有限元法在结构力学领域的发展及应用

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有限元在结构力学领域的发展和应用

摘要：有限元法是伴随着电子计算机技术的进步而发展起来的一种新兴数值分析方法，是力学、应用数学与现代计算技术相结合的产物。有限元法是一种高效能、常用的计算方法。有限元法最早应用于结构力学的计算，有限元法随着科技技术的发展，现在已经广泛应用于各行各业。本文主要讲述有限元法简介、有限元法在结构力学中的应用和发展、有限元分析软件介绍。其中重点是对有限元法在结构力学领域的应用与发展进行介绍，并对有限元法和有限元分析软件进行了简单的叙述。

关键词：有限元法、结构力学、有限元分析软件、发展趋势

一、有限元法简介

（一）有限元法的基本概念

有限元，通俗的讲就是对一个真实的系统用有限个单元来描述[1]。有限元法

是把求解区域看作由许多小的在节点处相互连接的单元所构成，其模型给出基本方程的分片近似解，由于单元可以被分割成各种形状和大小不同的尺寸，所以它能很好地适应复杂的几何形状、复杂的材料特性和复杂的边界条件。再加上它有成熟的大型软件系统支持，使其已成为一种非常受欢迎的、应用极广的数值计算方法[2]。

（二）有限元法的基本思想

我们现在可以回想一下我们小学是学过圆周长的计算的，我们那时候可以直

接用圆周率计算。在古代人们还不知道利用圆周率计算圆周长的时候，古代数学 家曾经利用多边形的周长L 代替圆的周长S 。我们可以将圆内接多边形视为圆周长的下限值，而将该圆的外切多边形视为圆周长的上限值，当多边形边数增加时，多边形上下限的差值越来越小。用有限元的术语叙述即两个近似值向真值S 收敛这个例子已经具有有限元思想的雏形[3]。有限单元法的基本思想是将一个由无限多点组成的连续介质构件，划分为由有限个单元仅在节点处相连的离散体，这些单元也仅在节点处传递力，单元的类型可以按问题的性质选取，单元内任意一点力和变形的关系也可以根据问题的性质进行规定和选取，一般力求简单的函数关系，在相邻单元的共同边界上应满足变形的连续性，即变形协调条件，在对各个单元进行上述分析之后，再将各单元组集成原构件进行总体分析[4]。归纳起来，有限单元法有两个关键的步骤，把一个由无限多点组成的连续体变为有限个单元组成的离散体，把一个满足微分关系的微分方程组使其满足简单代数关系的代数

[5]方程组。

（三）有限元法的发展趋势

有限元的应用范围也是相当的广的。它涉及到工程结构、传热、流体运动、

电磁等连续介质的力学分析中，并在气象、地球物理、医学等领域得到应用和发展[6]。电子计算机的出现和发展是有限元法在许多实际问题中的应用变为现实，并且大量的应用到各行各业，有限元法有着广阔的前景[7]。

1. 从单纯的结构力学计算发展到求解许多物理场问题

2. 由求解线性工程问题进展到分析非线性问题

3. 增强可视化的前置建模和后置数据处理功能

4. 与CAD 软件的无缝集成

5. 在Wintel 平台上的发展[8]

二 、有限元法在结构力学中的发展与应用

（一）有限元法在结构力学中的发展

在我们周围的生活中，我们随处都可以见到结构力学的运用，与我们的生活

息息相关，不可分割。我们看到的武汉长江大桥、龟山电视塔、市区林立的高楼大厦等一切建筑物都运用了结构力学。还有我们用的家具、我们乘坐的车、还有铁路公路也广泛的运用了结构力学，甚至我们用的很多物品也运用了结构力学。不止我们现代的生活中运用了很多结构力学，在古代建造的万里长城，埃及金字塔，法国境内的加尔德水道桥等许多著名中外建筑其中也包含了结构力学。从古代的建筑物到我们现在结构力学广泛运用在我们生活之中是随着科学技术的进步, 人们对于结构设计的规律以及结构的强度、刚度和稳定性逐渐有了认识, 并且根据经验和实验, 从不自觉到自觉地形成了专门的结构力学学科, 并广泛应用于工程建设实践。

1. 有限元法在结构力学中的出现

结构力学是在19世纪末就已经成为一门独立的学科，也就是我们所说的经典结构力学。经典结构力学的研究内容主要是杆件结构的计算方法。到了二十世纪初，由于船舰技术的发展和飞机、火箭制造的需要，有发展了板、壳和薄壁结构力学

[9]。但是，在提出结构力学经典方法，例如力法和位移法的年代，人们还在使用计算尺和手摇计算机进行计算。当时由于计算手段的限制，对于大型结构的分析问题，结构力学很难完成。直到20世纪50年代以后，数字电子计算机问世，矩阵理论在结构力学中得到运用，产生了结构矩阵分析法，从结构矩阵分析法中产生有限元法[10]。有限元法( Finite Element Method, FEM) , 是计算力学中的一种重要的方法, 它是20世纪50年代末60年代初兴起的应用数学、现代力学及计算机科学相互渗透、综合利用的边缘科学[11]。而有限元法的物理概念最初是来自杆系结构力学的分析, 杆系结构本来就是由有限根杆单元组装起来的, 这种体系已经有了

成熟的分析方法。连续体既然由有限个单元的组合体系代替后, 就可以引用杆系分析中的成功经验和最合适的方法。由于单元数目非常多, 所以数学上就须采用矩阵表达式。连续体的有限元分析将分成两步单元体的特性分析和全体单元的组合分析。最后组成的方程组是一个庞大的联立方程组[12]。尽管有限元方法的概念可能很早就有人想到，但只有到计算机出现后这方法才能应运而生, 并有很大的发展。有限元法的离散化就是化无限为有限, 从而化难为易。单元必须适当的小, 才能模拟连续体, 而且小了才可以在计算单元特性时可以用插值函数。而关系到全局的节点组装必须尽可能正确。这好比一根曲线用很多小段来模拟, 小段可以是些简单的直线, 只要连接的节点位置控制好, 这些直线小段就能模拟好这条曲

线。有限元法通过离散与组合, 可以适应结构的边界形状, 材料性质及荷载分布等复杂性, 又因为采用矩阵数学和单元组方法, 适合于电算程序的编制, 所以得到了广泛的应用和发展。这个受杆系力学的 概念与方法启发的数值分析方法, 现在已成为许多领域, 包括力学、物理、化学、工程等科学的有力工具[13]。

2. 数值法与解析法的结合

以有限元法为代表的数值分析方法可以解决解析方 法难以处理的复杂的结

构力学问题, 但是在发展中也出现了一些矛盾因为有限元法对不论什么对象和场合, 总是在全域把结构离散化, 并一律采用分片的低阶多项插值逼全局的解函数, 这固然是具有通用性的一面, 但也带来自由度多, 方程组庞大, 工量大和费用贵的不利一面。所以有限元法是可以解决问题, 但是有时解得太累 太贵, 应该可以解得更好些才好。于是就出现了数值法与解析法相结合的想法也就是使数值法与解析法在结合中各自扬己之长补人之短, 把问题解得更好，更经济。数值法主要靠机器, 而解析法过去主要靠人, 今后必须也要与电脑相结合。两者结合, 可以使问题解决的简捷、经济和更准确些[14]。

3. 结构优化设计和结构自我控制

从上面的叙述我们可以知道结构力学初期的任务, 是分析结构在外因作用下

的反应（应力、变形 … …）。从分析杆系结构开始, 现在可以分析由梁、析架、板、壳、薄壁构件等组成的复杂系统。计算手段从手算到利用电子计算机。方法

[15]从解析到数值, 再到数值与解析的结合。要改造事物使其更加完善, 还应该研究

结构特征的识别、设计方案的优化和工作状态的控制, 这些是结构力学高层次的任务。即可以根据高效的力学分析方法和数学规划论, 借助于计算机, 就有可能让结 构优化设计自动化。而结构控制是对一个正常的结构, 在非常的、灾难性的外因如地震、风暴、爆炸等作用下, 需要自动控制, 以保存自己。甚至在正常环境作用下, 也希望能够自我调控在比较好的状态下工作。结构控制就是要设计一个伺服系统在接受结构工作信息的反馈之后, 输入一定的能量以产生控制力, 来控制

结构的工作状态, 使结构工作指标最佳。结构优化设计与结构自我控制已经开始在很多领域开始发展和运用，至于土木工程结构的控制, 还在探索阶段。主要困难是结构质量非常大, 控制系统的质量和耗费的能量当然亦大, 还有环境作用的

随机性难以掌握。但是一般小型结构的控制, 还是可以做到[16]。因此，我们可以看出电子计算技术的出现使结构力学有了一个飞跃。传统的狭义结构力学, 工作领域从弹性杆系扩展到杆、梁、板、壳等组合的复杂系统。研究层次从被动的分析发展到主动优化设计, 再进一步到结构的控制。结构力学未来的发展都是多学科相结合的，如有限元结构力学算法、计算机、优化设计、结构自我控制等多学科的相结合。在未来的结构力学中我们遇到的模型也会越来越复杂、未知量会越来越多、多学科相结合的问题[17]。

（二）有限元法在结构力学中的应用

我们从上文叙述中可以知道有限元法最早是波音公司的设计师们在设计飞

机机翼主架的应力、应变时提出来的。有限元法最早应用于航空航天领域和结构力学的计算，最后发展到各个领域，可以说有限元法在结构力学方面的应用是最成熟的，也是应用最广的[18]。

1. 有限元法在建筑结构力学方面的应用

现今有限元技术在建筑业结构力学中也凸显了它的重大作用。我们经常看见

的建筑物、高速公路、铁路、厂房里的钢结构等存在着大量的结构力学计算问题，但平常的结构力学计算方法都无法解决[19]。现如今随着计算机技术的发展，有限元法在结构力学的求解中得到了空前的应用。用有限元法不仅可以计算出复杂

的力学结构，而且可以减少没有必要的支撑，是建筑物的结构简化，建筑物的寿命延长，而且在强大的冲击力下还能够起到支撑作用[20]。

2. 有限元法在机械行业结构力学方面的应用

有限元法最早是应用在航空航天行业的，现在也大量的应用在机械行业。现

如今出现的大型工程机械、汽车、大型货轮等都以有限元为主的CA E技术应用的先锋。在这些机械中如工程机械是有大型的钢结构，汽车存在着车架，货轮中存在着船体结构[21]。这些大型机械、汽车、货轮等都是要永久运动的结构。因此怎样设计出好的结构是产品好坏的关键之一，应用有限元法计算这些大型结构的力学模型，可以使这些产品结构简化并可更加牢固。如果再应用有限元法对这些机械中的零部件结构强度、 刚度进行分析，可以提高其承载能力和抗变形能力、 减轻其自身重量并节省材料，从而改善整车的动力性和经济性等性能[22]。

3. 有限元法在生物医学力学中的应用

在对人体力学结构进行力学研究时, 力学实验几乎无法直接进行, 这时用有限元数值模拟力学实验的方法恰成为一种有效手段。

（1）改良及优化器械的设计利用有限元力学分析, 可以改良医疗器械的力学性能以及优化器械的设计。除了实验方法外, 利用有限元法对器械进行的模拟力学实验具有时间短、 费用少、可处理复杂条件、力学性能测试全面及其重复性好等优点。另外, 还可进行优化设计, 指导对医疗器械的设计及改进, 以获得更好的临床医疗[23]。

（2）有限元模型进行力学仿真实验利用有限元软件的强大建模功能及其接口工具, 可以很逼真地建立三维人体骨骼、 肌肉、血管、口腔、中耳等器官组织的模型, 并能够赋予其生物力学特性。在仿真实验中, 对模型进行实验条件仿真,

模拟拉伸、弯曲、扭转、抗疲劳等力学实验, 可以求解在不同实验条件下任意部位的变形, 应力、 应变分布, 内部能量变化及极限破坏情况。目前有限元法在国内已经得到了普遍应用, 取得了大量的成就[24]。

三 、有限元分析软件

目前流行的CAE 分析软件主要有LS-DYNA 、ADINA 、ANSYS 、ABAQUS 等。以

下为对这些常用的软件进行的比较和评价：

（一）LSTC 公司的LS-DYNA 系列软件LS-DYNA 长于冲击、接触等非线性动力分析。LS-DYNA 是一个通用显式非线性动力分析有限元程序，最初是1976年在美国劳伦斯利弗莫尔国家实验室开发完成的，主要目的是为核武器的弹头设计提供分析工具，后经多次扩充和改进，计算功能更为强大。虽然该软件声称可以求解各种三维非线性结构的高速碰撞、爆炸和金属成型等接触非线性、冲击载荷非线性和材料非线性问题，但实际上它在爆炸冲击方面，功能相对较弱，其欧拉混合单元中目前最多只能容许三种物质，边界处理很粗糙，在拉格朗日——欧拉结合方面不如DYTRAN 灵活。

（二）HKS 公司的ABAQUS 软件 ABAQUS 是一套先进的通用有限元系统，属于高端 CAE 软件。它长于非线性有限元分析, 可以分析复杂的固体力学和结构力学系统，特别是能够驾驭非常庞大的复杂问题和模拟高度非线性问题。ABAQUS 不但 可以

做单一零件的力学和多物理场的分析，同时还可以做系统级的分析和研究，其系统计分析的特点相对于其他分析软件来说是独一无二的。需要指出的是，ABAQUS 对爆炸与冲击过程的模拟相对不如LS-DYNA 。

（三）ADINA ADINA 是近年来发展最快的有限元软件，它独创有许多特殊解法, 如劲度稳定法(Stiffness Stabilization), 自动步进法(Automatic Time Stepping), 外力-变位同步控制法(Load-Displacement Control)以及BFGS 梯度矩阵更新法, 使得复杂的非线性问题(如接触, 塑性及破坏等), 具有快速且几乎绝对收敛的特性, 且程式具有稳定的自动参数计算, 用户无需头痛于调整各项参数。另外值得一提的就是它有源代码，我们可以对程序进行改造，满足特殊的需求。

（四）ANSYS ANSYS 是世界著名的大型通用有限分析软件，广泛用于航空航天、船舶、机械、电子、压力容器、生物医学、核能等领域，在国内外拥有众多用户。其以多物理场（结构、流体，热和电磁）分析及其耦合分析功能而著称，并提供了各物理场间相互耦合的功能。

1.ANSYS 技术特点

（1）可实现多长场合及多场耦合分析

（2）可实现前后处理和分析求解的一体化及多场分析统一数据

（3）基于变分原理的多物理场优化功能

（4）显示和隐式算法并存，具有强大的非线性分析功能

（5）多种求解器并存，适用于不同的物理问题和不同的硬件配置

（6）支持异种、异构平台的网络浮动，且用户界面统一、数据文件兼容

（7）强大的并行计算功能，支持分布式并行和共享内存式并行

（8）多种网格划分技术并存，提高分网效率和网格质量

（9）良好的二次开发环境

(10)丰富的CAD/CAE接口

2. 一个完整的ANSYS 应用分析，典型的分析过程分为四个主要步骤：

（1）前处理

创建或读入有限元模型，建立有限元模型所需输入的资料，如节点坐标、单元内节点排列次序等；定义材料属性；划分网格。

（2）求解

施加荷载, 设定约束条件以及求解。

（3）一般后处理或时间历程后处理

查看求解结果中的变形、应力、应变、反作用力等基本信息；获取求解结果分析信息。绘制求解结果的各种分析曲线；获取动态分析结果用与时间相关的结果处理。POST1用于静态结构分析、屈曲分析及模态分析，将求解所得的结果，如变形、应力、内力等资料，通过图形接口以各种不同表示方式把变形图、应力图等显示出来。而POST26仅用于动态结构分析，用于与时间相关的时域处理。

（4）结果处理

检查分析结果，检验分析结果。在得到检验分析结果后，如果检验结果正确，则分析的问题得到解决。如果检验结果与实际工程系统误差较大，则需要提供改进

[25]分析方案，重新回到当前处理进行分析。

结构力学的研究对象主要是静定和超静定杆系结构，例如多跨连续梁、钢架、

三角拱等结构。利用结构力学中的力法、位移法或力矩分配法求解超静定结构，求解非常麻烦，特别是多次超静定结构，需要求解方程组，特别麻烦。有限元分析软件解决了求解的问题，不仅具有强大的前处理功能，而且其后的显示功能可以清楚的给出结构的位移、内力图，使结构力学的求解不仅简单而且直观。

四 结束语

总之，结构力学的发展已经离不开有限元方法，甚至现代科学的发展已经离

不开有限元方法。从一开始有限元法在结构力学中的应用已经扩展到了流体力学、电磁学、传热学等学科，由二维问题扩展到三维问题、板壳问题，由静力学问题扩展到动力学问题、稳定性问题，由线性问题扩展到非线性问题，由弹性材料扩展到弹塑性、塑性、粘弹性、粘塑性和复合材料，从航空技术领域扩展到航天、土木建筑、机械制造、水利工程、造船、电子技术及原子能等，由单一物理场的求解扩展到多物理场的耦合，其应用的深度和广度都得到了极大的拓展。

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