干摩擦引起自激振动现象研究_路峻岭
DOI :10. 16854/j . cn ki . 1000-0712. 2010. 03. 001第29卷第3期2010年3月
大 学 物 理C O L L E G E PH Y S I C S
V o l . 29N o . 3
M a r . 2010
教学研究
干摩擦引起自激振动现象研究
路峻岭, 王长江, 秦联华, 李 复
(清华大学物理系, 北京 100084)
摘要:对干摩擦引起自激振动现象进行分析, 得到了其解析表达式, 对振动过程进行了详细的分析, 画出了振动曲线和相图, 说明这就是弦弓乐器发出优美声乐的物理原因.
关键词:静摩擦; 滑动摩擦; 简谐振动; 旋转矢量图
中图分类号:O 343 文献标识码:A 文章编号:1000-0712(2010) 03-0001-06
文献[1]中关于干摩擦引起自激振动的模型如图1所示
[1]
, 其中O 为平衡位置, s 为质量为m 的滑
1 动力学方程及其解
弹簧由原长(自由长度) 开始运动并开始计时, 滑块Q 的坐标为x t ) =v +l 由于静摩擦力的作1(0t 0.
用, 开始时滑块P 仍然保持静止, 直至弹簧伸长到弹m g μ0力刚刚能克服静摩擦力的时刻t 为止, t . 从11
k v 0t 由静止开始运动. 在t 1时刻起, 滑块P 1时刻, 滑块P 的位置和速度仍然为0, 即x (t 0, ·x (t 0. 以1)=1)=下研究滑块P 的运动, 时间范围则从t ≥t1起直到
·x (t ) =0的
2
块相对平衡位置的位移. 它实际上可以等效于图2所示的实验.
t =t 滑块P 开始运动后, 摩擦2时刻止.
阻力将变为滑动摩擦力. 如果摩擦系数μ不太大, 则
在滑块Q 参考系中可观察滑块P 的振动(μ较大时的情况将在后面讨论) . 在地面参考系中, 滑块P 的动力学方程为
(1)
¨将x v +l --m g μ=m x , 即1=0t 0代入上式得0t ¨m x +k x =k v -m g μ, 得0t
图2所示实验装置是:质量为m 的滑块P 与劲度系数为k 自由长度为l 0的轻质弹簧连接, 弹簧的另一端连接一滑块Q . 采用地面参考系(好处在于滑块P 的速度为零时所受的摩擦为静摩擦力) , 以滑块P 的平衡位置为原点, 建立坐标轴O x , 如图示. 设滑块P 与地面之间的静摩擦系数为μ0, 滑动摩擦系数为μ, 且有μμ. 初始状态:滑块P 静止, 弹簧处于0>自由长度; 从t =0时刻起, 滑块Q 突然沿弹簧轴向向远离滑块P 的方向以速度v 0作匀速直线运动并一直保持. 以下研究滑块P 的运动.
收稿日期:2009-01-20; 修回日期:2009-07-08
(—, 男, , 22
¨x +ω=ω-g μ0x 0v 0t
¨x --m g μ=m x 1-0
(2)
2k g μ
其中ω此微分方程的特解是x =v 2, 因此0. 0t
m ω0
它的通解为
g μx (t ) =A s ω++v 0t 0t
ω0
滑块P 的速度为
·=A ω++v 10c 0t 0和·x (t =0确定. 据初条件可得1)
(3)
(4)
其中, 积分常数A 、φ由t =t (t =01时刻的初条件x 1)
2大 学 物 理 第29卷
g μ
A s ω+v 00t 1+0t 12=
ω0A ω+v 00c 0t 1+0=A s ωμ0t 1+0-0v 0A c 0t 1+
ω0
长项, 第三项为振动项. 式(11) 中的第二、三两项描述阻尼力大小为定值(滑动摩擦力) 时的阻尼振动, 要想使它不是过阻尼或临界阻尼, 振动项的振幅必须大于由于滑动摩擦力而引起的弹簧伸长
(5)
v 0g μg μc o s β
或
ωo s βωω0c 0v 00
[2]
. 即(15)
即
由式(13) 可以看出:从t =t ω-ωβ1时刻(0t 0t 1+=β)起到t =t ωωβ=2π-β)止, 滑块2时刻(0t 2-0t 1+
P 的速度的方向没有改变, 从而式(2) 总是成立的. 从式(13) 和式(14) 可以看出:当时间t 从t 1开始增加时, 余弦函数c o s (ω-ωβ)开始减小, 滑块P 的0t 0t 1+速度逐渐增大; 在ω-ωβ时它的速度达到0t 0t 1+2v 0, 但此时它的位置还比较落后, 而弹簧伸长则达到极大值, 弹簧还要拉着它使它加速; 在ω-ωβ=π0t 0t 1+时滑块P 的速度达到极大值, 但弹簧还是略有伸长的, 弹簧伸长产生的拉力刚好抵消了滑动摩擦阻力; 由于滑块P 的速度已经大于滑块Q 作匀速直线运动
(8)
的速度v 与Q 的距离将缩短, 弹簧伸长产生0, 之后P 的拉力不再能够抵消滑动摩擦阻力, P 所受的合力将是阻力, 从而使它的速度逐渐变慢, 直到ω-ω0t 0t 1+β=π+γ时(其中γ=a r c s g μc o s β
) , 弹簧恢复
v 0ω0
g
由式(5) 可得, t ωμ它大于0t 1+0-v 0ω0零, 可知ω为第一象限角, 令它等于β,从而0t 1+
β=a r c t a μ0-, φ=β-ω(6) 0t 1
ω0v 0
v ω+μ0-2
ω0
A (7)
因此, 微分方程(2) 满足初条件的解为
v μ0ω0+0-x (t ) s ω-ω0t 0t 1+2
ω0
μ0- ar c t a v 0ω0
从而
v μ0ω0+0- ·x (t ) c ω-ω0t 0t 1+
ω0
μ0- ar c t a v 0ω0
g μ+v 20t
ω0
+v 0
(9)
到自由状态(原长) ; 之后弹簧将被压缩, 弹簧力与滑动摩擦力一同(方向相同) 阻止滑块P 的运动而使它减速; 当ω-ωβ时, 弹簧被压缩到最0t 0t 1+
2
¨ x(t ) =ω+μs ω-0-0t
μ0- ωa r c t a 0t 1+
v 0ω0
置、速度、加速度可用下列诸式表示:
-ωg μv 00t 0t 1x (t ) =v 2=v -Δl (11) 0t 0t
ωo s βω0c 0
其中弹簧伸长量为
ω-ω00t 0t 1+v Δl x t ) -x -l 1(0ωo s βω0c 0
(12)
·x (t ) =0
(10)
短, 滑块P 的速度则减小到v 之后弹簧渐渐伸展, 0; 弹簧提供的阻力将渐渐减小而滑动摩擦阻力维持不变, 直到ω-ωβ=2π-β时, 滑块P 的速度减0t 0t 1+小到0. 在滑块P 的速度减小到接近0的时刻, 其加速度依然为负, 这是弹簧力和滑动摩擦阻力共同作用的结果; 在滑块P 的速度等于0的时刻, 滑动摩擦力立即消失, 代之以静摩擦阻力, 静摩擦阻力的方向与弹簧的状态有关. 若μ2μ, 滑块P 的速度等于00=的时刻, 弹簧刚好伸展为原长; 若μ2μ, 在滑块P 0>的速度等于0的时刻, 弹簧还没有伸展为原长, 还有Δx =g (μ2μ) /ω=Δx /v0-0的压缩量, 需要经过t 0的时间, 弹簧才伸展为原长; 若μ
且还有所伸长, 只是伸长不大, 弹簧弹力还不足以克服静摩擦阻力而拉着滑块P 开始运动. 不管哪一种, , 2
分析以上3式可知, 在t ≤t的位1≤t2范围内, 滑块P
c -ω0t 0t 1+
1c o s β
(13) (14)
v ω-ω0ω0s 0t 0t 1+
¨ x(t ) c o s β
2 对干摩擦引起自激振动解的解释
从式(11) 可以看出滑块P 的运动规律, 第一项,
第3期 路峻岭, 等:干摩擦引起自激振动现象研究 3
定时间后弹簧伸长到拉力足以克服静摩擦力使滑块P 开始运动, 后面的过程将是上述t 1时刻以后的过程的重复. 总之干摩擦确实引起了自激振动的发生.
簧在伸长. 在动角的动边与O 重合的时刻, 弹簧伸1C 长达到极大, 因而拉力也达到极大, 此时滑块P 的速度也已达到v 在动角的动边从O 到O 的过程0. 1C 1D
中, 由于滑块P 的速度已超过v 0且还在加速, 弹簧的伸长在减少, 因此弹簧拉力也在减少, 但因弹簧仍然处于伸长状态, 其拉力仍在使滑块P 加速. 在动角的动边与O 重合的时刻, 滑块P 的速度达到极大1D 值, 此时弹簧的伸长产生的拉力刚好与滑动摩擦力抵消. 在动角的动边从O 到O 的过程中, 由于1D 1E 滑块P 的速度已大大超过v 0, 弹簧的伸长在减少, 弹簧拉力也在减小, 此时弹簧的拉力已经小于滑动摩擦阻力, 滑块P 的速度在减小. 当动角的动边与O 1E 重合的时刻, 弹簧恢复到原长, 滑块P 在滑动摩擦阻力的作用下继续减速. 在动角的动边从O 到O 1E 1F 的过程中, 弹簧由原长开始被压缩, 弹簧力与滑动摩擦力一同(方向相同) 使滑块P 减速. 当动角的动边与O 重合的时刻, 弹簧长度被压缩到极小值, 此时1F 滑块P 的负加速度的绝对值达到极大值, 滑块P 的速度则减小到v 在动角的动边从O 到O 的过0. 1F 1G 程中, 弹簧由压缩到最短开始伸展, 弹簧力与滑动摩擦力共同作用使滑块P 从速度为v 0进一步减速, 不过其负加速度的绝对值在逐渐变小. 当动角的动边与O 重合的时刻, 滑块P 的速度减小到0, 此时弹1G 簧或许刚好恢复到原长(若μ2μ) , 或许略有压缩0=(若μ2μ) , 或许略有伸长(若μ2μ且μ满足式0>01D 1线将向横轴E AO 当动角的动边到达O 滑块P 的1D 1将小于β.1G
速度减小到0时, 弹簧还处于压缩状态, 随后滑块P 静止而弹簧先伸长到原长再继续伸长到对应的状态为动边与O 重合的状态再继续下一个循环. 1B 若μ2μ且μ满足式(15) , 则D O 0
已经跨越了横轴, 弹簧由压缩状态已经变为伸长状态, 但弹簧拉力尚不足以拉动滑块P , 随后, 滑块P 静止而弹簧则从有一定伸长再继续伸长直到对应. 13 借助旋转矢量图研究干摩擦引起自激振动
在滑块Q 参考系中看滑块P 的运动. 如图3所示, 以直角坐标系(横轴E O A , 纵轴F O C ) 的原点O 之负方
2
距原点g μ/ωωo s β)为半径0的O 1点为圆心, 以v 0/(0c 作圆, 过O 、D1作水平线交圆于D 1两点, 以O 1D 1为一边作±β两角, 角边交圆于B 、G两点, 连接B G . 两射线O 和O 把圆分为两部分. 时间的流逝1B 1G 以一个角顶在O ω-ωβ)(固定1点的动角(0t 0t 1+边为O 的动边从O 1D 1) 1D 1开始逆时针地转动来表征. 在扇形区B C D E F G 内动边以ω0作匀角速度转动; 在扇形区G A D 内动边以变角速度ω(θ)=1B ωo s β/co s θ转动. 滑块P 的位移以动边与圆交点0c
的纵坐标来表示. 弹簧的伸长量即滑块P 的位移的负值. 可以借助此圆图分析滑块P 的运动. 初始状态为动边与O 重合. 由于滑动摩擦的存在, 滑块1A P 振动的“平衡位置”不是动边与O 重合的状1A 态, 而是动边与O 由于静摩擦力的1D 1重合的状态. 存在, 滑块P 在一次振动过程中有一个在滑块Q 参考系中的匀速直线运动(即地面系中静止) 的阶段, 补充上了简谐振动的缺口, 使它成为近似完美的简谐振动
.
图3 旋转矢量图
从地面系看, 在动角的动边从O 到O 的过1A 1B 程中, 滑块P 静止, 弹簧先伸长到“平衡位置”再继续伸长. 在动角的动边与O 重合的时刻, 弹簧的拉1B 力刚好能克服静摩擦阻力, 滑块P 开始运动. 在动角, 11
由图3可见, 干摩擦引起的振动的频率完全由弹簧和质量块所决定.
系统处于过阻尼振动状态, 则据β定义式(6) 有β※0, 此时图3中的B 、G两点将与D 1点重合, 意味着动角的动边从O 起开始到达O 不再有1A 1D 1后滑块P 匀速直线运动阶段. 弹簧经历“原长※伸长※伸长极大※伸长减少※伸长变大”的过程, 但弹簧总是伸长的. 滑块P 的速度变为0的时刻, 弹簧的伸长刚刚达到弹簧力克服摩擦阻力拉动滑块P 开始运动的状态. 这样在地面系看, 滑块P 都是几乎无停顿地进行一次又一次的运动. 也就是说, 大的干摩擦可以产生很纯的简谐振动.
文献[1]中考虑了与速度成正比的空气阻力的影响, 本文没有涉及. 理由是空气阻力与干摩擦力相比太小了, 宜忽略之. 实验表明这种忽略是合理的.
4 对滑动摩擦系数影响的进一步讨论
特别需要指出的是, 上述的分析仅适合于滑动摩擦力较小(满足(15) 式) 的情况, 在一个振动周期内滑块P 经历“静止※加速※速度极大※减速※静
止”(地面系) 的过程; 弹簧经历“原长※伸长※伸长极大※伸长减少※原长※压缩※压缩极大※压缩减少(※原长) ”的过程, 滑动摩擦力参与了整个过程. 这个过程实质上是阻尼振动过程. 若滑动摩擦系数μ逐渐变大(保持μμ) , 使式(15) 中的小于号变0>为等号, 此时对应的是临界阻尼振动过程, 图3中O 和O 线将重合于O 线, 弹簧将不再有压缩1E 1A 1F
过程但有伸展到原长的状态, 弹簧经历“原长※伸长※伸长极大※伸长减少※原长※伸长※……”的过程. 在动角的动边与O 重合的时刻, 滑块P 的速度1F 则减小到v 0, 弹簧由伸长较大刚刚恢复到原长, 此后滑块P 将主要在摩擦阻力作用下进一步减速直到0, 弹簧会有点伸长. 一定条件下若滑动摩擦系数μ进一步变大(保持μμ) , 使式(15) 中的小于号变0>
为大于号, 此时对应的是过阻尼振动过程, 图3中的圆不再与横轴相交, 弹簧将一直处于伸长状态, 弹簧将经历“原长※伸长※伸长极大※伸长减少※伸长※……”的过程, 在动角的动边与O 重合的时刻, 1F 滑块P 的速度则减小到v 0, 弹簧由伸长较大变为伸长较小(极小值) , 此后滑块P 将主要在摩擦阻力作用下进一步减速直到0, 弹簧会由伸长极小变为伸长较大. 无论哪一种阻尼振动, 滑块P 都经历相同的过程, 滑块P 速度减小到0时, 即对应动角的动边与O 重合的状态, 此时滑块P 的加速度都是-g (μ1G 0-μ) , 其中摩擦阻力提供的是-g μ, 弹簧力提供的则是-g (μ2μ) , 当μ2μ时它是由弹簧压缩而0-0>产生的, 弹簧力与摩擦阻力的方向相同; 当μ2μ0
方向相反. 此时一旦滑块P 的速度变为0, 滑动摩擦
5 干摩擦引起自激振动的振动曲线和相图
为了描述干摩擦引起自激振动的振动曲线和相
图, 我们把振动物理量变换到滑块Q 参考系中来. 结果为
x(t ) =-g μ/ωv -ωωo s 0-0s 0t 0t 1+0c
(16)
·x (t ) =-v -ω/co s β0c 0t 0t 1+
(17)
2μ
为便于与图3比较, 图中写出了与各个状态对应的字母. 从图4可见, 振动系统(滑块P 和弹簧) 在一个周期内只完成了振动过程的一部分, 即从B 到G , 其间断部分则由静摩擦造成(滑块Q 参考系) 的匀速直线运动(由G 到B ) 补充上了. 在β不太大时, 这一补充使得振动位移曲线看起来已经与简谐振动曲线(等幅、无限) 完全一样了. 特别是μ大到接近μ图9) 干摩擦引起自0时(
2
力就立即被静摩擦力取代, 由于 -g (μ2μ)
一段时间, 弹簧拉力才能达到拉动滑块P 运动而开拉弓涂抹松香以增加摩擦系数可以改进演奏效始下一个循环. 所以, 临界或过阻尼振动, 动角的动果. 由于摩擦力的参与, 定向干摩擦能使得振动边与O 重合时, 它就自动由振动变为匀速直线运1G 动, 直到滑块P 开始下一次振动运动的状态.
在μ※μ0较大, 且μ0时, 摩擦力大到使弹簧质量
系统产生出简谐振动来, 这就是弦弓乐器发出优
美乐声的物理原因.
第3期 马晓东, 等:坐标表象与任意力学量表象的关系 11
R e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e c o o r d i n a t e r e p r e s e n t a t i o n a n d d i s c r e t i o n a l m e c h a n i c a l p a r a m e t e r r e p r e s e n t a t i o n
M AX i a o -d o n g , Z H O UY u , L UJ u n -z h e , WE I We i
(1. M a t h s -P h y s i c s a n dI n f o r m a t i o nI n s t i t u t e , X i n j i a n g N o r m a l U n i v e r s i t y , U r u m c h i , X i n j i a n g 830054, C h i n a ; 2. S c h o o l o f M a t h s -P h y s i c s , J i a n g s uU n i v e r s i t y o f S c i e n c e a n dT e c h n o l o g y , Z h e n j i a n g , J i a n g s u 212003, C h i n a )
1
2
1
1
A b s t r a c t :B y d i s c u s s i n g t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e c o o r d i n a t e r e p r e s e n t a t i o n a n d t h e d i s c r e t i o n a l m e c h a n i c a l p a r a m e t e r r e p r e s e n t a t i o n , t h i s p a p e r a n a l y s e s t h e o r i g i n o f t h e δf u n c t i o n n o r m a l i z a t i o n o f e i g e n f u n c t i o n w i t h c o n t i n -u o u s e i g e n v a l u e . Ac o n c l u s i o n i s o b t a i n e d t h a t t h e e i g e n f u n c t i o n o f c o o r d i n a t e i n t h e d i s c r e t i o n a l m e c h a n i c a l p a r a m -e t e r r e p r e s e n t a t i o n a n d t h e e i g e n f u n c t i o no f d i s c r e t i o n a l m e c h a n i c a l p a r a m e t e r i nt h e c o o r d i n a t e r e p r e s e n t a t i o na r e c o n j u g a t e d c o m p l e x n u m b e r o f e a c h o t h e r . U s i n g t h i s c o n c l u s i o n w e g i v e a n e wp h y s i c a l e x p l a n a t i o no f t h e e i g e n -f u n c t i o n c l o s u r e .
K e y w o r d s :r e p r e s e n t a t i o n ; e i g e n f u n c t i o n ; δf u n c t i o n n o r m a l i z a t i o n ; c l o s u r e ; F o u r i e r t r a n s i t i o n
(上接6页)
6 结论
由以上分析可以得到以下结论. 干摩擦在μ0≥μ的条件下确实能够引起自激振动的发生. 自激振动的频率完全由振动系统的特性量m 、k决定, 与摩擦系数μ和滑动速度v 诸因素的影响可以0、μ0无关. μ0-通过β=a r c t a 来体现. 以此可以解释弓
v 0ω0
弦类乐器的发声机理.
参考文献:
[1] 赵凯华, 罗蔚因. 新概念物理学教程:力学[M ]. 北京:
高等教育出版社, 1995:286-288.
I n v e s t i g a t i o n o n t h e p h e n o m e n o n o f s e l f -e x c i t e d v i b r a t i o n b y d r y f r i c t i o n
L UJ u n -l i n g , W A N GC h a n g -j i a n g , Q I NL i a n -h u a , L I F u
(D e p a r t m e n t o f P h y s i c s , T s i n g h u a U n i v e r s i t y , B e i j i n g 100084, C h i n a )
A b s t r a c t :T h e p h e n o m e n a o f s e l f -e x c i t e d v i b r a t i o n b y d r y f r i c t i o n i s s t u d i e d a n d t h e a n a l y t i c e x p r e s s i o n i s o b -t a i n e d . S o i t s v i b r a t i o n c u r v e a n d p h a s e p l o t s h o wt h e p h y s i c a l c a u s e s o f a s t r i n g -b o w m u s i c a l i n s t r u m e n t s e n d i n g o u t s w e e t t o n e .
K e y w o r d s :r e s t f r i c t i o n ; s l i p p i n g f r i c t i o n ; s i m p l e h a r m o n i o u s v i b r a t i o n ; t u r n i n g -v e c t o r c i r c l e
(上接8页)
Q u a n t u m-c l a s s i c a l c o r r e s p o n d e n c e f o r a c h a r g e i n a u n i f o r m m a g n e t i c f i e l d
S U NH a o -r a n , B A I R u i -l i a n g , L I UQ u a n -h u i
(S c h o o l f o r T h e o r e t i c a l P h y s i c s a n d D e p a r t m e n t o f A p p l i e dP h y s i c s , H u n a n U n i v e r s i t y , C h a n g s h a , H u n a n 410082, C h i n a )
A b s t r a c t :T h e m o t i o n o f a c h a r g e d p a r t i c l e i n a u n i f o r mm a g n e t i c f i e l d f o r m s a h e l i c a l c u r v e . I n t h e p l a n e p e r -p e n d i c u l a r t o t h e m a g n e t i c f i e l d , t h e o r b i t i s a c i r c u l a r . I n q u a n t u mm e c h a n i c s , t h e o p e r a t o r f o r m o f t h e c l a s s i c a l c i r c l e r e l a t i o n s b y g a u g e t r a n s f o r m a t i o n i s d e r i v e d .
s f o h s s