定理3.1 设f(x)在区间I上可导,则f(x)在I上递增(减)的充要条件是
f(x)0(0).
例1:设
f(x)x3x
3
.试讨论函数f的单调区间.
解:(i)该函数的定义域为(,); (ii)由于
f(x)3x33(x1)(x1),
2
令f(x)0,得x=-1或x=1;
(iii)因此,当x(,1]时,f(x)0,f递增; 当x[1,1]时,f(x)0,f递减; 当x[1,]时,f(x)0,f递增.
定理 3.2 设函数f在(a,b)内可导,则f在(a,b)内严格递增(减)的充要条件是:
(i)对一切x(a,b),有f(x)0(f(x)0); (ii)在(a,b)内的任何子区间上f(x)0
x
e例2:证明不等式1x,x0
证:设
f(x)e
x
1x
f(x)e1.
,则
x
故,当x>0时,f(x)0,f严格递增; 当x
又由于f在x=0处连续,则当x≠0时,f(x)f(0)0,
从而证得,e1x,x0
x
3.2 利用微分中值定理求不定式极限
利用微分中值定理可以求得某些函数的极限,但是这种方法并不常用, 它只是在处理某些特定形式的函数极限时使用,下列一一举例说明。
3.2.1 0型不定式极限
定理3.3 若函数f和g满足: (i)
xx0
limfxlimgx0
xx0
;
x0内两者都可导,且g'x0; U (ii)在点x0的某空心邻域
(iii)
xx0
lim
f'xA
g'x(A可为实数,也可为或),
则
xx0
lim
fxf'xlimA
gxxx0g'x.
1cosx
2
例3:求xtanx.
lim
2
x的邻域内满足定理3.3的条件
解:因为f(x)1cosx与g(x)tanx在点0(i)
和(ii).
f(x)sinxcos3x1
limlimlimxg(x)x2tanxsec2xx22 又因为
lim
故由洛比达法则求得
x
f(x)f(x)1
limg(x)xg(x)2.
3.2.2 型不定式极限
定理3.4 若函数f和g满足:
xx
limfxlimgx
0
(i)
xx
0
;
0
(ii)在x0的某右邻域U
x0内两者都可导,且g'x0;
(iii)则lim
xx0
xx0
lim
f'xAg'x(A可为实数,也可为或),
fxf'xlimA.
gxxx0g'xex
limxx3
例4:求
exexexex
limlim2limlimxx3x3xx6xx6解:
3.3.3 其他类型不定式极限
不定式极限还有0,1,0,,等类型,经过简单变换,它们一般均可
0
化为0型或型的极限。
例5:求
x0
limxlnx
.
解:这是一个0型不定式极限,用恒等变形极限,并应用洛必达法则得
xlnx
lnx
1
将它转化为型的不定式
x0
limxlnxlim
x0
lnx
1
lim
x0
1
1xlim(x)0
x0
3.3 证明不等式
不等式是数学分析中一个重要的内容, 由于它形式多变, 因而技巧性很强。
3.3.1 一阶导数不等式的证明
h
ln(1h)h
例6:证明对于一切h>-1,h≠0成立不等式1h.
1x), 证明:设f(x)ln(
ln(1h)ln(1h)ln1
则
h
1h,0
hhh
11h1h1h1h 当h>0时,由0
从而得到所要证明的结论[2]。
3.3.2 二阶导数不等式的证明
例7:设f(x)在[a,b]上连续,且f(a)f(b)0,又f(x)在(a,b)内有一阶导数,
且f(x)在点a的右导数
f(a)lim
xx0
f(x)f(a)
0
xa,同时f(x)在(a,b)内有二阶导数,
求证:在区间(a,b)内至少有一点c,使得f(c)0.
lim
f(x)f(a)f(x)
limf(a)0
xx0xaxa,
证明:由题意我们设:xx0
故得知在(a,b)内至少存在一点在
x0使f(x0)0.
[a,x0]、[x0,b]上分别用拉格朗日中值定理可知a1,b1(aa1x0b1b)使得
f(x0)f(a)f(b)f(x0)
f(a1)f(b1)
x0abx0
,.
从而又得知f(a1)0,f(b1)0,对于f(x)在[a1,b1]上再用拉格朗日中值定理知,至
f(b1)f(a1)
f(c)
b1a1
少有一点c(a1cb1)使得且f(c)0,0(a,b).
3.4 证明恒等式及等式
定理3.5:若对于任意的x(a,b),有f(x)0,则f(x)为常函数。
推论:若函数y=f(x),y=g(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且
f(x)g(x),x(a,b),则f(x)=g(x)+c(c为常数,x(a,b)).
arcsinxarccosx
例8:证明
2,x(1,1).
(arcsinxarccosx)
证明:因为
1x
2
1x
2
0
,
所以由定理3.5的结论可知,arcsinxarccosxc(c为常数).
carcsin0arccos0
令x=0,则
2,即
arcsinxarccosx
2.
3.5 判断函数方程根的存在性
对于讨论函数方程根的存在性问题,普遍感觉较难,如何判别方程根的存在性问题,使用微分中值定理中的罗尔定理和拉格朗日中值定理。
例9:设f为R上可导函数。证明:若方程f(x)0没有实根,则方程f(x)0至多
只有一个实根。
证明:反正法:倘若f(x)0有两个实根x1和x2,设x1x2,则函数[x1,x2]上满足
罗定定理的三个条件,从而存在(x1,x2),使f()0,这与f(x)0的假设相矛盾,
因此命题得证[2]。
例10:证明:若f(x)在(,)可导,f(a)=f(b)=0,f(a)0,f(b)0,则方程
f(x)0在(a,b)内至少有两个不同的根。
f(a)lim
证明:因为
xa
f(x)f(a)f(x)
lim0xaxaxa,
f(x1)
0xa 由保号性:10,使得当x1(a,a1)时,有1,
从而f(x1)0.
同理可知,f(b)0,20,使得当x2(b2,b)时,有f(x2)0,
从而f(x2)0.
因为f(x)在(,)内可导,所以在[x1,x2]连续,又因为f(x1)0,
f(x2)0,所以在(x1,x2)内至少存在一点c,使f(c)=0.
3.6 在近似计算中的应用
泰勒公式事实上是含有高阶导数的中值定理,它不仅在理论分析和近似计算上有着重要
的作用,而且它也为我们提供了用多项式解决逼近函数的一种好的方法,在近似计算和求解估计值中有着广泛的应用。
例11:求0.97的近似值 解:0.97是函数f(x) 所以令
x在x=0.97处的值,
x01,xx0x0.97,即x0.03,
0.97(x)x1(0.03)
由微分中值定理得:
1
1(0.03)0.985
2 .
例12:(1)计算e的值,使其误差不超过10. (2)证明数e为无理数。
6
111e
e11...
2!3!n!(n1)!,其中(01). 解:(1)当x=1时,有e3
Rn(1)
(n1)!(n1)!. 故,
当n=9时,便有
R9(1)
33
10610!36288000.
111
...2.7182852!3!9!.
e11
从而求得e的近似值为
e
n!e(n!n!34...n...n1)
n1. (2)由上式得,
e
如果
p
q(p,q为正整数),则当n>p时,n!e为正整数,
从而n!e(n!n!34...n...n1)为整数。
ee3e
又因为n1n1n1,所以n≥2时n1为非整数,矛盾。
从而e只能是无理数。
3.7 利用函数单调性求极值
定理3.6 极值的第一充分条件
xU(x0;)内可导。 0设f在点连续,在某邻域
(1)若当得极小值。
(2)若当
x(x0,x0)时f(x)0,x(x0,x0)时f(x)0,x当则f在点0取x(x0,x0)时f(x)0,x(x0,x0)时f(x)0,x当则f在点0取
得极大值。
定理3.7 极值的第二充分条件
设f在点
x0连续,U(x0;)内一阶可导,xx0处二阶可导,f(x0)0,
在某邻域在且
f(x0)0.
(1)若(2)若
f(x0)0,则f在x0取得极小值。 f(x0)0,则f在x0取得极大值。
定理3.8 极值的第三充分条件
(n)
xf(x0)存在,若0设f在点的某邻域内存在直到n-1阶的导数,且
f(x0)f(x0)...f(n1)(x0)0,f(n)(x0)0时,则有:
极小值点,当f(n)(x0)0,
x0是
极大值点,当f(n)(x0)0.(1)n为偶数时,
(2)n为奇数时,
x0不是极值点。
43
x(x1)例12:求函数的极值。
32f(x)x(x1)(7x4),因此解:由于
x0,1,
4
7是函数的三个稳定点,
22
f(x)6x(x1)(7x8x2). 则函数的二阶导数为
44
f()0x
77时取得极小值, 由此可得,f(0)f(1)0,及.所以f(x)在
32
f(x)6x(35x60x30x4), 则函数的三阶导数为
由此可得,f(0)0,f(1)0,
由于n=3为奇数,有定理3.8 知f在x=1不取极值,
(4)32(4)f(x)24(35x45x15x1)f(0)0. 再求f的四阶导数,,有
因为n=4是偶数,所以f在x=0取得极大值。
4436912
f()()4()3
77823543为极小值。 综上所述,f(0)=0为极大值,7
3.8 求连续函数的最值问题
连续函数在[a,b]上的性质,若函数f在闭区间[a,b]上连续,则f在[a,b]上一定有最
大值或者最小值,这就为我们求连续函数的最大值和最小值提供了理论依据。
若函数f的最大值点或者最小值点
x0在区间(a,b)内,则x0必定是f的极大值点或者
极小值点,又若f在
x0可导,则x0还是一个稳定点,那么我们只要比较f在所有稳定点、
不可导点和区间端点上的函数值,就能从中找到f在[a,b]上的最大值和最小值了。
15[,]f(x)2x9x12x42上的最大值与最小值。 例13:试求函数在闭区间
3
2
15
[,]
解:函数f在闭区间42上连续,故一定存在最大值和最小值。
由于
f(x)2x39x212x
x(2x29x12)
12
x(2x9x12),x0,4
5
x(2x29x12),0x.
2
6x218x12,f(x)2
6x18x12.
因此
1
6(x1)(x2),x04
5
6(x1)(x2),0x
2
又因为f(00)12,f(00)12,
所以由导数极限定理推知函数在x=0处不可导。
15
x,
42的函数值 函数f在稳定点x=1,2,不可导点x=0,以及端点
11155
f()f()5
432,2 f(1)5,f(2)4,f(0)0,.
x
所以函数f在x=0处最小值为0,在x=1和
5
2处取得最大值。
4. 微分中值定理的推广
三大微分中值定理既有区别,又紧密相连。在这三大微分中值定理中,Rolle定理是基础,Lagrange中值定理是关键。在高阶情形中,用高阶Lagrange中值定理证明了高阶Cauchy中值定理。
4.1 罗尔(Rolle)定理的推广
[3]
4.1.1 罗尔(Rolle)定理的推广1
limf(x)limf(x)Af(x)(a,b)xaxb设在内可导,且,其中A为有限、或者,
则至少存在一点(a,b),使f()0.
f(x)x(a,b)
F(x)
Axa,b, 证明:(1)设A为有限值时,对于函数f(x)作连续拓展,
易知F(x)在[a,b]上满足罗尔定理条件,
故在开区间(a,b)内至少存在一点,使F()f()0.
(2)设A,由于f(x)在(a,b)内连续, 由极限定义知,对充分大的C>0,存在
x0(a,b)使f(x0)c.
则直线y=c与 yf(x)至少有两个交点M1(x1,f(x1))与M2(x2,f(x2)). 即f(x1)f(x2)C,x1,x2(a,b).
不妨设x1x2,易知f(x)在[x1,x2](a,b)上满足罗尔定理的条件,
所以存在(x1,x2)(a,b),使得f()0.
(3)对A,同理可证。 4.1.2 罗尔(Rolle)定理的推广2
[3]
limf(x)f(a)f(x)[a,)(a,)x设在上连续,在内可导,且,则至少存在一点
(a,),使f()0.
t
证明:令
1
xa1,将x[a,)变换成为 t(0,1].
1
xa1(t)lim(t)
t 即, ,则有(1)a,t0.
设f((t))g(t),从而g(t)在(0,1]上可导。 且
t0
limg(t)limf((t))limf(x)f(a)f((1))g(1)
t0
x
定义在g(t)在
[0,1]上,其中g(0)g(1).
由罗尔定理知,存在(0,1),使得g()0.
即,(),则f()()0.
()
又因为
1
2
0
,所以f()0,[a,).
limf(x)limf(x)f(x)(,)xx注:同理可证,若在上可导,且,则至少存在一点
(,),使得f()0.
4.1.3 罗尔(Rolle)定理的推广3
设f(x)、g(x)、h(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,则至少存在一点(a,b),
使得
f(a)g(a)h(a)
f(b)g(b)h(b)0f()g()h()
.
证明:设
f(a)g(a)h(a)
F(x)f(b)g(b)h(b)
f(x)g(x)h(x)
,由行列式的性质知F(a)F(b)0,利用罗
尔定理即可证得。
h(x)1并代入上式,注:(1)若令g(x)x,即可得拉格朗日中值定理
f()
f(b)f(a)
ba
f()f(b)f(a)
g()g(b)g(a). h(x)1g(x)0 (2)若令,展开即可得到柯西中值定理
4.2 高阶Lagrange中值定理
知道了一阶形式的三大中值定理,接下来我们要将一阶的Lagrange中值定理和Cauchy
中值定理推广到高阶形式,并且用高阶的Lagrange中值定理来证明高阶的Cauchy微分中值定理。
在进行研究前,先来看个引理及其证明。
(x)(i=0,1,„,n)在[a,b]连续。在(a,b)内n次可导,
引理1:设f(x)与i
ax0x1xnb是[a,b]的一个分割, 1,i=j
i(xj)ij
(n)
0,i≠j
则存在(a,b),使得
f
(n)
()f(xi)i()
i0
n
.
证明:作辅助函数 故
F(x)f(x)f(xi)i(x)
i0
n
,
F(xi)0,i=0,1,„,n
F()f
(n)
(n)
反复运用罗尔定理可得,存在(a,b),使得
()f(xi)i()0
(n)
i0
n
f
即:
(n)
()f(xi)i()
(n)
i0
n
利于这个引理,我们就可以得到下述的高阶Lagrange中值定理。
高阶Lagrange中值定理:设f(x)在[a,b]连续,在(a,b)内n次可导,
ax0x1xnb是[a,b]的一个分割,则存在(a,b),
使得
1x02x0n!(n)
f(n)
(xixj)nij0n1
x0f(x0)1x1x12x1n1f(x1)
1xn2xnn1xnf(xn)
.
4.3 高阶Cauchy微分中值定理
高阶Cauchy微分中值定理:设f(x),g(x)f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内n次可导,且
(n)g0,ax0x1...xnb是[a,b]的一个分割点;则存在(a,b)x(a,b)当时,
使得
1x0
2x0
1x1x12...x1n1
............
1xn
2xn
...
n1x0
...
n1
...xn
f(n)()f(x0)
(n)
1g()
x0
2x0
f(x1)...f(xn)1...1x1x12...x1n1
.........
xn
2
xn
...
n1x0
...
n1
...xn
g(x0)g(x1)...g(xn).
4.4 用高阶Lagrange中值定理证明高阶Cauchy微分中值定理[4]
证明:上式右端分子与分母行列式分别为
Df
,
Dg
,由拉格朗日中值定理得知,存在
g(n)()
(a,b),使得
Dg
nij0
(xx)
i
j
n!
0
„„(1),
g(x)
i(x)
g(xi)
所以(1)式有意义,取(2),
j0,jinj0,ji
g(x)u(x)
j
j
n
g(x)u(x)
j
j
i
,i=0,1,„n „„
uj(x)
由(2)、(3)式得,
k0
ki,j
n
xxkxjxk
,j=0,1,„,i-1,i+1,„n „„(3).
i(xj)ij
所以,由引理可知,存在(a,b),
f
(n)
()f(xi)()g()
(n)
i
(n)
i0
i0
nn
f(xi)
g(xi)
j0,ji
g(x)u(x)
j
j
i
n
n
f(n)()
g(n)()i0
f(xi)
g(xi)
j0,ji
g(x)u
j
n
j
(xi)
.
所以,
Df
Dg
因为 f(x)(1)ii0nj0nni2V[x0,x1,...,xi1,xi1,...,xn]ni2g(x)(1)V[x0,x1,...,xj1,xj1,...,xn]j i0n
nf(xi)nV[x0,x1,...,xj1,xj1,...,xn]g(xi)(1)jig(xj)V[x0,x1,...,xi1,xi1,...,xn] j0.ji
i0f(xi)n(1)ni(xix0)(xix1)...(xixi1)(xixi1)...(xixn)jig(xi)(1)g(xj)(1)ni(xjx0)(xjx1)...(xjxj1)(xjxj1)...(xjxn)j0.ji i0nf(xi)g(xi)
j0.ji
nng(xj)xixkk0,ki,jxjxkn
i0nf(xi)g(xi)
j0.jig(x)u(x)jji
所以证得:f(n)()Df(n)g()Dg.
f()f(x1)f(x0)f(b)f(a)()g(x1)g(x0)g(b)g(a)g 当n=1时,我们可以得到,这就是柯西中
值定理。
ng(x)x 当时,我们可以得到高阶拉格朗日中值定理, 即1x02x0n!(n)f(n)(xixj)nij0n1x0f(x0)
1x1x12x1n1f(x1)1xn2xnn1xnf(xn)
参考文献:
[1]陈宁:微分中值定理的历史演变[J],大学数学,2003(2)
[2]刘坤林:微积分通用辅导讲义,清华大学出版社,2006年5月
[3]李秀敏、赵凌华:中值定理的另两种证法及推广[J],河北广播电视大学学报,
Vol.7,No.3:34-35,Sep2002
[4]M.菲赫金哥尔茨,叶彦谦译,微积分教程[M].北京:人民教育出版社,1980