二次函数根的分布和最值

二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳

2ax +bx +c =0根的分布情况 1、一元二次方程

设方程ax +bx +c =0(a ≠0)的不等两根为x 1, x 2且x 1

2

方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）

表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）

需满足的条件是

根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间(m , n )外，即在区间两侧x 1n ，（图形分别如下）

（1）a >0时，⎨

⎧⎧⎪f (m )0

； （2）a

⎪⎪⎩f (n )0

对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明： （1）两根有且仅有一根在(m , n )内有以下特殊情况：

1︒ 若f (m )=0或f (n )=0，则此时f (m ) f (n )

可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间(m , n )内，从而可以求出参数的值。如方程mx -(m +2)x +2=0

2

在区间(1,3)上有一根，因为f (1)=0，所以mx 2-(m +2)x +2=(x -1)(mx -2)，另一根为得

22

，由1

m m

2

2︒ 方程有且只有一根，且这个根在区间(m , n )内，即∆=0，此时由∆=0可以求出参数的值，然后再将参数

的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。如方程

x 2-4mx +2m +6=0有且一根在区间(-3, 0)内，求m 的取值范围。分析：①由f (-3) f (0)

(14m +15)(m +3)

m =-1时，根x =-2∈(-3,0)，即m =-1满足题意；当m =

综上分析，得出-3

153

33

时，根x =3∉(-3,0)，故m =不满足题意；22

15

或m =-1 14

根的分布练习题

例1、已知二次方程(2m +1)x -2mx +(m -1)=0有一正根和一负根，求实数m 的取值范围。

2

解：由 (2m +1) f (0)

1

例2、已知方程2x -(m +1)x +m =0有两个不等正实根，求实数m 的取值范围。

2

解：由

∆>0⎧2

⎧m +1-8m >0()⎪

⎧⎪⎪-(m +1)⎪m 3+->0 ⇒

m >-1⇒⇒

⎨⎨⎨

2 2m >0⎪⎩⎪⎪m >0f (0)>0⎩⎪⎩

0

m >3+

例3、已知二次函数y =(m +2)x 2-(2m +4)x +(3m +3)与x 轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数m 的取值范围。

解：由 (m +2) f (1)

例4、已知二次方程mx +(2m -3)x +4=0只有一个正根且这个根小于1，求实数m 的取值范围。

2

1

即为所求的范围。 2

解：由题意有方程在区间(0,1)上只有一个正根，则f (0) f (1)

1

即为所3

（注：本题对于可能出现的特殊情况方程有且只有一根且这个根在(0,1)内，由∆=0计算检验，均不复合题意，计算量稍大）

1．二次函数及图象

22

设有一元二次函数y=ax+bx+c(a≠0) ，判别式Δ=b-4ac ，当Δ＞0时y=f(x)与x 轴有二交点；当Δ=0时，y=f(x)与x 轴仅有一交点；当Δ＜0时，y=f(x)与x 轴无交点．

当Δ＞0时，设y=f(x)图象与x 轴两交点为x 1＜x 2．一元二次函数y=f(x)与x 轴交点x 1，x 2就是相应一元二次方程f(x)=0的两根．

观察图象不难知道．

图像为

观察图象不难知道△=0，a ＞0 , △=0，a ＜

当△＜0时，y=f(x)图象与x 轴无公共点，其图象为

观察图象不难知道．

a ＞0时, 绝对不等式f(x)＞0解为x ∈R ．a ＜0时,

绝对不等式f(x)＜0解为x ∈R ．

2．讨论一元二次方程的根的分布情况时，往往归结为不等式（组）的求解问题，其方法有3种： （1）应用求根公式； （2）应用根与系数关系；

（3）应用二次函数图象．在进行转化时，应保证这种转化的等价性．

就这三种方法而言，应用二次函数图象和性质应是比较简捷的一种方法．

22

设f （x ）=ax＋bx ＋c （a ＞0），方程ax ＋bx ＋x=0的个根为α，β（α≤β），m ，n 为常数，且n ＜m ，方程根的分布无外乎两种情况：

②α，β同居一区间时，不但要考虑端点函数值的符号，还要考虑

三、好题解给你

(1) (1) 预习题

2

1. 设有一元二次函数y ＝2x -8x+1．试问，

当x ∈[3，4]时，随x 变大，y 的值变大还是变小？

由此y ＝f(x)在[3，4]上的最大值与最小值分别是什么？

2

解：经配方有y ＝2(x-2)-7

∵对称轴x ＝2，区间[3，4]在对称轴右边，

∴y ＝f(x)在[3，4]上随x 变大，y 的值也变大，因此 y max =f(4)＝1． y min ＝f(3)＝-5．

22

2. 设有一元二次函数y ＝2x -4ax+2a+3．试问，此函数对称轴是什么？ 当x ∈[3，4]时，随x 变大，y 的值是变大还是变小？与a 取值有何关系？ 由此，求y ＝f(x)在[3，4]上的最大值与最小值．

2

解：经配方有y ＝2(x-a)+3． 对称轴为x=a．

当a ≤3时，因为区间[3，4]在对称轴的右边，因此，当x ∈[3，4]时，随x 变大，y 的值也变大．

当3＜a ＜4时，对称轴x=a在区间[3，4]内，此时，若3≤x ≤a ，随x 变大，y 的值变小，但若a ≤x ≤4，随x 变大，y 的值变大．

当4≤a 时，因为区间[3，4]在对称轴的左边，因此，当x ∈[3，4]时，随x 变大，y 的值反而变小．

根据上述分析，可知．

22

当a ≤3时，y max =f(4)=2a-16a+35．y min =f(3)＝2a -12a+21． 当3＜a ＜4时，y min ＝f(a)＝3．

2

其中，a ≤3.5时，y max ＝f(4)＝2a -16a+35．

2

a ≥3.5时，y max ＝f(3)＝2a -12a+21．

22

当a ≥4时，y max ＝f(3)＝2a -12a+21．y min ＝f(4)＝2a -16a+35． (2) (2) 基础题

2

例1．设有一元二次方程x +2(m-1)x+(m+2)＝0．试问： (1)m为何值时，有一正根、一负根．

(2)m为何值时，有一根大于1、另一根小于1． (3)m为何值时，有两正根． (4)m为何值时，有两负根．

(5)m为何值时，仅有一根在[1，4]内？

解：(1)设方程一正根x 2，一负根x 1，显然x 1、x 2＜0，依违达定理有m+2＜0． ∴ m＜-2．

反思回顾：x 1、x 2＜0条件下，ac ＜0，因此能保证△＞0．

(2)设x 1＜1，x 2＞1，则x 1-1＜0，x 2-1＞0只要求(x1-1)(x2-1) ＜0，即x 1x 2-(x1+x2)+1＜0．

依韦达定理有

(m+2)+2(m-1)+1＜0．

(3)若x 1＞0，x 2＞0，则x 1+x2＞0且x 1，x 2＞0, 故应满足条件

依韦达定理有

(5)由图象不难知道，方程f(x)＝0在[3，4]内仅有一实根条件为f(3)·f(4)＜0，即

[9+6(m-1)+(m+2)]·[16+8(m-1)+(m+2)]＜0． ∴(7m+1)(9m+10)＜0．

例2. 当m 为何值时，方程

解：负数根首先是实数根，∴

，

有两个负数根？

由根与系数关系：要使方程两实数根为负数，必须且只需两根之和为负，两根之积为正． 由以上分析，有

即

∴当

时，原方程有两个负数根．

(3) (3) 应用题

2

例1. m取何实数值时，关于x 的方程x +（m-2）x ＋5-m=0的两个实根都大于2？

2

解：设f （x ）=x+（m-2）x+5-m，如图原方程两个实根都大于

2

所以当-5＜m ≤-4时，方程的两个实根大于2．

2

例2．已知关于x 方程：x -2ax ＋a ＝0有两个实根α，β，且满足0＜α＜1，β＞2，求实根a 的取值范围．

2

解：设f （x ）=x-2ax ＋a ，则方程f （x ）=0的两个根α，β就是抛物线y=f（x ）与x 轴的两个交点的横坐标，如图0＜α＜1，β＞2的条件是：

＜1，β＞2．

2

例3．m 为何实数时，关于x 的方程x +（m-2）x ＋5-m=0的一个实根大于2，另一个实根小于2.

2

解：设f （x ）=x＋（m-2）x ＋5-m ，如图，原方程一个实根大于2，另一个实根小于2的充要条件是f （2）＜0，即4＋2（m-2）＋5-m ＜0．解得m ＜-5．所以当m ＜-5时，方程的一个实根大于2，另一个实根小于2．

(4) (4) 提高题 例1．已知函数

的图象都在x 轴上方，求实数k 的取值范围．

解：（1）当

，则所给函数为二次函数，图象满足：

，即

解得：

（2）当 若

若

，则

时，

的图象不可能都在x 轴上方，∴

，则y =3的图象都在x 轴上方

由（1）（2）得：

反思回顾：此题没有说明所给函数是二次函数，所以要分情况讨论．

22

例2．已知关于x 的方程（m-1）x -2mx ＋m +m-6=0有两个实根α，β，且满足0＜α＜1＜β，求实数m 的取值范围．

22

解：设f(x)=x-2mx+m＋m-6，则方程f （x ）=0的两个根α，β，就是抛物线y=f（x ）与x 轴的两个交点的横坐标．

如图，0＜α＜1＜β的条件是

解得

2

例3．已知关于x 的方程3x -5x ＋a=0的有两个实根α，β，满足条件α∈（-2，0），β∈（1，3），求实数a 的取值范围．

2

解：设f （x ）=3x-5x ＋a ，由图象特征可知方程f （x ）=0的两根α，β，并且α∈（-2，0），β∈（1，3）的

解得-12＜a ＜0． 四、课后演武场

2

1. 已知方程(m -1)x +3x -1=0的两根都是正数，则m 的取值范围是（ B ）

A ．

B ．

C ．

D ．

2. 方程 x +(m -1) x +(m -2)=0的一个根比1大，另一个根比-1小，则m 的取值范围是（ C ） A ．0＜m ＜2 B ．-3＜m ＜1 C ．-2＜m ＜0 D ．-1＜m ＜1 3. 已知方程

有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ C ）

22

A ．

B ．

C ．

2

D ．

4．已知关于x 的方程3x +（m-5）x ＋7=0的一个根大于4，而另一个根小于4，求实数m 的取值范围．

可知方程f （x ）=0的一根大于4，另一根小于4的充要条件是：f （4）＜0）

2

5．已知关于x 的方程x ＋2mx ＋2m ＋3=0的两个不等实根都在区间（0，2）内，求实数m 的取值范围．

征可知方程f （x ）=0的两根都在（0，2）内的充要条件是

2、二次函数在闭区间[m , n ]上的最大、最小值问题探讨

设f (x )=ax +bx +c =0(a >0)，则二次函数在闭区间[m , n ]上的最大、最小值有如下的分布情况：

2

对于开口向下的情况，讨论类似。其实无论开口向上还是向下，都只有以下两种结论： （1）若-

b ⎧⎫⎧⎫⎛b ⎫⎛b ⎫

∈[m , n ]，则f (x )max =max ⎨f (m ), f -⎪, f (n )⎬，f (x )min =min ⎨f (m ), f -⎪, f (n )⎬； 2a ⎝2a ⎭⎝2a ⎭⎩⎭⎩⎭

（2）若-

b

∉[m , n ]，则f (x )max =max {f (m ), f (n )}，f (x )min =min {f (m ), f (n )} 2a

另外，当二次函数开口向上时，自变量的取值离开对称轴越远，则对应的函数值越大；反过来，当二次函数开口向下时，自变量的取值离开对称轴轴越远，则对应的函数值越小。

二次函数在闭区间上的最值练习

二次函数在闭区间上求最值，讨论的情况无非就是从三个方面入手：开口方向、对称轴以及闭区间，以下三个例题各代表一种情况。

例1、函数f (x )=ax -2ax +2+b (a ≠0)在[2,3]上有最大值5和最小值2，求a , b 的值。

2

解：对称轴x 0=1∉[2,3]，故函数f (x )在区间[2,3]上单调。 （1）当a >0时，函数f (x )在区间[2,3]上是增函数，故⎨

⎧⎧3a +b +2=5⎧a =1⎪f (x )max =f (3) ⇒ ⎨ ⇒ ⎨； f x =f 2()⎪⎩2+b =2⎩b =0⎩()min

⎧⎧b +2=5⎪f (x )max =f (2)（2）当a

例2、求函数f (x )=x -2ax +1, x ∈[1,3]的最小值。

2

⎧a =-1

⎨b =3⎩

解：对称轴x 0=a

（1）当a

2

（3）当a >3时，y min =f (3)=10-6a

改：1．本题若修改为求函数的最大值，过程又如何？

解：（1）当a

2．本题若修改为求函数的最值，讨论又该怎样进行？

解：（1）当a

（2）当1≤a

2

（3）当2≤a

2

（4）当a ≥3时， f (x )max =f (1)=2-2a ，f (x )min =f (3)=10-6a 。

例3、求函数y =x 2-4x +3在区间[t , t +1]上的最小值。 解：对称轴x 0=2

（1）当22时，y min =f (t )=t 2-4t +3； （2）当t ≤2≤t +1即1≤t ≤2时，y min =f (2)=-1； （3）当2>t +1即t

例4、讨论函数f (x )=x 2+x -a +1的最小值。

⎧x 2+x -a +1, x ≥a

解：f (x )=x +x -a +1=⎨2，这个函数是一个分段函数，由于上下两段上的对称轴分别为

x

2

直线x =-

111111

，x =，当a

222222

因此，（1）当a

1⎛1⎫3

时，f (x )min =f -⎪=-a ； 2⎝2⎭4

（2）当-

11

≤a

时，f (x )min =f ⎪=+a 2⎝2⎭4

（3）当a ≥

二次函数根的分布

二次函数根的分布是二次函数中的重要内容。这部分知识在初中代数中虽有所涉

及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用。下面我们将主要结合二次函数图象的性质，分两种情况系统地介绍二次函数根的分布的充要条件及其运用。 一．一元二次方程根的基本分布——零分布

所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系。比如二次方程

有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧。

设一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的两个实根为x 1，x 2，且x 1≤x 2。

⎧

⎪∆=b 2-4ac ≥0⎪

b

【定理1】x 1>0, x 2>0，则⎪x +x =->0 ⎨12

a ⎪

c ⎪x x =>012⎪a ⎩2

例1若一元二次方程(m -1) x +2(m +1) x -m =0有两个正根，求m 的取值范围。 ⎧

⎪∆=b 2-4ac ≥0⎪

b

【定理2】x 1

a ⎪

c ⎪x x =>012⎪a ⎩

【定理3】x 1

a

例3 k 在何范围内取值，一元二次方程kx 2+3kx +k -3=0有一个正根和一个负根？

b

【定理4】 1) x 1=0，x 2>0⇔c =0且

a b

2) x 10。

a

2

例4若一元二次方程kx +(2k -1) x +k -3=0有一根为零，则另一根是正根还是负根？

二．一元二次方程的非零分布——k 分布

设一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的两实根为x 1，x 2，且x 1≤x 2。k 为常数。则一元二次方程根的k 分布（即x 1，x 2相对于k 的位置）有以下若干定理。

⎧

⎪∆=b 2-4ac ≥0⎪

【定理1】k 0

⎪

b ⎪->k

⎧

⎪∆=b 2-4ac ≥0⎪

【定理2】x 1≤x 20

⎪b ⎪-

【定理3】

x 1

(k )

【定理4】有且仅有k 1

1（或x 2）

⎧a >0⎧a 0⎪f (k )

11⎪⎪⎪⎪k 0 ⎪f (p ) 0

11

⎪⎪⎪⎩f (p 2) >0⎪⎩f (p 2)

此定理可直接由定理4推出，请自证。

⎧⎧2⎪∆=b -4ac ≥0⎪∆=b 2-4ac ≥0⎪⎪a >0⎪⎪a

⎪【定理6】k 10⎨1⎨f (k 1)

⎪f (k ) >0⎪f (k )

22

⎪⎪

b b ⎪⎪k

1. 方程x 2+2px+1=0有一个根大于1，一个根小于1，求p 的取值范围

2. 若关于x 的方程x 2+(k-2)x+2k-1=0的两实根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求实数k 的取值范围

3. 方程mx 2+2(m+1)x+m+3=0仅有一个负根，求m 的取值范围

4. 若关于x 的方程kx 2-(2k+1)x-3=0在(-1,1)和(1,3)内各有一个实根，求k 的取值范围 5. 已知集合A={x|x2+(2-a)x+1=0}，若A ⊆R +，求a 的取值范围 6. 已知A={x| x2+2x+2-p=0}，且A ∩R +=φ，求p 的取值范围 7. 已知x 2+2(m+3)x+2m+14=0有两实根，且都在[1,3]外，求m 范围 8. 若方程2ax 2 -x-1=0在(0,1)内恰好有一个实根，求a 的范围 9. 方程ax 2 -2(a+1)x+a-1=0，是否存在实数a 使它的两根都大于1

10. 若二次函数y=-x 2+mx-1的图像与两端点为A(0,3),B(3,0)的线段AB 有两个不同的交点，求m 的范围

11. 已知f(x)=mx2+(m-3)x+1的图像的零点至少一个在原点右侧，求m 的取值范围