定积分性质

第九章第二节

定积分性质

一、基本内容

对定积分的补充规定:

（1）当a  b 时， f ( x )dx  0 ；

a b

（2）当a  b 时，a f ( x )dx   b f ( x )dx .

b

a

说明 在下面的性质中，假定定积分都存 在，且不考虑积分上下限的大小．

性质1

a [ f ( x )  g( x )]dx  a f ( x )dx  a g( x )dx .

b

b

b

b

证

a [ f ( x )  g( x )]dx n  lim  [ f ( i )  g( i )]xi  0

 lim  f ( i )xi  lim  g( i )xi

 0 i 1

b

i 1 n

n

 0 i 1

 a f ( x )dx  a g( x )dx .

b

（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）

性质2 证

b

a kf ( x )dx  k a f ( x )dx

b

b

k ( 为常数).

a kf ( x )dx  lim  kf ( i )xi  0 i 1

 lim k  f ( i )xi  k lim  f ( i )xi

 0

i 1 n n

n

 0 i 1

 k a f ( x )dx .

b

性质3

b

假设a  c  b

c b

a f ( x )dx  a f ( x )dx  c

例 若 a  b  c,

f ( x )dx .

补充：不论 a , b, c 的相对位置如何, 上式总成立.

a f ( x )dx  a f ( x )dx  b f ( x )dx

b c

c

则

a f ( x )dx  a f ( x )dx  b f ( x )dx

b

c

c

 a f ( x )dx  c f ( x )dx .

c b

（定积分对于积分区间具有可加性）

性质4

a 1  dx  a

b

b

b

dx  b  a .

性质5 如果在区间[a , b]上 f ( x )  0 ，

则 a f ( x )dx  0 . ( a  b )

证

 f ( x )  0,  f ( i )  0, ( i  1,2,, n)

 xi  0,

n



  max{x1 , x2 ,, xn }

b

 f ( i )xi  0, i 1

n

 lim  f ( i )xi   f ( x )dx  0. a

 0 i 1

例 1 比较积分值0 e dx 和0 xdx 的大小.

x

2

2

解

令 f ( x )  e x  x,

x  [2, 0]

 f ( x )  0,



0

(e x  x )dx  0, 2

0



2 e

0

x

dx   2xdx , e dx  0 xdx .

x

2

于是

0

2

性质5的推论：

（1）如果在区间[a , b] 上 f ( x )  g ( x ) ，

则a f ( x )dx  a g( x )dx .

b b

(a  b)

证

 f ( x )  g( x ),

 g( x )  f ( x )  0,



a [ g( x )  f ( x )]dx  0, b b a g( x )dx  a f ( x )dx  0,

b

于是

a f ( x )dx  a g( x )dx .

b

b

性质5的推论： （2） 证

a f ( x )dx  a

b

b

b

f ( x )dx .

(a  b)

  f ( x)  f ( x)  f ( x) ,

  a f ( x )dx  a f ( x )dx  a f ( x )dx ,

b b

即  f ( x )dx 

a

b

a

b

f ( x )dx .

说明： | f ( x ) |在区间[a , b]上的可积性是显然的.

性质6

设 M 及m 分别是函数

f ( x ) 在区间[a , b] 上的最大值及最小值，

则 m ( b  a )  a f ( x )dx  M ( b  a ) .

b

证

 m  f ( x)  M ,



a mdx  a f ( x )dx  a Mdx ,

b b b b

m(b  a )  a f ( x )dx  M (b  a ).

（此性质可用

于估计积分值的大致范围）

例 2 估计积分



0

1 dx 的值. 3 3  sin x

解

1 f ( x)  , 3 3  sin x

 x  [0, ],

0  sin x  1,

3

1 1 1   , 3 4 3  sin x 3

0



 1 1 1 dx   dx   dx, 3 0 3  sin x 0 3 4

  1    dx  . 3 4 0 3  sin x 3

例 3 估计积分

 2  4

sin x dx 的值. x

解

sin x f ( x)  , x

  x [ , ] 4 2

x cos x  sin x cos x( x  tan x ) f ( x )    0, 2 2 x x

  f ( x ) 在[ , ]上单调下降, 4 2

  故 x  为极大点，x  为极小点, 4 2

 2 2 M  f( ) , 4 

 2 m f( ) , 2 

    ba    , 2 4 4

2  sin x 2 2     dx   ,  4 x  4

 1 sin x 2 2    dx  . 2 4 x 2  2  4

性质7（定积分中值定理）

如果函数 f ( x ) 在闭区间[a , b] 上连续，

则在积分区间[a , b] 上至少存在一个点 ，

使 a f ( x )dx  f ( )(b  a ) .

b

(a    b)

积分中值公式

证

 m(b  a )  a f ( x )dx  M (b  a )

1 b  m a f ( x )dx  M ba

由闭区间上连续函数的介值定理知

b

 在区间[a , b]上至少存在一个点 ，

使 即

1 b f ( )  a f ( x )dx, ba

f ( )(b  a ) . (a    b ) 积分中值公式的几何解释： 在区间[a , b]上至少存在一 y 个点 ，使得以区间[a , b]为 f ( ) 底边， 以曲线 y  f ( x )

a f ( x )dx 

b

o

a 

为曲边的曲边梯形的面积 等于同一底边而高为 f ( ) b x 的一个矩形的面积。

例 4 设 f ( x ) 可导，且 lim f ( x )  1 ，

x  

求 lim

x   x



x2

3 t sin f ( t )dt . t

解 由积分中值定理知有   [ x , x  2],

3 3 使 x t sin f ( t )dt   sin f ( )( x  2  x ), t  x2 3 3 lim x t sin f ( t )dt  2 lim  sin f ( ) x      t 

x 2

 2 lim 3 f ( )  6.

  

二、小结

１．定积分的性质

（注意估值性质、积分中值定理的应用）

２．典型问题

（１）估计积分值；

（２）不计算定积分比较积分大小．

思考题

定积分性质中指出，若 f ( x ), g ( x ) 在 a , b] [ 上都可积，则 f ( x )  g ( x ) 或 f ( x ) g ( x ) 在 a , b] [ 上也可积。这一性质之逆成立吗？为什么？

思考题解答

由 f ( x )  g( x ) 或 f ( x ) g ( x ) 在 a , b] 上可 [ 积，不能断言 f ( x ), g( x ) 在[a , b] 上都可积。

1, x为有理数 例 f ( x)   0， x为无理数

0, x为有理数 g( x )   1， x为无理数

[ 显然 f ( x )  g ( x ) 和 f ( x ) g ( x ) 在 0,1] 上可积，但 f ( x ), g ( x ) 在[0,1] 上都不可积。

练习题

一、填空题： c 1、如果积分区间 a , b  被点 分成a , c 与c , b  ，则 2、如 果 f ( x )在a , b  上

的 最 大 值 与 最 小 值 分 别 为 a M 与 m ，则 f ( x )dx 有如下估计式：_________ 定积分的可加性为 f ( x )dx  __________；

b a



b

_______________________； b 当 a  b 时 ，我们规定 f ( x )dx 与 3、



a



a

b

f ( x )dx 的关

系是______________________； 4、积分中值公式 b f ( x )dx  f ( )(b  a ) , ( a    b ) 的几何意义是



a

_______________；

5、下列两积分的大小关系是： （1） x dx _____ x 3 dx

1 2 1

（2）  ln xdx _______  (ln x ) 2 dx

2

0 2

0

（3） e dx _______ ( x  1)dx

x 1 0 0

1 1

1

二、证明：  kf ( x )dx  k  f ( x )dx （ k 是常数 ）.

b b a a

三、估计下列积分  3 xarc cot xdx 的值 .

3

四、证明不等式：

3 2

1

x  1dx  2 .

六、用定积分定义和性质求极限: 1 1 1 lim(   ...  ) ; 1、 n  n  1 n2 2n 2.、lim  4 sin n xdx .

n  0



七、设 f ( x ) 及 g ( x )在 a , b  上连续，证明： b 1、若 在 a , b  上 f ( x )  0 , 且 a f ( x )dx  0 ， 则 在 a , b上 f ( x )  0 ； 2、若在a , b 上， f ( x )  0 ,且 f ( x ) 不恒等于 0 ，则

f ( x )dx  0 ； 3、若在a , b 上 f ( x )  g ( x ) ,且 b b f ( x )dx   g ( x )dx ，则在a , b 上 f ( x )  g ( x ) . a a

a



b

练习题答案

一、1、  f ( x )dx   f ( x )dx ；

c b a

2、m (b  a ) 

b a



c b

a

f ( x )dx  M (b  a ) , a  b ；

a b

3、  f ( x )dx    f ( x )dx ； 4、曲边梯形各部分面积的代数和等于 f ( ) 与 b  a 为邻 边的矩形面积； 5、(1)>； (2)>； (3)>. 3  2   1 x arctan xdx   ； 三、1、 9 3 3 1 1 dx 3 2、    arcsin . 2 3 0 2 5 4  2x  x  x