微积分在解方程和不等式中的应用

第２２卷第３期

Ｖ０１．２２

Ｎｏ．３

重庆工学院学报（自然科学）

ＪｏｕｒｎａｌｏｆＣｈｏｎｇｑｉｎｇＩｎｓｔｉｔｕｔｅｏｆ

２００８年３月

Ｍａｒ．２００８

Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅ）

微积分在解方程和不等式中的应用。

许维珍

（福建交通职业技术学院基础部，福州３５０００７）

摘要：应用微积分讨论了一些方程和不等式的解法和证明，进一步揭示了微积分作为１种实用性很强的数学方法和工具，在求解方程和不等式中的重要作用．关键词：微积分；方程；不等式；应用中图分类号：０１７２

文献标识码：Ａ

文章编号：１６７１—０９２４（２００８）０３—０１５３—０３

ＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｏｆＣａｌｃｕｌｕｓｉｎＳｏｌｖｉｎｇＥｑｕａｔｉｏｎａｎｄＮｏｎｅｑｕａｌｉｔｙ

ｘＵＷｂｉ．ｚｈｅｎ

ｆｆｕｊｍ

ＣｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｓＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙＣｏｌｌｅｇｅ，Ｆｕｚｈｏｕ

３５００ｌＴ／，Ｃｈｉｎａ）

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｉｓｐａｐｅｒｄｉｓｃｕｓｓｅｓｈｏｗｔｏａｐｐｌｙｃａｌｃｕｌｕｓｔｏｓｏｌｖｅａｎｄｃｅｒｔｉｆｙｓｏｍｅｏｆｔｈｅｅｑｕａｔｉｏｎｓａｎｄｉｎ・ｅｑｕａｌｉｔｉｅｓ，ａｎｄｆｕｌｌｅｒｒｅｖｅａｌｓｔｈｅ

ｏｎｅ

ｍａｊｏｒｒｏｌｅｓｔｈａｔｃａｌｃｕｌｕｓｐｌａｙｓｉｎｓｏｌｖｉｎｇｅｑｕａｔｉｏｎｓａｎｄｉｎｅｑｕａｌｉｔｉｅｓ

ａｓ

ｏｆｔｈｅｓｔｒｏｎｇｌｙｐｒａｃｔｉｃａｌｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｍｅｔｈｏｄｓ．

Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｃａｌｃｕｌｕｓ；ｅｑｕａｔｉｏｎ；ｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ；ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ

方程与不等式是数学研究的２个基本问题，是属于中等数学的重要内容，对于较复杂的方程和不等式，用一般的解方程和不等式的方法往往需要很多技巧．微积分是高等数学的重要组成部分，是１种实用性很强的数学方法和工具，在自然科学与工程技术上都有着广泛的应用，用它来解这类方程和不等式就可以使解题思路变得简单［１．４｜．下面就通过实例分析微积分在解方程和不等式中的应用．

（０，１）内只有１个实根，并求出它的近似值，使误差不超过０．０１．

本题首先要用到函数的零点存在定理和函数的单调性证明，接着用切线法求出近似值．

解：设厂（戈）＝戈３—３ｘ２＋６ｘ一１，贝０

厂７（ｚ）＝３ｘ２—６ｘ十６

厂”（戈）＝６ｘ一６

容易验证在区间（０，１）上，，’（名）＞０，

，”（戈）＜０，厂（ｏ）＝一ｌ，∥１）＝３

因为．厂（茹）在（０，１）内连续，且是单调递增，两

１导数在解方程中的应用

例１【１】试证明方程髫３—３ｘ２＋６ｚ一１：０在

端点处的函数值异号，所以此方程在（Ｏ，１）内只有１个实根．

可以看出在（０，１）内，曲线是单调递增、下凹

・收稿日期：２００７一１１—２５

作者简介：许维珍（１９６３一），女，福建闽清人，讲师，主要从事高等数学研究

１５４

重庆工学院学报

并从菇轴的下方穿过石轴到上方的，曲线与髫轴交点的横坐标菇。就是方程在（０，１）内的根，现在用切线法求根的近似值．

ｃ备３＋…＋ｃ≯对等式两边求导得：

乃（１＋髫）“一１＝ｃ：＋２ｃ５＋３ｃ岳２＋…＋ｎｃ缸４—１令ｘ＝１即得：ｃ：＋２Ｃ２＋３Ｃ３＋…＋ｎＣ：＝

ｎ２“一１．

在端点Ａ（ｏ，．厂（口））处作切线来求方程的近

似实根，现在口＝ｏ，所以ｚ’．＝ｏ一≠等苦＝吉它比

口＝０更接近于根ＸＯ，继续施行这样的方法，得：

２微积分在不等式证明中的应用

‘止：丢一掉…。∥２可一确枷・１８．

‘石７，＝ｏ．・８一≠专％｝等蓉｝一ｏ．－８

因为∥０．１８）＜０，而∥０．１９）＞ｏ，所以取ｏ：１８

例２１２］

已知方程ｓｉｎ菇＋ｃ０６２茗一口＝０有实

用微积分证明不等式成立，基本思路是构造一个辅助函数，然后利用微积分求出该函数的性质来证明不等式．．

例４［３】

设石≥一１，ｙ≤１，证明：

ａｒｃｓｉｎｘ—ａｒｃｓｉｎｙ

ｌ≥Ｉ舅一ＹＩ．

本题可用拉格朗日中值定理证出．

证明设／（ｆ）＝ａｒｃｓｉｎｔ它在【一１，１】上连续

且可导，ｆ’（Ｓ）＝了＝１亏根据拉格朗日中值定理

￣／１一∈。

可得：ａｒｃｓｍ。ｘ－ａｒｃｓｌｎｙ＝—声１＝ｉ因为一１＜￡＜ｌ，

髫一Ｙ、／１一ｅ２

所以—万亏１√１一专ｚ

菇∈Ｒ于是有：忑ｄａ＝一２ｃ嘴ｚｓｉｎｚ＋ｃ∞石，令警＝０，

ａ茹

ａＺ

≥１，因此Ｉ

ａｒｃｓｉｎｘ—ａｒｃｓｉｎｙ

Ｉ≥

Ｉ石一ｙ

例５求证：ｔａｎ菇＞茗一萼，戈∈（ｏ，号）．

本题可用连续函数的单调性证明

名＝ｋｎ＋号或石＝２ｋ兀＋号±号，ｋＥＺ

显然连续函数口＝，（菇），（ｘＥＲ）存在最大值、最小值，且只可能在驻点处取得，又

证明设八ｚ）＝ｔａＩｌ茗一茗＋了Ｘ３，其定义域为：

“Ｊ｜｝丌＋号）＝０２＋－＝，，Ｊ（２ｋ兀＋詈±号）＝

石≠后丌＋号，在（ｏ，号）内，厂（石）＝ｓｅｃ２茗一１＋茗２＞

０函数连续且单调递增，所以，（石）＞／（Ｏ）＝０即

互３

（譬）２＋丢毒

故得函数的最大值为号，最小值为ｌ，即口的取值范围为ｌ≤口≤｛．

例３

ｎ２４＿。．

ｔａｎ并＞并一了‘

例６求证：当茗≥ｏ时，舰”１一（ｎ一１）矿一

１≤０（ｎ＞ｌ，ｎＥＮ）．

本题应用函数的极值、最值来证明．证明令厂（舅）＝，抗“一１一（凡一１）菇ｎ一１贝Ⅱｆ’（戈）＝ｎ（ｎ一１）髫“一２一ｎ（，ｌ一１）菇“一１＝

甩（厅一１）并ｎ一２（１一髫）．

求证：ｃ：＋２ｃ：＋３ｃ：＋…＋ｎＣ：＝

本题不能用求和公式证明，但可以用二项式定理求导得证．．

证明

令厂’（互ｊ＝０得驻点：算＝ｌ（茗＝０因为是端

点，所以不是驻点）．

因为（１＋戈）“＝ｃ２＋ｃ０＋ｃ缸２＋

许维珍：微积分在解方程和不等式中的应用

１５５

且当算＜１时ｆ’（髫）＞０，当戈＞１时ｆ’（茗）＜

本题是应用定积分的性质证明．０，八１）ｍ－－．０是极大值也是最大值，所以∥菇）≤证明

因为ＩｓｉｎｔＩ≥ｏ且ｎ耳≤并＜（ｎ＋１）７ｃ，

∥１）＝０，即当并≥ｏ时，础”１一（ｎ—１）矿一１≤ｏ．

所以ｒ所以１．Ｉ”ｓｉｎｔ

Ｄｒ＜）菇八≤Ｉｄｔ≤“菇）＜Ｉ

ｓｉｎｔ

ｄｔ

・例７［２】

求证：若Ｐ＞１，０≤茗≤１，则有

又因为ＩｓｉｎｔＩ是以７ｃ为周期的函数，在每个周

高≤矿＋（１一菇）９≤１．

ｒ朋ｒ

ｒ靠

期是积分值相等，所以Ｉ

ｓｉｎｔ

ｏ

０

ｄｔ＝凡Ｉ

ｓｉｎｔｄｔ＝

Ｊ

０

本题应用函数的凹凸性质来证明．ｒ（ｎ＋１）Ⅱ

ｒⅡ

证明

设ｆ（ｔ）＝矿则ｆ’（ｔ）＝矿～，

２ｎＩ

ｓｉｎｔ

ｄｔ

＝

ｓｉｎｔｄｔ

＝

Ｊ

（，Ｉ＋・１）Ｉ

０

Ｊ０

ｆ”（￡）＝ｐ（Ｐ一１）矿～．

２（凡＋１）．即２，ｌ≤．厂（并）＜２（ｎ＋１）．．

当ｔ＞０时，因为Ｐ＞１，所以ｆ”（ｚ）＞０，函数

综上所述，微积分在求解较复杂的方程和不∥ｔ）＝矿为凹函数，于是对于任何的石１，ｚ２＞０，都

等式时，确实起着重要的作用．在教学中应用微积有吉【以菇ｔ）＋以石ｚ）】≥／（ＴＸｌ＋戈２），现在令髫。＝

分法解决中等数学的问题，不仅能使问题变得简单易解，还能加深学生对微积分知识的理解．

算．Ｘ２

就可得：笙半≥［生学】ｐ，即

２

１一菇．

参考文献：

矿＋（Ｉ一算）９≥而１．

［１］同济大学数学教研室．高等数学：上册［Ｍ］．上海：上又因曲线Ｆ（石）＝矿＋（１一戈）Ｐ在（０，１）内也海人民教育出版社，１９７９．

是凹的，故其在区间［０，１】上的最大值必在端点上

［２］盛光进．应用函数的微积分求解方程与不等式问题

取得，而八Ｏ）＝“１）＝１所以矿＋（１一ｘ）Ｐ≤１．

［Ｊ］．怀化师专学报，２００＇２（４）：８９—９２．这样当Ｐ＞１，０≤菇≤１，就有击≤

［３］

罗幼芝．微积分在不等式中的应用［Ｊ］．泰山学院学报，２００４（１１）．２１—２２．

扩＋（１一ｘ）Ｐ≤１．

［４］于频．对称性在微积分应用中的数学归纳［Ｊ］．重庆

例８

已知∥誓）＝ｅ

ｓｉｎ￡Ｉｄｔ，当‘ｎ为正整

工学院学报，２００３，１７（５）：４９—５２．

数，且ｎ丁ｃ≤菇＜（，ｌ＋１）７ｃ时，求证：２ｎ≤，（石）＜

２（，ｌ＋１）．

（责任编辑刘舸）

微积分在解方程和不等式中的应用

作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：

许维珍， XU Wei-zhen

福建交通职业技术学院基础部,福州,350007重庆工学院学报（自然科学版）

JOURNAL OF CHONGQING INSTITUTE OF TECHNOLOGY2008，22(3)0次

参考文献(4条)

1.同济大学数学教研室 高等数学:上册 1979

2.盛光进 应用函数的微积分求解方程与不等式问题[期刊论文]-怀化师专学报 2002(04)3.罗幼芝 微积分在不等式中的应用[期刊论文]-泰山学院学报 2004(11)4.于频 对称性在微积分应用中的数学归纳[期刊论文]-重庆工学院学报 2003(05)

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第一类问题，考虑分数阶常微分方程数值方法及其应用，由第二章至第四章组成。

第二章中，我们讨论分数阶松弛—震荡方程。我们证明分数阶松弛-震荡方程解的存在唯一性；推导出分数阶松弛—震荡方程的解析解：提出一种计算有效的分数阶预估—校正方法解分数阶松弛—震荡方程，并给出该方法详细误差分析；最后列举一些数值例子来验证理论结果，并显示分数阶松弛—震荡方程解的性态。

第三章中，我们考虑分数阶的反馈控制系统。多项的分数阶常微分方程转换为分数阶常微分方程组。利用分数阶预估—校正方法数值模拟分数阶控制系统，并给出了分数阶常微分方程组数值解法的一些误差分析。最后给出一些数值例子。

第四章中，我们进一步考虑实际物理现象模型中的应用。考虑四种类型的混沌模型：分数阶混沌震荡模型、混沌冲击(jerk)模型、Chen分数阶模型和状态反馈控制。利用计算有效的分数阶预估—校正方法数值模拟这四种类型的混沌模型。数值结果证明分数阶预估—校正方法的模拟情况完全符合混沌物理现象。

第二类问题，考虑修正反常次扩散问题，由第五章和第六章组成。

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