函数可积与原函数存在的关系
第36卷第8期2006年8月
数学的实践与认识
Vol.36 No.8 August,2006
函数可积与原函数存在的关系
邢秀侠, 范周田
(北京工业大学应用数理学院,北京 100022)
摘要: 详细探讨函数黎曼可积性与原函数存在性之间的相互关系,通过构造具体函数说明黎曼可积与原
函数存在是相互独立形成的不同概念,它们之间是互不蕴含的关系.
关键词: 黎曼可积;原函数;牛顿-莱布尼茨公式
1 引 言
在讲授一元函数积分时,现行大多数高等数学教材是先讲述不定积分,直接承认原函数存在定理(其证明将在后面定积分一章中给出);而在处理定积分的计算时又通过牛顿-莱布尼茨公式(以下简称牛-莱公式)将定积分转化为原函数在区间上的增量.由此给许多学生带来的一个非常困惑的问题是:函数可积(或定积分)与原函数(或不定积分)之间到底有怎样的关系?牛-莱公式在某种程度上反映了这种关系:
定理[1-3] 设f(x)在[a,b]上连续,F(x)是f(x)在[a,b]上的一个原函数,则
f(x)dx=∫
ab
F(b)-F(a). (牛-莱公式)
由原函数存在定理可知,f(x)在[a,b]上的连续性蕴含了其原函数的存在性.少数数
学分析教材[4]将上述定理中关于f(x)的条件减弱为:f(x)在[a,b]上黎曼可积.人们不禁怀疑:f(x)可积是否也蕴含其原函数的存在性?反过来,f(x)的原函数存在是否蕴含其可积性?或者说,要使牛-莱公式成立,“函数可积”和“原函数存在”是否皆为必要条件?大多数现行高等数学和数学分析教材中都没有详细探讨这个问题.本文将从正反两个方面详细讨论函数可积与原函数存在之间的关系.
2 函数可积与原函数存在之间的关系
1)在区间[a,b]上黎曼可积的函数不一定存在原函数.
由导函数的介值性质可知,导函数不具有第一类间断点.因此,若f(x)在[a,b]上具有有限个第一类间断点,则f(x)在整个区间上不存在原函数;但其属于三类可积函数之一,故它是可积的.这种情形的例子很多,任何具有有限个第一类间断点的函数都可以.1,x>0,x+1,x>0.
在此基础上,可以进一步讨论可积函数的变上限积分与原函数之间的关系.
¹f(x)在[a,b]上可积,变上限积分
:[2]
例如,f(x)=
0,xF0,
g(x)=
x2,
xF0,
f(t)dt(即使处处可导)不一定是其原函数.∫
a
x
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例子:区间[0,1]上的黎曼函数
f(x)=
,q0,
注意到f(x)在[0,1]上可积,
10
x=
(p,q为正整数,为既约分数),qq
x=0,1和无理数.
x0
f(t)dt=0,且g(x)=∫f(t)dt≡0,x∈[0,1].故在[0,1]∫
上,g(x)处处可导,且g′(x)≡0.但在稠密集Q\{0,1}上,都有g′(x)≠f(x).
º若f(x)在[a,b]上可积,且存在一个原函数F(x),则af(t)dt是其一原函数.f(x)dx=F(b)-F(a).把上限b看作变量,则f(t)dt=F(x)-∫∫
F(a),x∈[a,b].变上限积分f(t)dt与原函数F(x)只差一个常数F(a),故其是f(x)的∫由牛-莱公式,
a
a
xa
b
x
∫
x
一个原函数.
综合¹—º,对于闭区间[a,b]上的可积函数,要么其原函数不存在,要么变上限积分f(t)dt就是其一个原函数.∫
ax
2)在[a,b]上存在原函数的函数不一定黎曼可积.对此,可以从两个角度来理解.
¹若函数f(x)在[a,b]上存在原函数,但其本身无界,则f(x)不可积.例子:对任意实数m>1,函数
F(x)=
其导函数
f(x)=
mx
m-1
xmsin
0,
,xx≠0,x=0,
sin
-cos,
xxx
x≠0,
0,x=0.
f(x)在[-1,1]上存在原函数,但其在原点附近无界,故f(x)在包含原点的任何闭区间上不可积.
º若有界函数f(x)在[a,b]上存在原函数,但其具有的第二类间断点构成一个正测度集,则f(x)不可积.
这种例子的构造比较复杂,涉及实变函数课程中勒贝格测度方面的知识.先来看这样一个例子:对任意实数m>0,函数
H(x)=
其导函数
h(x)=
)(m+1)xmsin
,-mcosxxx≠0,x=0.
x
m+1
[5]
sin0,
,x
x≠0,x=0,
0,
8期邢秀侠,等:函数可积与原函数存在的关系
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下面,利用h(x)在x=0处间断的性质和具有正测度的康托尔集的性质来构造适当的例子.
第1步 构造具有正测度的康托尔集C.取l∈(0,1).令E0=-,
242+,12度均1-4
+
[0,1],从E0正中间删去长度为
的开区间2的闭区间0,-和
24
;令E1是余下的两个长度为1-422
的并,从这两个区间正中间各删去长度为的开区间;令E2是余下的四个长
8
-的闭区间的并,从这四个区间正中间各删去长度为的开区间.如
2432
n-1此下去…,第n次从余下的2个长度为1-2-…-的闭区间正中间各删
22
n
去长度为的开区间.于是得紧集序列{En},显然E1=E2=E3=…,En是2个闭区间
2
∞
1--…-的并,每个区间的长度是.称C=∩En为具有正测度的康托尔集.n=1222
易知整个过程删去的开区间并集的测度为l,康托尔集C的测度是1-l.可验证,正测度的康托尔集C是完备的疏朗集.
第2步 构造函数F(x),验证F(x)的导函数满足性质º.
任意取定m>0,定义函数G(x)=xm+1sin,x>0.对任意正数p,定义
xG(x),0
xp=max{x∈RûG′(x)=0,xFp},及函数Gp(x)=
G(xp),xpFxFp.设(a,b)为构造康托尔集C时从[0,1]删去的任一开区间,在[0,1]上定义函数F(x)如下:
0,
F(x)=
Gp(x-a),Gp(b-x),
其中p=
x∈C,a
2Fx
.2
首先,验证F(x)在[0,1]上处处可导,且其导函数在[0,1]上有界.
(i)设x∈C,y∈[0,1],则有两种情形:(a)F(y)=0;û(F(y)-F(x))/(y-x)û=
0Fûy-xû;(b)y属于某个删去的区间(a,b).设d为端点a,b中靠近y的那个,则û(F(y)-F(x))/(y-x)û=ûF(y)/(y-x)ûFûF(y)/(y-d)û=ûGp(y-d)/(y-d)ûFûy-dûFûy-xû.所以F′(x)=0,x∈C.(ii)设x属于任一删去的区间(a,b),由F(x)的定义,ûF′(x)ûFû(m+1)zsin中某一点.
其次,记f(x)=F′(x),验证f(x)在正测度的康托尔集C上处处间断.
,()=,Cx
m
-mcosûF2m+1,其中z为区间(a,b)zz
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为疏朗集的性质.故f(x)在正测度的康托尔集C中的任意点间断.
综上,函数f(x)=F′(x)在[0,1]上有界,存在原函数,但不可积.3)对于连续函数,黎曼可积与存在原函数是统一的.
闭区间[a,b]上的连续函数f(x)在[a,b]上既黎曼可积,又存在原函数.这时变上限积分
f(t)dt就是f(x)在[a,b]上的一个原函数.∫
ax
4)存在既不可积也不存在原函数的函数.例子:狄利克雷函数
f(x)=
1,0,
x∈Q,x∈Qc.
在任意闭区间上,f(x)不可积;因其不满足导函数具有的介值性,故也不存在原函数.
3 结束语
函数黎曼可积与原函数存在是两个相互独立形成的不同概念,二者之间无必然的蕴含关系.故仅当函数黎曼可积且存在原函数时,牛-莱公式才成立,两个条件缺一不可.
参考文献:
[1] 同济大学应用数学系.高等数学(第五版)[M].北京:高等教育出版社,2003.[2] 华东师范大学数学系.数学分析(第二版)[M].北京:高等教育出版社,1991.[3] 张筑生.数学分析新讲[M].北京:北京大学出版社,1990.[4] 周民强.数学分析[M].上海:上海科学技术出版社,2003.
[5] 盖尔鲍姆BR,奥姆斯特德JMH.分析中的反例[M].上海:上海科学技术出版社,高枚译,1980.
OntheRelationshipbetweenIntegrabilityofFunctionsandPrimitiveFunctions
XINGXiu-xia, FANZhou-tian
(CollegeofAppliedScience,BeijingUniversityofTechnology,Beijing100022,China)Abstract: Thisarticlerevealsthatintegrabilityoffunctionsandexistenceofprimitivefunctionsaretwoindependentconcepts,andpointsoutthatoneofthemdoesnotnecessarbyindicateanother.byexamples.
Keywords: Riemannintegrability;primitivefunctions;Newton-Leibnizformula