(论文)一题多解 开阔思路
一题多解 开阔思路
江苏省新海高级中学222006 林凤岭 电话 [1**********]
学习数学离不开解题, 解题时要善于从多角度审视和分析问题, 不断开发解题潜能, 抓住契机, 促成转化, 沟通知识间的联系, 进而提高分析问题和解决问题的能力.
题目: (2011年江苏常州 无锡 苏州 镇江四市五月高三联考调研) 已知m , n ∈R 且n +2m =2则n 2n +m 22m +1的最小值为这是14道填空题的最后一题, 是个难题, 试后与同学们交流发现, 很多同学找不到条件, 上不了手, 原因是对题目隐含的条件无法挖掘, 也不会挖掘, 更不知怎么挖掘.
1模式识别 以退为进
分析:从形式看本题是一个有条件用基本不等式求最小值的问题, 但由于有系数n , 2m . 与平时涉及到的模式又有不同, 不妨退回到求2+2
处理系数.
解法一 :由于2+2≥n 2m n 2m 的最小值, 得4, 然后在结合条件全力4当仅当n =2m 时, 等号成立, 又
n 2n +m 22m +1-4≥n 2n +2m 22m -2n -22m
=(n -1)2+(2m -1)2n 2m =(n -1)2+(1-n )2n 2m =(n -1)(2-2) n 2m
当n ≥1时, n +2m =2, ∴2m ≤1, ∴n ≥2m ∴2n ≥22m ∴(n -1)(2n -22m ) ≥0当n1 同理有(n-1)(2-2)>0
所以 n 2+m 2n 2m +1n 2m 的最小值为4.
2函数出山 无坚不摧
分析:从待求式的结构上看n 2与2m 2n 2m 是完全一样的, 启发我们能否从函数方面入手f (x ) =x 2x , f (n ) =n 2n f (2m ) =f (2-n ) =(2-n )22-n
令g (x ) =f (x ) +f (2-x ) 则g (x ) =g (2-x ) 发现它是关于x =1对称, 问题迎韧而解.
x 解法二: 令f (x ) =x 2, g (x ) =f (x ) +f (2-x ) 则g (2-x ) =f (x ) +f (2-x ) g (x ) 是
关于x =1对称.
g (x ) =2+x ⋅2ln 2-2' x x 2-x -(2-x )22-x 4x -4x (4x +4) -8ln 2=+ 2x 2x
' 当x ≥1时, g (x ) ≥0, g (x ) 在[1, +∞)是单调递增的
所以x =1时 g (x ) 的最小值为g (1)=4从而n 2+m 2
3牵手对偶 和谐美丽 n 2m +1的最小值为4.
分析: 从待求式n 2n +2m 22m 的整体结构上看系数n , 2m 不便解题, 且它们的和为2 考虑待求式A =n 2n +2m 22m 的对偶式B =2m 2n +n 22m
解法三:设A =n 2n +2m 22m , B =2m 2n +
n 22m 则A +B =(n +2m )(2n +22m ) ≥2⋅=8
A -B =n (2n -22m ) +2m (22m -2n ) =(n -2m )(2n -22m )
=(2n -2)(2n -22-n ) =(2n -2)(4n -4
2n )
由于n -1与4n -4同号, 所以A ≥B 从而2A ≥A +B 即A ≥4当仅当n =2m 时, 等号成立
4巧令妙设 出奇制胜
分析: 系数n , 2m 是解题的最大障碍, 就从研究它们的大小入手, 不妨令n ≤2m 则2n ≤22m
待求式n 2n +m 22m 2实际是数n , 2m , 2n ,22m 的一个积, 观察 (n +2m )(2n +22m ),(n -2m )(2n -22m ) , (n -2m )(2n +22m ) (n +2m )(2n -22m ) 发现(n -2m )(2n -22m ) ≥0从而问题得以解决.
解法四:不妨令n ≤2m 则2n ≤22m 则(n -2m )(2n -22m ) ≥0即n 2n +2m 22m ≥2m 2n +n 22m 2(n 2n +2m 22m ≥) m 2n 2+n 2m 2+n n 2+m 22m 2=n +(m 2n ) +(22m =2) n +22(2m n 2n +m 22m +1≥4. 当仅当n =2m 时, 等号成立
从某种意义上说, 解数学题是一个从题目所列项目中不断地挖掘并利用其中的条件进行推理和运算的过程, 一道题, 如果由题目中明显给定的条件解决不了, 而适用的隐含条件一时又难以找到, 这就构成了所谓“难题”。问题的难度一般都与获得适合问题解决的隐含信息的艰难程度成正比.
有兴趣的同学可尝试(2010届江苏盐城高三第二次调研) 设二次函数f (x ) =ax 2-4x +c 的值域为[0, +∞), 则u =a c
c 2+4+a 2+4的最小值为 答案 1
2
≥ 2⨯) 24