科学和工程计算复习题及答案

科学和工程计算基础复习题

一、 填空题:

1.

:2. 计算机计费的主要依据有两项:一是使用

要由

算数运算的次数决定; 二是占据存储器的空间, 3. 用计算机进行数值计算时, 4.

5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 敛的充分必要条件是选代矩阵B 的 谱半径ρ(B )

(n +1)

(x )在开区间(a , b )上存在. 若

{x }

n

i i =0

为[a , b ]上的n +1个互异插值节点, 并记ωn +1(x )=

n

∏(x -x ), 则插值多项式

i

i =0

n

f (n +1) (ξx ) ωn +1(x )的余项为R n (x ) =f (x ) -L n (x ) =ωn +1(x ) L n (x )=∑f (x k )

'+1x k (n +1)! x -x k ωn k =0

其中ξx =ξ(x ) ∈(a , b ) .

13. 若函数组

⎧

满足(ϕ, ϕ) {ϕk (x )}n []⊂C a , b k l ⎨k =0

=0, k ≠l

, 则称

≠0, k =l ⎩

为正交函数序列. {ϕk (x )}n

k =014. 复化梯形求积公式

⎰

b

a

n -1

h ⎡⎤

f (x ) dx ≈T n (f ) =⎢f (a ) +2∑f (a +kh ) +f (b ) ⎥2⎣k =1⎦

其余项为R T

n

(b -a ) h 2

=-f ''(η), η∈(a , b )

12

二、 选择题

1. 下述哪个条件不是能使高斯消去法顺利实现求解线性代数方程组Ax =b , A =a ij

充分条件? ( D )

A. 矩阵A 的各阶顺序主子式均不为零; B. A 对称正定;

C. A 严格对角占优; D. A 的行列式不为零.

2. 高斯消去法的计算量是以下述哪个数量级的渐近速度增长的? ( B ) A.

()

n ⨯n

的

13213n ; B. n 3; C. n 3; D. n 3. 3344

3. 对于任意的初始向是x

(0)

和右端项f , 求解线性代数方程组的迭代法x (

k +1)

k

=Bx ()+f 收

敛的充分必要条件是( A ). A.

ρ(B )

4. 下述哪个条件不是能使求解线性代数方程组Ax =b , A =a ij

()

n ⨯n

的Gauss-Seidel 迭代法收

敛的充分条件? ( C )

A. A 为严格对角占优阵; B. A 为不可约弱对角占优阵; C. A 的行列式不为零; D. A 为对称正定阵.

5. 设

过点

(a , 6. 设ϕ1), 则

ϕn ( A. 7. A. C. 8. A. m

m

C. 权数{w i }i =0; D. 离散点的函数值{y i }i =0. 9. Simpson求积公式的余项是( B ).

h 3h 5(4)

f ''(η), η∈(a , b ); B. R (f )=-f (η), η∈(a , b ); A. R (f )=-1290h 4(b -a )(4)h 2(b -a )

C. R (f )=-f (η), η∈(a , b ) f ''(η), η∈(a , b ); D. R (f )=-

9012

10. n 个互异节点的Gauss 型求积公式具有( D ) 次代数精确度.

A. n ; B. n +1; C. 2n +1; D. 2n -1.

11. 一阶导数的数值计算公式中, 中心差商公式的精度为( B ).

3222

A. O (h ); B. O h ; C. o h ; D. O h .

()()()

12. 对于用插值法建立的数值求导公式, 通常导数值的精确度比用插值公式求得的函数值的

精度( B ).

A. 高; B, 低; C. 相同; D. 不可比.

13. 在常微分方程初值问题的数值解法中, 梯形公式是显式Euler 公式和隐式Euler 公式的

( A ).

A. 算术平均; B. 几何平均; C. 非等权平均; D. 和. 14. 当( B ) 时, 求解y '=λy , (λ

15. A C.

16. 在代法

x k +( 17. 18. 19. A.

x k -x k -11+x k

x k -x k -1

x k

x k -x k -11+x k -1

20. 在求解非线性方程组时, 加进阻尼项的目的, 是使线性方程组的( C ).

A. 系数矩阵非奇异; B. 系数矩阵的行列式不等于零; C. 系数矩阵非奇异并良态; D. 系数矩阵可逆.

三、 判断题

1. 在用计算机求数学问题的数值解就是构造算法的构造问题.( × )

2. 用计算机进行数值计算时, 所有的函数都必须转化成算术运算; 在作加减法时, 应避免接

近的两个数相减; 在所乘除法时, 计算结果的精度不会比原始数据的高.( √ ) 3. 用计算机作加减法时, 交换律和结合律成立.( × ) 4. 单调减且有下界的数列一定存在极限。(√ ) 5. 设B ∈R 6. 若A ∈R

n ⨯n

, 则lim B =0的充要条件是B 的谱半径ρ(B )

k

k →∞

n ⨯n

, 则一定有A

2

=ρ(B ).( × )

7. 求解线性代数方程组, 当n 很大时,Cholesky 分解法的计算量比Gauss 消去法大约减少了

一半. (√ )

8. 在用迭代法求解线性代数方程组时, 若Jacobi 迭代矩阵为非负矩阵, 则Jacobi 方法和

Gauss-Seidel 方法同时收敛, 或同时不收敛; 若同时收敛, 则方法比Jacobi 方法收敛快. (√ ) 9. 均差(或差商) 与点列x i , f (x i )10. 11. 12. 13.

{}

n

i =0

的次序有关. (× )

线性最小二乘法问题的解与所选基函数有关. (× 复化梯形求积公式是2阶收敛的, 复化Simpson 4√Gauss 求积系数都是正的. (√ )

在常微分方程初值问题的数值解法中, Euler 公式的算术平均, 而Euler 公式和隐式, . (× )

14. 在Runge-Kutta 法中, . (√) 15. 求解y '=λy , (λ

稳定性好. (√ )

17. . (√)

18. , 最有效的是Steffensen 迭代法和Newton 迭代法. 前者不

, ; 后者需要求导数, 但可直接推广到多元方程组. (√ 19. 常微分方程边值问题的差分法, 就是将解空间和微分算子离散化、组成满足边值条件的

差分方程组, 求解此方程组, 得到边值问题在节点上函数的近似值. (√ )

20. 在求解非线性方程组时, 在一定条件下映内性可保证不动点存在, 因而也能保证唯一性.

(× )

四、 线性代数方程组的数值解法

1. 用高斯消去法求解方程组

Ax =b ，即

⎡211⎤⎡x 1⎤⎡4⎤⎢132⎥⎢x ⎥=⎢6⎥⎢⎥⎢2⎥⎢⎥ ⎢⎣122⎥⎦⎢⎣x 3⎥⎦⎢⎣5⎥⎦

（1） 列出用增广矩阵

[A , b ]表示的计算过程及解向量x ；

A =LU 中的三角阵L 和U ；

（2） 列出由此得到的Doolittle 三角分解（3） 由

3

⨯=3

U 计算det A 。det A =2⨯5⎡

⎢7⎢⎢0⎢⎢0⎢⎣

第二次消元：消元因子l 32=

⎤

1-13⎥26161⎥

⎥

777⎥82017⎥777⎥⎦

4

，进行消元，得 13

⎡

⎢71⎢260⎢

7⎢

⎢00⎢⎣

217319

=回代得x 3=，x 2=-，x 1

1962814

易知

⎤

-13⎥161⎥

⎥

77⎥196217⎥9191⎥⎦19= 28

⎤-1⎥⎡⎤⎡

⎢1⎢700⎥1

⎢⎣2342⎥⎦

第一次消元：消元因子l 21=2, l 31=2，进行消元，得

31⎤⎡13

⎢0-5-50⎥ ⎢⎥⎢⎣0-3-20⎥⎦

第二次消元：消元因子l 32=

3

，进行消元，得 5

31⎤⎡13

⎢0-5-50⎥ ⎢⎥⎢10⎥⎣00⎦

回代得x 3=0，x 2=0，x 1=1 易知

⎡⎢1L =⎢2

⎢⎢2⎤

3⎤00⎥

⎡13

⎢⎥

10⎥，U =⎢0-5-5⎥ 3⎥⎢1⎥1⎥⎣00⎦ ⎡

⎢2-1⎢110⎢

2⎢

⎢0-1⎢2⎣

第二次消元：消元因子l 32=-

-1

1-2112

⎤4⎥⎥5⎥ ⎥5⎥⎥⎦

1

，进行消元，得 11

⎡

⎢2-1-1⎢1110-⎢

22⎢

⎢0060⎢11⎣

回代得x 3=1，x 2=1，x 1=3 易知

⎤

4⎥⎥5⎥ ⎥60⎥⎥11⎦

⎡

⎢1⎤⎡⎤

⎢2-1-1⎥00⎥

42⎤⎡123

⎢1491610⎥

⎥ 解：方程组增广矩阵⎢

⎢18276444⎥⎢⎥[1**********]⎣⎦

第一次消元：消元因子l 21=1, l 31=1, l 41=1，进行消元，得

42⎤⎡123

⎢02612⎥8⎢⎥ ⎢06246042⎥⎢⎥[1**********]⎣⎦

第二次消元：消元因子l 32=3，l 42=7，进行消元，得

⎡1⎢0⎢⎢0⎢⎣02342⎤26128⎥⎥ 062418⎥

⎥

036168132⎦

第三次消元：消元因子l 43=6，进行消元，得

⎡1⎢0⎢⎢0⎢⎣0

2200

342⎤61262418⎥

2424⎦

回代得x 4=1，x 3=-1，x 2=11=-1 易知

⎡⎢1L =⎢

⎢1⎢⎣1

det A =⨯⨯24

716

⎢020⎥⎥， U =⎢⎢000⎥

⎥⎢1⎦⎣0034⎤

612⎥⎥ 624⎥

⎥024⎦

6. Ax =b ，即

1⎤⎡x 1⎤⎡21⎤⎢x ⎥⎢52⎥4⎥⎥⎢2⎥=⎢⎥8⎥⎢x 3⎥⎢79⎥ ⎥⎢⎥⎢⎥6⎦⎢⎣x 4⎥⎦⎣82⎦

⎡24

⎢286⎢

⎢3108⎢

⎣41210

（1） 列出用增广矩阵

[A , b ]表示的计算过程及解向量x ；

A =LU 中的三角阵L 和U ；

（2） 列出由此得到的Doolittle 三角分解（3） 由

U 计算det A 。

⎡124⎢286

解：方程组增广矩阵⎢

⎢3108⎢

⎣41210

1486

21⎤52⎥⎥ 79⎥⎥82⎦

第一次消元：消元因子l 21=2, l 31=3, l 41=4，进行消元，得

⎡1⎢0⎢⎢0⎢⎣024121⎤4-2210⎥⎥ 4-4516⎥

⎥

4-62-2⎦

第二次消元：消元因子l 32=1，l 42=1，进行消元，得

⎡1⎢0⎢⎢0⎢⎣024121⎤4-220-236⎥

0-0-12⎦

第三次消元：消元因子l 43=2

⎢000221422⎥ -236⎥

⎥

00-6-24⎦

回代得3=x 2=2，x 1=1 易知

L =⎢⎢⎣4

01110012

0⎤1⎤⎡124

⎢04-22⎥0⎥⎥， U =⎢⎥ ⎢00-23⎥0⎥

⎥⎢⎥1⎦⎣000-6⎦

det A =1⨯4⨯-2⨯-6=48

7.

用追赶法求解三对角方程组A x =f , 其中

⎡4-10⎤

⎥, A =⎢-14-1⎢⎥

⎢⎣0-14⎥⎦

⎡1⎤

⎢⎥f =⎢1⎥

⎢⎣1⎥⎦

解：d 1=c 1=-1，d 2=c 2=-1，u 1=b 1=4，l 2=

a 2

115=-，u 2=b 2-l 2c 1=， 144

l 3=

a 3

2

=-

456

，u 3=b 3-l 3c 2=，得 1515

⎤⎡⎤

⎢4-10⎥00⎥

⎥⎢15⎥10⎥，U =⎢0-1⎥

4⎥⎢⎥

456⎢00⎥-1⎥

⎢15⎥15⎥⎦⎣⎦

54

解得y =1

，y =，y =，

⎡⎢1⎢1L =⎢-

⎢4⎢0⎢⎣

解得y 1=1，y 2=3. 25，y 3=2. 8668， 得x 3=0. 7679，x 2=1. 0714，x 1=0. 5179

Page77 例3.3.1

9.

用追赶法求解三对角方程组A x =f , 其中

⎛2-1⎫⎛6⎫ ⎪ ⎪-13-21⎪ ⎪ A =, f = ⎪ -2⎪ -24-3 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-35⎭⎝⎝1⎭

解：d 1=c 1=-1，d 2=c 2=-2，d 3=c 3=-3，u 1=b 1=2，l 2=

1

=-， 12

54125a

u 2=b 2-l 2c 1=，l 3=3=-，u 3=b 3-l 3c 2=，l 4=a 4=-

232554

5

u =b -l c =得

a 2

并求2

2. 已知f (1)=0, f (-1)=-3, f (2)=4, 求函数f (x )过这三点的二项Lagrange 插值

多项式L 2(x ). 解：这里n=2

(2) l 0(x ) =

(x +1)(x -2) 1

=-(x +1)(x -2)

(1+1)(1-2) 2(x -1)(x -2) 1

=(x -1)(x -2)

(-1-1)(-1-2) 6

l 1(2) (x ) =

(2) l 2(x ) =

(x -1)(x +1) 1

=(x -1)(x +1)

(2-1)(2+1) 3

5237x +x - 623

(2) (2)

L 2(x ) =0⨯l 0(x ) -3⨯l 1(2) (x ) +4⨯l 2(x ) =

3. 求不超过3次的多项式p 3(x )，使它满足插值条件：

p (-1)=-2, p (0)=-1, p (1)=0, p '(0)=0.

Page 121 例4.2.4

⎧⎪α⎪⎨⎪

⎪α⎩

由于p (2) =1，得a ==x (x -

2

2222，所以p (x ) =(3-2x ) x +(x -1) x +x (x -1) 44

1

4

2

39x +) 24

(1) 作函数f (x )的均差表;

(2) 用牛顿插值公式求三次插值多项式N 3(x ).

111

(x +2)(x -1) 2，α1(x ) =(2-x )(x +1) 2，β0(x ) =(x +1)(x -1) 2 44412

β1(x ) =(x -1)(x +1)

4

91

H (x ) =-(x +2)(x -1) 2+(2-x )(x +1) 2+

44151

(x +1)(x -1) 2-(x -1)(x +1) 2 44

计算得α0(x ) =

7. 己知函数

f (x )的三个点处的值为：

f (-1)=1, f (0)=0, f (1)=1

在区间[-1, 1]上, 求f (x )在自然边界条件下的三次样条插值多项式.

P129 例4.4.1

8. 已知

f (x )为定义在区间[0,3]上的函数, 且有

1.

f 解：h i μi

d 1d 0=

6

(f [x 0, x 1]-f '(x 0)) =6⨯(0. 5-0. 2) =1. 8 h 0

6

(f '(x n ) -f [x n -1, x n ])=6⨯(-1+0. 5) =-3 h 2

d 3=

利用固支条件，得矩阵

100⎫⎛M 0⎫⎛1. 8⎫⎛2

⎪ ⎪ ⎪

0. 520. 50⎪ M 1⎪ 3⎪ 00. 520. 5⎪ M ⎪= -6⎪ ⎪ 2⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎪012⎪⎝⎭⎝M 3⎭⎝-3⎭

用追赶法求解方程组：

a

d 1=c 1=1，d 2=c 2=0. 5，d 3=c 3=0. 5，u 1=b 1=2，l 2=2=0. 25，

1

u 2=b 2-l 2c 1=1. 75，l 3=

u =b -l c =

45得 a 3

2

=

2137a =

，u 3=b 3-l 3c 2=，l 4=4

31377

递推公式构造对应的正交多项式ϕ0(x ), ϕ1(x ), ϕ2(x ). 解：ϕ0(x ) =x =1，

(x ϕ0, ϕ0) m

=∑w i x i [ϕ0(x i )]2=2 ϕ1(x ) =x -a 0，a 0=

(ϕ0, ϕ0) i =0

于是ϕ1(x ) =x -2

ϕ1={ϕ1(x i )}=(-4, -3, -2, -1, 0) ，(ϕ1, ϕ1) =∑w i [ϕ1(x i )]2=22

4i =0

T

i =0

4

(x ϕ1, ϕ1) =∑w i x i [ϕ1(x i )]2=-24

i =0

4

a 1=

(ϕ, ϕ) 22(x ϕ1, ϕ1) 12

=-，b 1=11=

(ϕ0, ϕ0) 5(ϕ1, ϕ1) 11

12221222

) ϕ1(x ) -ϕ0(x ) =(x +)(x -2) -

115115

于是ϕ2(x ) =(x +

图形如下：

值

⎰(sin x -α-βx )

2

dx 最小.

解：最小二乘原理：Page146 定义4.6.1，对于连续函数的情况可以用函数范数代替向量范数。

令y =sin x ，ϕ(x ) =α+βx ，选择多项式子空间Φ的基函数为ϕ0(x ) =1, ϕ1(x ) =x , 权函数w (x ) =1。

⎡π

⎡(ϕ0, ϕ0) (ϕ1, ϕ0)⎤⎢⎰02dx

格兰姆矩阵G=⎢⎥=⎢π

(ϕ, ϕ) (ϕ, ϕ) 11⎦⎣01

⎢⎰2xdx ⎣0⎡π⎤2

⎛(y , ϕ0) ⎫⎢⎰0sin xdx ⎥⎡1⎤

右端向量d= ⎥=⎢1⎥ (y , ϕ) ⎪⎪=⎢π

1⎭⎝⎢⎰2x sin xdx ⎥⎣⎦

⎣0⎦

解正规方程组，得到α*=G -1d =⎢

⎤⎡π2

⎰0xdx ⎥=⎢2π⎥⎢π2

2⎢⎰02x dx ⎥⎦⎢⎣8

π

π2⎤

8⎥⎥

π3⎥24⎥⎦

⎡0. 1148⎤

⎥

2

3

解：题中有4个待定参数，至少要建立4个方程。按代数精确度，分别令f (x ) =1, x , x , x ，带入上式，有

f (x ) =1，A 0+A 1+A 2=2 11

A 0+x 1A 1+A 2=0 22112

f (x ) =x 2，A 0+x 12A 1+A 2=

443

f (x ) =x ，-

11

f (x ) =x 3，-A 0+x 13A 1+A 2=0

88

2

由第一式可知，A 0+A 2=2-A 1，代入第三式可得(12x 1-3) A 1=2， 24乘以第四式减去第二式得，(4x 1-1) x 1A 1=0，由题目和上面的结论知x 1≠±

1

，A 1≠02

得x 1=0，A 1=-于是得求积公式

24，A 0=A 2= 33

⎰

1

-1

f (x ) dx ≈

41241

f (-) -f (0) +f ()

32332

3，,

(3)

⎰f (x )dx ≈A f (0)+A f (1)+A f '(0)

1

2

1

解：P165 例5.2.1，本题有三个未知量，至少有2次代数精度，和例5.2.1类似。

3. 确定下列求积公式的待定参数, 使该求积公式的代数精确度尽量高, 指出其代数精

确度的次数, 并求出余项中的常数k .

(1)

⎰f (x )dx =A f (0)+A f (1)+A f '(1)+kf '''(ξ),

1

2

1

ξ∈(0,1)

解：余项为三阶导数，可知求积公式至少有2次代数精度

题中有3个待定参数，至少要建立3个方程。按代数精确度，分别令f (x ) =1, x , x 2，带入上式，有

f (x ) =1，A 0+A 1=1

1 21

f (x ) =x 2，A 1+2A 2=

3

1121121

解得

A =，A =，A =-，则有f (x ) dx ≈f (0) +f (1) -f '(1)

f (x ) =x ，A 1+A 2=

2

，1解得A 0=，A 1=，x 1=，则有⎰f (x ) dx ≈f (-1) +f ()

-1222233

43

令f (x ) =x ，分别代入求积公式的左右两边，左边=0，右边=，左边不等于右边，不能

9

使求积公式准确成立，所以该求积公式只有2次代数精度。 考虑余项，当f (x ) =x 时，代入求积公式，得0=

3

42

+6k ，k =-，所以余项为： 927

R (f ) =-

2

f '''(ξ) 27

分别用复化梯形公式和复化Simpson 公式计算解：h =0. 2，n =4

复化梯形公式：

⎰

2. 6

1. 8

f (x )dx 的近似值.

⎰

b

a

n -

1

h

f (x ) dx ≈T n (f ) =[f (a ) +2∑f (a +kh ) +f (b ) ]，

]

⎰

b

a

n -1

h

f (x ) dx ≈T n (f ) =[f (a ) +2∑f (a +kh ) +f (b ) ]，

2k =1

=1⨯[f (1) +2⨯f (3) +2⨯f (5) +2⨯f (7) +f (9)]≈17.228

h =2，n =2

复化Simpson 公式:

b

n -1n -1

h

f (x ) dx ≈S n (f ) =[f (a ) +4∑f (a +(2k +1) h ) +2∑f (a +2kh ) +f (b ) ]

3k =0k =1

⎰

a

=

2

⨯[f (1) +4⨯f (3) +4⨯f (7) +2⨯f (5) +f (9)]≈17.322 3

精确解：17.333，复化Simpson 精确度更高些。

************************************************************************** （2）（1）n=4,h=(3-2)/4=1

4

复化梯形公式：

) ]

解：作变量置换x =

⎰

⎰

4

8

f (x ) dx =⎰

2

-2

+t ，x ∈[a , b ]时，t ∈[-2, 2] 24

244

f (2+t ) dt =⎰g (t ) dt ≈[2g (-1) -g (0) +2g (1)]=[2f (1) -f (2) +2f (3)]

-233

2

4

44

f (x ) dx =⎰f (6+t ) dt =⎰g (t ) dt ≈[2g (-1) -g (0) +2g (1)]=[2f (5) -f (6) +2f (7)]

-2-233

2

则

⎰

80

f (x )dx =4[2f (1) -f (2) +2f (3) +2f (5) -f (6) +2f (7)]

3

7. 用两种不同的方法确定x 1, x 2, A 1, A 2，使下面公式为Gauss 求积公式:

⎰f (x )dx ≈A f (x )+A f (x )

1

1

2

2

1

解：（1）作变量置换x =

a +b b -a

+t ，x ∈[a , b ]时，t ∈[-1, 1]，则有 22

⎰

1

f (x ) dx =

11111⎡1111⎤

f (+t ) dt ≈f (-) +f (+) ⎥ ⎰⎢-12222⎣22322⎦

（2）题中有4个待定参数，至少要建立4个方程。按代数精确度，分别令f (x ) =1, x , x 2, x 3，

1. 取步长

h =0. 1，试用显式Euler 法求解初值问题：

2x ⎧'

⎪y =y -y , 0≤x ≤1⎨ ⎪y (0)=1. ⎩

并将计算解和精确解(要求求出) 比较.

解：原方程等价于y y '=y 2-2x 令y 2=u ，得u '=2u -4x ，解得u =ce 用初始条件，解得c =0，得u =2x +1，方程精确解为y (x ) =显式Euler 公式：y n +1=y n +hf (x n , y n ) ，计算结果见下表：

2x

+2x +1，利

2x +1

1. 对于方程

f (x )=3x 2-e x =0，选择适当的初始值，分别用牛顿法和割线

法求它的全部根。

牛顿迭代公式：x k +1=x k -

f (x k )

，k =0, 1, 2 f '(x k )

迭代终止准则采用

x k -x k +1

1+x k

迭代结果如下：x 1=-0.4590，x 2=0.9100，x 3=3.7331 割线法公式：x k +1=x k -

x k -x k -1

f (x k ) ，k =0, 1, 2

f (x k ) -f (x k -1)

证明：由题意不妨设f (x ) =(x -x ) g (x ) ，对ϕ(x ) 和ψ(x ) 求导即可得证。（证明略） 4. 试确定常数

*m

p , q 和r , 使迭代法

qa ra 2

+5, k =0, 1, 2, x k +1=px k +2x k x k

局部收敛于

a ，并使收敛阶尽量高。是几阶方法？