一个令人费解的逆否命题
08-07
2003年第19期 数学通讯23
一个令人费解的逆否命题
陈翠花
(河南师范大学数学与信息科学学院,河南 新乡 453002)
中图分类号:O12-44 文献标识:A 文章编号:0488-7395(2003)19-0023-01 作者在给“百千万骨干教师”讲授逻辑问题时,一位教师向我提出了一个令他困惑不解的问题,下面是解决此问题的全过程.(为叙述方便,把“百千万骨干教师”视为学生)
问题:原命题 若x≥0,则x2≥0.逆否命题 若x2
学生甲:原命题显然是真的,然而逆否命题怎样是假的呢?
教师:这个问题提的好.(因为刚讲过逻辑研究的对象,这个问题正好与逻辑研究的对象有关)请同学们讨论逆否命题到底是真还是假?
学生乙:在实数范围内,x
学生丙:不对.x2
x=i,x=-1
学生丁:不行.x取复数时又与x
教师:x取复数时与x
学生讨论很激烈,但又找不到一个合理的说法,有学生开始怀疑是不是这个逆否命题与原命题不等价.
教师:我们知道数学科学想推翻某个事实,只要举一个反例就可以了.我们能否以此例为反例,推翻原命题与逆否命题等价的结论呢?
学生:不行吧?这个问题有意思.
教师:看来这个问题还真是个问题呢?下面我来解释一下,大家看是否合理.
上面刚讲过逻辑是研究思维形式及其规律的一门基础学科(人教社版新教材教参语).由蕴涵式命题的真值表可知(如下表),当p假时,不论q是真是假,若p则q命题都是真的.现在把x2
真真假假真假假真
若则真假真真
学生点头,表示赞成.
学生戊:我还有问题.你说过数学真命题不仅形式真,而且p,q还要真实,且具有因果关系.原命题是数学真命题,怎么解释逆否命题是数学真命题呢?
教师:这个问题可以用集合的观点解释.记M={x