浅论初中数学教学中难点的处理

６

上海中学数学・２０１５年第１０期

浅论初中数学教学中难点的处理

２３００１１

安徽省合肥市行知学校张正茂

数学教学难点是指学生不易理解的知识和不易掌握的技能，或是教师不易阐述清楚的内容，这些是造成学生学习效果差距的分化点．导致难点形成的主要有教材本身的因素，也有学生自身原有的知识水平、学习动机和学习兴趣以及自身的心理素质和能力状况等原因．因此，数学教学难点是根据教材内容特点和学生实际情况而确定的，同一教材在不同的时间面对不同的学生，教学的难点也不尽相同．即使确定难点后，根据课堂教学的实际生成情况，教师教与学生学的难点都可能会发生变化．因此，难点的教学一直是一线教师感到棘手和值得思考的问题．

现代教育教学理论认为，数学教学的根本任务在于发展学生的数学思维，笔者以为，难点教学也是发展学生思维能力和提高学生数学素养的契机．笔者就教学实践中对“难点”的处理，介绍一些做法．

１

设计科学合理的目标问题串，是降低问题难度的抓手

设计目标问题串时，应加强层次性和指导性，符

合学生的认识规律．如“绝对值”一节课，教师可列出下列目标问题串：

（１）画出数轴，你能找出表示６和一６的点吗？（２）这两点到原点的距离（即大小）有何关系？（３）什么叫绝对值？

（４）正数、０、负数的绝对值分别是什么？

（５）如何求一个数的绝对值？

（６）怎样比较任意两个有理数的大小？

这里，（１）（２）是解决（３）的铺垫，（４）（５）（６）是解决（３）这一难点的应用．这样的设计，易于学生理解和接受，还强化了“绝对值”的运用，以“形散而神不散”方式为解决“绝对值”这一学习难点扫清了道路．２设计具有层次性的问题以引导学生有效探究，是

成功分散难点的阶梯

“以学生的发展为本”是新课程的核心理念，落实到课堂教学的操作，就是以“学生的学习为本”．“学生的学习”是课堂教学的中心，课堂教学是否突出了这个中心，学生的参与程度是一个最显著的评价标准．但是，学生个体是有差异的，对于课堂教学活动中产生的需要探究的问题，并非每位普通学生通过自主探究都能抓住问题的本质，在探究过程中

万方数据

如何让有差异的学生都能积极有效地参与活动、发散思维？如何让不同的学生在数学上都得到发展？除了组织小组合作或是全体学生讨论、分析外，更重要的是教师应预设由浅人深、层层递进的数学活动来启发和诱导学生的思维活动．

例１

对于“三角形全等条件的探索”这一内

容，一种方案是让学生小组合作探索三角形的边角满足怎样的三个条件时全等．这个问题比较发散，对于许多基础中等或中等偏下的学生而言，会觉得无（１）两个三角形满足一个元素相等的条件时，这两个三角形全等吗？这时大部分学生都会想到，一个元素相等不是一对角相等，就是一对边相等．几乎所有学生都画出类似图１的情形，通过观察、比较，得出两个三角形不一定全等．

（２）满足两个元素相等条件的两个三角形全等吗？这时学生想到满足两个元素相等条件的情况有三种：两边分别相等，一边一角分别相等，两角分别相等，教师引导学生具体确定条件进行验证：①三角形一个角为３０。，一条边为６ｃｍ；②三角形的两条边和６０。．让学生画图、观察、比较得出满足两个条件的两个三角形也不一定全等．那两个三角形全等需分别相等，两边一角分别相等，两角一边分别相等，么

图１

例２用平方差公式分解因式（在实数范围内）的练习设计如下．

（１）直接运用公式分解因式．例如行２一ｍ２，９ｘ２—４ｙ２，１—２５ｂ２’等．

（２）适当转化后运用公式法分解因式．例如ｚ５一ｚ３，（夕＋ｑ＋ｒ）２一（户＋ｑ—ｒ）２等．

从下手．若换一个角度，分层设计如下．

分别是４ｃｍ和６ｃｍ；③三角形的两个角分别是３０。要几个条件呢？学生自然而然地想到三个条件，并列出了满足三个条件的情况有：三边分别相等，三角两边一角及两角一边又各有两种情况．如此层层递进的数学活动，有效降低了难点的坡度，使得全体学生都有参与的热情和能力．

上海中学数学・２０１５年第１０期

７

（３）经一定技巧转化后用公式分解因式．例如ａ２—２ａｂ＋ｂ２一ｃ２等．

（４）学生自己编题，并相互练习．

（１）属于模式的模仿，学生可以套用公式；（２）属于模式识别，学生需要动脑甄别；（３）属于模式构造，学生好奇生疑；（４）属于模式创新，学生努力尝试．

通过以上分层练习，学生明白平方差公式分解因式的多项式特点，从而解决了教学的难点．３剖析知识间的联系与区别，是解决难点的重要途径

有些问题较易混淆，教师教学时不能回避，必须有意引导学生剖析它们的联系与区别，为学生透彻理解知识的实质创造条件．

例３二次根式的两个重要公式

ｆ反（ｎ＞Ｏ）

（√石）２＝口（乜≥ｏ）和￣／ｎ２一ｌａＩ一＜Ｏ（ａ—ｏ）．

Ｉ－－ａ（口＜ｏ）

它们形式相近，但实质不同，学生学习时极易混淆．因此，教师教学时应有意把两个公式放在一起，让学生分析比较，找出两者的联系与区别．

（１）运算顺序不同．引导学生观察、分析，启发学

生认识（√五）２一ａ（口≥０）是先开方，再乘方；￣／口２一

Ｉａｌ是先乘方，再开方．

（２）被开方数ａ的含义不同，第一个公式中的ａ

必须是非负数，石一定是非负数；而第二个公式中

的ａ可取任意实数，￣／口２一定是非负数．

（３）第一个公式中，仅当ｎ≥０时，是恒等式；而第二个公式是在实数范围内普遍成立的等式，当然是恒等式．抓住这两个公式间的本质联系与区别，学生就能大大减少在运用中的错误．

４改变问题呈现方式引导学生自主探究。是突破难

点的重要措施

现代心理学认为，思维是从问题开始的，产生思维最典型的情景是问题情境．利用问题可激起学生的好奇心、求知欲，能引起学生主动参与研究和探索．将知识内容问题化，用已有的知识点来构建问题链，能使学生产生连续的思维活动和求知行为．实际上，教材中的许多问题，只要改变问题的呈现方式，就能成为探究式学习的好素材．

例４教材中有这样一个问题：如图２，点Ｄ在ＡＣ上，ＡＢ＝ＡＣ，ＡＤ＝ＢＤ—ＢＣ，你能在图中找到几个等腰三角形？你能求出么Ｂ一７２。，／Ｃ一７２。这三个内角的度数吗？

改变问题的呈现方式，或对问题继续探究，可提出如下问题．

如图３，在△ＡＢＣ中，么Ａ一３６。，／ＡＢＣ一７２。，

万方数据

／Ｃ一７２。，请你添加适当的线段，把这个三角形分成四个等腰三角形．

Ａ

Ａ

Ｃ

Ｃ

图２

图３

△∞△ｃ曰△ｃ口Ａｃ

图４

教材中的问题比较简单，大部分学生都不难发现图中有等腰三角形，并且根据计算可得出：么Ａ一３６。，么Ｂ＝７２。，／Ｃ一７２。．这个问题不具有挑战性，很难激发学生的ＢＣ

兴趣．教师对问题进行改编后，许图５

多学生通过小组合作，受教材中问

题的启发，发现ＡＡＢＣ是个非常特殊的三角形，如把么Ｃ或者么Ｂ平分，就能构造出两个小的等腰三角形△ＡＢＤ、ＡＢＣＤ．又发现ＡＡＢＣ与ＡＢＣＤ的顶角、底角度数都一样，继续构造相等的角就可以构造出三个、四个……若干个等腰三角形，于是发现了图４的四种画法．还有学生打破固有的思维模式，想到了图５的画法，在学生反馈结果时，又有学生突发灵感，总结出作图的一般规律，因为图形的特殊性，可作角平分线，也可作平行线，又可借助作角平分线与作平行线相结合的方法画出图形．最后，许多学生意犹未尽，作出了把三角形分割成五个三角形、六个三

角形、甚至更多等腰三角形的图形（如图６）．

Ａ

Ａ

Ａ

Ａ

△ｃ占△ｃ８△ｃ曰△ｃ

图６

改编后问题的设计在“学生跳一跳，摘得到桃子”的最近发展区内，适度的探究激起学生无穷的学习兴趣，学生的思维处于活跃状态，在解决了层层递进问题的同时，学生正确理解了事物的本质．整个过程引导学生成为“构造等腰三角形”方法本质的“发现者”，是一种在教师适度引导以及学生互帮互助下的探究性学习和合作学习．学生的感知经历了由表

８

上海中学数学・２０１５年第１０期

及里、由浅入深的理解过程，从而品尝到发现所带来初中数学教学难点的处理是一门高深的艺术，的快乐．苏霍姆林斯基说：“在人的心灵深处，都有一需要教师不断付出创造性的劳动．种根深蒂固的需要，这就是希望自己是一个发现者、研究者、探索者．”教师应努力满足学生的这一需要，参考文献

努力挖掘教材中进行探究式学习的素材，把教材的［１］卫德彬，解正兵．农村初中生数学反思性学习调查报告

知识改编成需要学生探索的问题，激发学生的探究ＥＪ３．中学数学教学参考（中旬），２００９，６．

兴趣，亲身经历知识形成与应用的过程，让学生在尝［２］卫德彬，李祖海．培养学生数学猜想能力的有效策略

试中体验和创新，使传统意义上的教学过程变成对［Ｊ］．中国数学教育（初中），２０１２，７－８．

数学问题进行主动探究、解决、创造的过程，在此过［３］中华人民共和国教育部．全日制义务教育数学课程标准

（２０１１）［Ｍ］．北京：北京师范大学出版社，２０１１．

程中完成难点的学习．

（上接第５页）

②（课本Ｐ８１Ｂ组第５题）若直线ＡＭ的斜率与设计中，现场生成教学内容．

直线ＢＭ的斜率的和是２，求点Ｍ的轨迹．

对于变式４，教师希望由学生自己提出来，这类．．２

变式４若点Ｍ是椭圆茜＋蠡２１上不同于

一２

学生正是教师要寻找和好好培养的对象．９

七、教学实施效果及反思

其左右顶点Ａ、Ｂ的任意一点，求直线ＡＭ，ＢＭ的笔者认为，从整体和联系的角度看数学问题，有斜率之积．

助于形成稳固的知识链和知识网，并能提高学习数（四）课后作业

学的兴趣．课堂即将结束时，教师用几何画板演示了

１．整理本节课的例题、练习和变式题．

２．已知平面上一个定点Ｃ（一１，０）和一条定直变式２、３的轨迹，学生感受到了数学的神奇与魅力，

发出了一阵阵的赞叹声．

线ｚ一一４，Ｐ为该平面上一动点，作ＰＱ上￡，垂足为

Ｑ，（葡＋２砣）・（两一２砣）＝ｏ，求Ｐ点的轨迹

南京师范大学喻平教授说：“教学设计是一门科学，教学是一门艺术．”教师在备课时要遵循科学的方程．

方法进行教学设计，对教学内容重组也应遵循以下六、教学实施预设

几条基本原则．

师生共同完成例１之后，由教师引导学生思考：（一）符合学生的认知水平

由例１可以看出将圆心在原点的圆压缩可得到焦点教学内容重组不能只从学科知识的完备性角度考虑，盲目地拔高和拓宽．学生的认知水平是最重要在ｚ轴上的椭圆，如何才能得到焦点在Ｙ轴上的椭圆呢？

的考量因素，必要时，可对教学目标进行调整．

（二）围绕教学目标选材

生：拉伸．

师：对，这就是练习１中的方法．（引入练习１）教学内容的重组离不开教学目标．同一内容从不同角度解读可以达到不同的目标，不同的教学素例１和练习１处理完后，教师引导：我们现在有了定义法和压缩法两种得到椭圆轨迹的方法，还有材可以实现同一目标．在选择教学内容时应首先考虑教学目标，围绕目标来选材．

没有其他获得椭圆轨迹的方法呢？由此引入例２．

例２由学生独立完成，教师再引导：如果要对此（三）预设教学内容的实施方式

教学目标的多维性决定内容重组的复杂性，教题做变式拓展，你觉得可以怎么改变条件？这是开学目标的达成也不仅仅依赖于教学内容的选取，教放式提问，学生会有很多想法．如果学生能想到斜率学实施也会影响目标的达成．所以，教师在重组教学之积的各种情况，那么师生共同归纳出变式２的结内容时，也要预设教学内容的实施方式．论．此任务完成后再引导学生改变另外两个条件，做出变式３和练习２．这样重组后，课堂内容重点突参考文献

出，并具备一定的弹性，有充分的时间顾及学生的反［１］黄智华．理解教材，创造地使用教材［Ｊ］．中学数学教学

应和课堂生成，更重要的是学生可以参与到课堂的

参考，２０１４，６．

万方数据