柯西施瓦兹不等式的应用
柯西施瓦兹不等式的应用 (ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2) 的几种证明方法 思路一 从代数式角度来考虑,由柯西不等式联想到完全平方公式,利用配方法可证。 证明 因为(a2+b2)(c2+d2)=a2c 2+b2d 2+a2d 2+b2c 2=( a2c 2+2abcd+b2d 2)+( a2d 2-2abcd+b2c 2)= (ac+bd)2+(ad-bc)2
而(ad-bc)2≥0。所以(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2) 。
思路二 从不等式的角度考虑,由柯西不等式的特点,可以联想借助均值不等式来证。
证法1 要证(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2) 成立,只要证a 2c 2+2abcd+b2d 2≤
a 2c 2+b2d 2+a2d 2+b2c 2,即证2 abcd ≤a 2d 2+b2c 2。 由均值不等式可得2abcd
≤ a 2d 2+b2c 2,因为2abcd ≤
2abcd , 所以
2abcd ≤a 2d 2+b2c 2,于是柯西不等式得证。
证法2 要证ac+bd
≤
1 ○
2
=B, ○
1即ac+bd则○
3 ≤AB , ○
当A=0或B=0时,命题显然成立。
如果A ≠0且B ≠0,则由均值不等式可得
2ac AB
a 2c 2
≤2+2, A B
2bd
AB
b 2d 2
≤2+2。 A B
2a 2+b 2c 2++d 2
4 两式相加,得(ac +bd )≤ + , ○22
AB B A
2 ,○4两式得由○
ac +bd
AB
≤1,即ac +bd ≤AB ,因为
3成立,于是ac +b d ≤a c +b d ,所以ac +b d ≤AB ,因此不等式○
柯西不等式得证。
思路三 从函数与方程的角度考虑,由柯西不等式的特点联想到一元二次方程的
判别式,构造二次函数可证。
证明 当a ,b 全为零时,命题显然成立,如果a ,b 不全为零,考察二次函数
f(x)=( a2+b2)x 2-2(ac+bd)x+( c2+d2)=(ax-c)2+(bx-d)2, 因为对于任意实数x 均有f(x) ≥0。 所以f(x)=0的判别式
∆=[-2(ac +bd )]2-4(a 2+b 2)(c 2+d 2) ≤0,故(ac +bd ) 2≤(a 2+b 2)(c 2+d 2) 。
思路四 从向量的角度,由ac +bd 联想到向量内积,运用向量的内积易证。
证明 设a =(a , b ) ,b =(c , d ) ,则a ∙b ≤a b cos ,且
cos ≤1,所以a ∙b ≤
a b ,即ac +bd ≤ 因此(ac +bd ) 2≤(a 2+b 2)(c 2+d 2) 。
。
思路五 从复数的角度考虑,由柯西不等式可以联想借助复数的乘法与模的
知识来证。 证明 设z 1=a +bi , z 2=d +ci (a , b , c , d ∈R ) ,则
思路六 证明 思路七 z 1z 2=(a +bi )(d +ci ) =(ad -bc ) +(ac +bd ) i .
因为z 1z 2=z 1z 2,所以(ad -bc ) +(ac +bd ) i =a +bi d +
ci ,即
=(ad -bc ) 2+(ac +bd ) 2=(a 2+b 2)(c 2+d 2) 。
从三角函数的角度考虑,观察柯西不等式的变形
≤1,
不难联想到两脚和与差的正余弦公式。 2=
0≠0,
要证柯西不等式成立,只要证ac +bd ≤
,即证
○
≤1, 1
=sin α
=cos α
=cos β,
=sin β。
则○
1式左边=sin αcos β+cos αsin β=sin(α+β) ≤1。 因此不等式○
1成立,从而柯西不等式获证。 从解析几何的角度考虑,
的结构与点到直线的距
离公式类似,于是运用解析法可证。
证明 当a ,b 全为零时,命题显然成立。设a ,b 不全为零。建立平
面直角坐标系如右图所示。设点P 的坐标为P (c ,d ),则点P
到直线ax +by =
0的距离PM =
,
而OP =显
然有PM ≤
OP
≤ac +bd ≤
,因此(ac +bd ) 2≤。
二维柯西不等式在解析几何中的应用
由二维柯西不等式:设a b c d ∈R ,则有(a 2+b 2)(c 2+d 2) ≥(ac +bd ) 2。当且仅
当
a b
=时,不等式取等号。可推证几个重要结论。 c d
x 2y 2
+C =0有公共点的充要条件是命题1 椭圆2+2=1与直线A x +B y
a b
2
A 2a 2+B 2b ≥
2C 。
证明 由柯西不等式得
x y 2x 2y 22222
(Ax +By ) =(Aa ∙+Bb ∙) ≤(A a +B b )(2+2) 。若
a b a b
2
x 02y 02
(x 0, y 0) 是已知椭圆和直线的公共点,则满足2+2=1、
a b
则上述不等式左边为C 2,右边为A 2a 2+B 2b 2,Ax 0+By 0+C =0,充分性得证。
若(x , y ) 是直线上任意一点,则上述不等式左边为C 2,不等式可变形为
x 2y 2C 222222
+≥A a +B b ≥C 。因为,所以222222a b A a +B b C 2
≤1。
A 2a 2+B 2b 2
x 02y 02
必存在(x 0, y 0) ,使得2+2=1,即椭圆与直线有公共点,必要
a b
性得证。
x 2y 2
命题2 双曲线2-2=1与直线Ax +By +C =0有公共点的充要条件是
a b
A 2a 2-B 2b 2≤C 2。
分析 将方程作适当调整,再利用柯西不等式可得
2
y y 22222222x (Ax ) =(By +C ) =(Bb +C ∙1) ≤(B b +C )(2+1) =(B b +C ) 2b b a
2
2
。
(x -x 0) 2(y -y 0) 2
+=1与直线Ax +By +C =0有公共点的充要条件命题3 椭圆
a 2b 2
是A 2a 2+B 2b 2≥(Ax 0+By 0+C ) 2
分析 作下列变换,令x ' =x -x 0,y ' =y -y 0。椭圆和直线的方程分别化为
x '2y '2
+2=1,Ax ' +By ' +(Ax 0+By 0+C ) =0。由命题1即可获证。 2a b
(x -x 0) 2(y -y 0) 2
-=1与直线Ax +By +C =0有公共点的充要条命题4 双曲线22
a b
件是A 2a 2-B 2b 2≤(Ax 0+By 0+C ) 2。
经坐标平移后,结合命题2即可获证。
说明 以上四命题中,不等式取等号的条件,是相应直线与曲线相切的充要条件,
可直接用于解决相关问题。
命题5 求证:点P (x 0, y 0) 到直线Ax +By +C =
0的距离d =
。
+C =0,因为证明 设Q (x , y ) 是直线上任意一点,则A x +B y
PQ =(x -x 0) 2+(y -y 0) 2, A 2+B 2≠0,由柯西不等式得
2
(A 2+B 2)[(x -x 0) 2+(y -y 0) 2]≥[A (x -x 0) +B (y -y 0)]2=[(Ax +By ) -(Ax 0+By 0)]2=(Ax 0+By 0+
C ) 2所以,PQ ≥
。
x -x 0y -y 0Ax +By +C
==-0202时,取等
A B A +B
号,由垂线段最短得d =
。
值得一提的是,利用三维柯西不等式,可将上述五个命题推广到三维空间,去揭
示空间点与平面、平面与曲线位置关系的实质。
2 求极值
x 2y 2
例1 求椭圆2+2=1的切线夹在两条直角轴之间的线段的最小值。
a b
解 设M (x 0, y 0) 是椭圆上任一点,则
x x y y x 02y 02
2+2=1,经过M 点的切线为l :02+02=1。l 与x 、y 轴
a b a b
a 2b 2
分别相交于点P (,0) 、Q (0,) 。
x 0y 0
2222
2222⎡⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫a b a b ⎤2
PQ = ⎪+ ⎪=⎢ ⎪+ ⎪⎥
x y ⎝x 0⎭⎝y 0⎭⎢⎣⎝0⎭⎝0⎭⎥⎦
⎛x 02y 02⎫⎧a 2x 0b 2y 0⎫2
2+2⎪≥⎨∙+∙⎬=(a +b ) 。当且仅当
b ⎭⎩x 0a y 0b ⎭⎝a
2
x 02y 021 3=3=,即x 0=y 0=a b a +
b
于是PQ min =a +b
例2 直线l 经过第一象限内的点M (a , b ) ,与x 、y 轴的正半轴相交于
点P 、Q ,求线段PQ 的最小值,及取得最小值时直线的方程。
解 设l 的方程为
x y a b
+=1(m , n >0) ,则+=1,引进待定系数m n m n
(a 2α+b 2α) (α∈R ) 。 由柯西不等式得
(m 2+n 2)(a 2α+b 2α) ≥(ma α+nb α) 2
=(ma α+nb α) 2∙12=(ma α+nb α) 2(
a b 2a b
+) =[(ma α+
nb α)(+)]2m n m n
⎛≥ ⎝
2
⎫
⎪=4 ⎪⎭
2
当且仅当
m n =时,第一个不等式取等号;当且仅当a αb α
=
,即
m a
1-α2
=b
n
1-α2
时,第二个不等式取等号。
因此当且仅当两个等号同时成立时,即α=
1-α1
,即α=时23
(m +n )(a +b ) ≥(a +b ) 取等号
所以PQ =≥(a +b ) ,PQ min =(a +
b ) ;此时
22
2
32323234
[1**********]2
k =-
n =∴l
:y -b =x -a ) 。 m 3 求参数的取值范围
例3 求使直线x cos θ+y sin θ=2和椭圆x 2+3y 2=6有公共点的θ的取
值范围(0≤θ≤π) 。
解 由柯西不等式
22=
(x cos θ+y sin θ) 2=(x ∙cos θθ) 1
≤(x 2+3y 2)(cos2θ+sin 2θ) =6cos 2θ+2sin 2θ。
3
解得cos 2θ≥
以0≤θ≤
1,即cos θ≥
,或cos θ≤。因为0≤θ≤π,所2π
4
或
3π
≤θ≤π。 4
例4 双曲线9x 2-16y 2=r 2 (r >0) 与直线x +y =2有公共点,求r 的取值范围。
解 要使直线与曲线有公共点,由柯西不等式
411⎛2⎫
x =(2-y ) = ∙r +(-) ∙4y ⎪=(2+) ∙9x 2
r 164⎝r ⎭
2
2
2
242
消去非零x ,整理得 r ≤
7
2
由r >
0,那么0
。 4 求直线与曲线相切状态下的方程
例5 求经过x 2+y 2=r 2上一点M (x 0, y 0) 的切线方程。
解 由M (x 0, y 0) 在圆上得x 02+y 02=r 2,由柯西不等式
r 4=(x 2+y 2)(x 02+y 02) ≥(x 0x +y 0y ) 2。
所以x 0x +y 0y =r 2为已知圆的切线方程。因为M (x 0, y 0) 满足
x 0x +y 0y =r 2,所以x 0x +y 0y =r 2为要求的切线方程。
例6
(x -2) 2(y +3) 2
+=1相切的切线方程。 求经过点P (5,1)与椭圆94
解 设直线方程为Ax +By +C =0,由经过点P (5,1)得C =-(5A +B ) 。
于是直线方程可表示为A (x -2) +B (y +3) =3A +4B 。由柯西不等式
(x -2) (y +3) ⎫⎛
得(3A +4B ) 2=[A (x -2) +B (y +3)]2= 3A ∙+2B ∙⎪
32⎝⎭
2
⎛(x -2) 2(y +3) 2⎫22
直线与椭圆相切时不≤(9A +4B ) +⎪=9A +4B 。
94⎝⎭
2
2
等式取等号,即(3A +4B ) 2=9A 2+4B 2,解得B =0,或B =-2A 。所以, 要求的切线方程为x -5=0和x -2y -3=0。
例7
已知直线y =(1-x ) tg θ与双曲线-x 2+y 2cos θ=1相切(-
π
2
π
2
) ,
求切线方程和切点坐标。
解 由柯西不等式
y 2=(1-x ) 2tg 2θ=[1∙1+(-1) x ]2tg 2θ ≤2(1+x 2) tg 2θ=2y 2cos 2θtg 2θ=2y 2sin 2θ
1 21x 1ππ
当且仅当=。即x =-1时,sin 2θ=,此时,由-
1-1222
⇒sin 2θ≥
4
研究直线与圆锥曲线的常规方法是,采用代入消元,化为一元二次方程,然后利用根的判别式求解,因这类问题常含有待定字母。导致解题过程冗长,计算繁琐。从以上诸例可以看出,引用柯西不等式解决直线与有心圆锥曲线的位置关系问题,可以减少计算、增强直观。一些题目通过观察、简单拼凑。即可达到目的,并且解题后易于复查。所以,适当引用柯西不等式解决几何含参问题,确实是一
θ=±
π
。所以y =x -1和y =1-x ;切点为(-1, ±2) 。
个十分有效的好方法。
概率方法在不等式证明中的应用
一 Cauchy-Schwarz 不等式变形讨论
Cauchy-Schwarz(柯西-施瓦兹) 不等式在不同的空间对应着不同的形式,这些不同形式的不等式广泛用于函数论、概率论、初等数学等方面,下面便是它不同空间上的几种常用变形。
η∈ν, 母不等式:设ν是欧式空间,若ζ、则(ζ∙η) 2≤(ζ∙ζ() ηη∙) 上式等号成立的充要条件是ζ、η线性相关。
变形一:取ν=R n ,令ζ=(a 1, a 2, , a n ) ,η=(b 1, b 2, , b n ) 则有
(1)
(a 1b 1+ +a n b n ) 2≤(a 12+a 22+ +a n 2) (b 12+b 22+ +b n 2) (2)等号成立的充要条件是b i =ca i (i =1,2, n ) ,C 为常数
由不等式(2)可得出下面变形分布图,运用它来证明不等式是没有固定模式可
循的,常常要通过分析、组合、凑配、放缩等技巧性变形,它在近年来国内外数学竞赛中有着广泛的应用。
n n n n
a k 2
(∑a k b k ) ∙(∑) ≥(∑a k ) (∑
a k ) ∙(∑b k ) ≥
k =1k =1k =1k =1k =1k =1b k
n n
(a k >0, b k >0) (a k >0, b k >0)
↑ ↑ (
2a )(b ) ≥(a b ) ∑k ∑k ∑k k
2
2
k =1
k =1
k =1
n
n
n
↓
n
x k 2
(∑a k )(∑) ≥(∑x k ) 2
k =1k =1k =1a k
n n
↓
n
x k 2
(∑) ≥(∑x k ) 2
k =1k =1a k
n
(∑a k )
k =1
n
↓
n n
x k 22
(∑) ≥(∑x k ) [∑(y k +z k )]
k =1k =1k =1y k +z k
n
(y k >0, z k >0)
变形二:取ν是定义在[a , b ]上一切连续实函数所构成的实线性空间,设f (x ) 、
g (x ) ∈[a , b ],则有[⎰f (x ) g (x ) dx ]2≤⎰(f (x )) 2dx ∙⎰(g (x )) 2dx 。
a
a
a
b
b
b
推论:若f (x ) ,g (x ) 在[a , b ]上可积,则有明可夫斯基(Minkowski )不等式,即
[⎰(f (x ) +g (x )) dx ]≤⎰(f (x )) 2dx +⎰(g (x )) 2dx 。 (3)
a
b
2
1
2
b b
a a
变形三:取ν为概率空间,对任意属于ν的ζ与η都有E ζη充要条件是P (η=t 0ζ) =1,t 0是某一常数。
2
≤E ζ2∙E η2,等号成立的
推论:若e ζη是随机变量ζ与η的相关系数,则有e ζη≤1。
二 、应用举例
了解了Cauchy-Schwarz 不等式的几种变形后,对于不等式(2)、(3)的应用在数学领域的一些教科书及杂志上已有广泛的介绍,下面主要讲概率空间所对应不等式(4)在一些常用不等式证明中的应用,用于显示概率论思想在解决某些数学问题时所具的独特而简洁的功效。 例1,(平方——算术平均值不等式)
1
1n 1n
设a i ≥0,i =1,2, n ,则∑a i ≤(∑a i ) 2且等号成立的充要条件是
n i =1n i =1
2
a 1=a 2= =a n 。
证明 设二维离散型随机变量ζ、η的联合概率分布为
P (ζ=x i , η=y i ) =
1 n
P (ζ=x i , η=y i ) =0 (i ≠j )
i =1,2, n ,j =1,2, n
则ζ、η的边际概率分别为P ζ(ζ=x i ) =
n
11
,P η(η=y i ) =n n
11n
令x i =a i ≥0,y i =1 有E ζη=∑a i ∙=∑a i
n n i =1i =111n 2
E ζ=∑a i ∙=∙∑a i
n n i =1i =1
2
2n
11n
E η=∑y i ∙=∙∑1=1
n n i =1i =1
2
n
a a a 1n 1n 22
由不等式(4)有(∑a i ) ≤∑a i 且等号成立的充要条件是1=2= =n 开方得
111n i =1n i =1
1n 1n 21
a i ≤(∑a i ) 2且等号成立的充要条件是a 1=a 2= =a n 。 ∑n i =1n i =1