球面平均法和泊松公式
§7.2 球面平均法和泊松公式
一 本节主要思想
(1)对三维波动方程的初值问题,先假设已知空间某一点M (x , y , z ) 的振动u (x , y , z , t ) ,然后以M 点为发射子波的波源,根据球面波的对称性,可根据加权平均的思想来考察球面S r M 的平均振动u (r , t ) ,从而将问题归结为两个自变量的一维波动方程,最后采用极限的思想,令r =0,即可得到M 点的振动u (x , y , z , t ) .
(2)对二维波动方程的初值问题,采用将其上升到三维空间的思想,根据已有的三维波动方程的泊松公式,获得此问题的三维解,再采用降维法,最终获得二维解.
二 三维波动方程的初值问题,泊松公式
1三维波动方程初值问题解的泊松公式
考察三维波动方程的初值问题:
2⎧⎪u tt =a ∆u ⎨⎪⎩u t =0=ϕ(x , y , z ), u t t =0=ψ(x , y , z ) t >0, -∞
以S r M 表示以点M (x , y , z ) 为心,半径为r 的球面,以d ω表示S 1的面元,则S r 的面元dS =r 2d ω.
注:⎨⎧d ω=sin θd θd ϕ
2⎩dS =r sin θd θd ϕ⇒dS =r 2d ω
下面用加权平均的思想(即球面平均法)求函数u (x , y , z , t ) 在球面S r M 上的平均值u (r , t ) :
u (r , t ) =1
4πr 2⎰⎰M s r u (ξ, η, ζ, t ) dS (3)
(ξ, η, ζ) ∈S r M , ξ=x +r α1, η=y +r α2, ζ=z +r α3,(4)
α1=sin θcos ϕ, α2=sin θsin ϕ, α3=cos θ.(5)
注:(4)、(5)实际上是球的参数方程的表达式
(3)式也可写成
u (r , t ) =
214π⎰⎰M s r u (x +r α1, y +r α2, z +r α3, t ) d ω, 2注:由于dS =r sin θd θd ϕ=r d ω不含dr , 故可将
由此可知u 12放入积分号中r ,与正好约掉. 2r r =0=u (x , y , z , t ) ,所以,为了求u 可以先求u 下面就来讨论如何求u :
注意到r =
∂u ∂u ∂r ∂u x -ξ== ∂x ∂r ∂x ∂r r
∂2u r 2-(x -ξ) 2∂u (x -ξ) 2∂2u =+. 2322∂x r ∂r r ∂r
∂2u ∂2u 同理,可求出2和2,将他们相加,得到 ∂y ∂z
2∂u ∂2u 1∂2
+=(ru ) . ∆u = r ∂r ∂r 2r ∂r 2
注: ∂∂u (ru ) =r +u ∂r ∂r
∂2∂∂u ∂u ∂2u (ru ) =(r +u ) =2+r 2 ∂r 2∂r ∂r ∂r ∂r
1∂22∂u ∂2u 2(ru ) =+r ∂r r ∂r ∂r 2
将方程(1)两端取球面平均,即得
a 2∂2
(ru ) u tt =a ∆u =r ∂r 22
等式两边同乘以r 得
∂2∂(ru ) -a (ru ) =0 (6) ∂t 2∂r 2
∂2
注:r 与时间t 无关,所以可将r 放入算子2中 ∂t
这是关于ru 的一维波动方程,其通解为
ru =f 1(r -at ) +f 2(r +at ) (7)
令r =0,得
0=f 1(-at ) +f 2(at )
从而知f 1(α) =-f 2(-α) ,故有
ru =f 1(r +at ) -f 2(at -r ) (8)
注:① α的取值范围应是(-∞,0)
② 我们所关心的是r -a t
r -at >0,表明振动还未传至所考察的球面,这样就无法考察M 点的振动. 为求u r =0,将上式对r 求导,得
∂∂u (ru ) =u +r =f 2' (r +at ) +f 2' (at -r ) (9) ∂r ∂r
令r =0,即得
u (x , y , z , t ) =u r =0=2f ' 2(at ) . (10)
所以,为求u ,只需求f 2' .为此将(8)式再对t 求导,得
∂' ' (ru ) =a ⎡f (r +at ) -f (at -r ) ⎤22⎣⎦. (11) ∂r
由(9)、(11)两式得
∂1∂' (r u ) +(r u =) 2(r a t ). (12) 2f +∂r a ∂t
在上式中令t =0,并注意到(3)式和初始条件(2)式,即得
1∂⎡∂⎤2f 2' (r ) =⎢ru (+) ru (⎥) a ∂t ⎣∂r ⎦t =0
1⎡∂u 1∂u ⎤dS +dS ⎥ =M M ⎰⎰⎰⎰⎢S S r r 4π⎣∂r r a ∂t r ⎦t =0
ϕ1∂ψ⎤⎡∂dS +dS ⎥.⎰⎰⎰⎰⎢S r M r S r M r ∂r a ∂t ⎣⎦
注意到(10)式,在上式中令r =at ,即得三维波动方程初值问题(1)、(2)的解为 =14π
) u (x , y , z , t =1
4πϕ(ξη, ζ, ) ψξ(ηζ, , ⎤) ⎡∂ (13) dS +dS .M M ⎰⎰⎰⎰⎢⎥S S r at at ⎣∂t r ⎦
(13)式称为泊松公式.