初三数学-二次函数教师用书

第二十六章二次函数

本章内容:二次函数的图象、二次函数的性质、二次函数与一元二次方程、二次函数在实际问题中的运用

教学目标：

掌握二次函数的图象及其画法，了解二次函数的性质、掌握二次函数与一元二次方程的关系。在实际问题中懂得运用二次函数解答。 知识点：

1、二次函数的一般形式：y=ax²+bx+c（其中a 不等于零）

2、二次函数的开口方向与二次项系数有关（a>0开口向上，a

-b -b 4ac b 2

4、二次函数的对称轴：x=顶点为（，）

2a 2a 4a

5、二次函数图象的平移：左右移——X 左加右减；上下移——Y 上加下减

6、学会五点作图法

7、运用待定系数法求解二次函数表达式（三点坐标，三个方程组成方程组求解a ，b ，c ） 8、二次函数与一元二次方程的关系：二次函数与X 轴的交点即为一元二次方程的解

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²-4ac 与0的大小比较分为 10、一个交点（等于）两个交点（大于）没有交点（小于） 11、在二次函数的实际运用中一般为最大最小值问题 例题详解： 例1、（2010•鸡西）如图，二次函数y=-x2-2x的图象与x 轴交于点A 、O ，在抛物线上有一点P ，满足S △AOP=3，则点P 的坐标是（ ） A ．（-3，-3）

C ．（-3，-3）或（-3，1）

B ．（1，-3）

D ．（-3，-3）或（1，-3）

例2、2011•西宁）西宁中心广场有各种音乐喷泉，其中一个喷水管喷水的最大高度为3米，此时距喷水

管的水平距离为 2米，在如图所示的坐标系中，这个喷泉的函数关系式是（ ）

例3、已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论： （1）4a+2b+c＞0；（2）方程ax2+bx+c=0两根之和小于零；（3）y 随x 的增大而增大；（4）一次函数y=x+bc的图象一定不过第二象限，其中错误的个数是（ ） A ．4个

B ．3个

C ．2个

D ．1个

解答：解：∵当x=2时，y=4a+2b+c，对应的y 值即纵坐标为正，即4a+2b+c＞0；故（1）正确；

∵由二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象可知：函数图象与x 轴有两个不同的交点，即对应方程有两个不相等的实数根；并且正根的绝对值较大，∴方程ax2+bx+c=0两根之和大于零；故（2）错误； ∵函数的增减性需要找到其对称轴才知具体情况；不能在整个自变量取值范围内说y 随x 的增大而增大；故（3）错误；

∵由图象可知：c ＜0，b ＜0， ∴bc ＞0，

∴一次函数y=x+bc的图象一定经过第二象限，故（4）错误； ∴错误的个数为3个， 故选B ． 例4、（2011•黔西南州）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则不等式ax2+bx+c＜0的解集

A ．-1≤x≤9

B ．-1≤x＜9

C ．-1＜x≤9

D ．x≤-1或x≥9

例5、（2012•株洲）如图，已知抛物线与x 轴的一个交点A （1，0），对称轴是x=-1，则该抛物线与x 轴的另一交点坐标是（ ） A ．（-3，0）

B ．（-2，0）

C ．x=-3

D ．

x=-2

例6、2012•台湾）判断下列哪一组的a 、b 、c ，可使二次函数y=ax2+bx+c-5x2-3x+7在坐标平面上的图形有最低点？（ ） A ．a=0，b=4，c=8 C ．a=4，b=-4，c=8

B ．a=2，b=4，c=-8 D ．a=6，b=-4，

c=-8

随堂练习： 一、选择题： 1、（2005•锦州）下列函数关系中，是二次函数的是（ ） A ．在弹性限度内，弹簧的长度y 与所挂物体质量x 之间的关系 B ．当距离一定时，火车行驶的时间t 与速度v 之间的关系 C ．等边三角形的周长C 与边长a 之间的关系 D ．圆心角为120°的扇形面积S 与半径R 之间的关系

2、（2012•南宁）如图，在平面直角坐标系中，有两条位置确定的抛物线，它们的对称轴相同，则下列关系不正确的是（ ） A ．k=n

B ．h=m

C ．k ＜n

D ．h ＜0，k ＜

3、（2012•黔东南州）抛物线y=x2-4x+3的图象向右平移2个单位长度后所得新的抛物线的顶点坐标为（ ） A ．（4，-1）

B ．（0，-3）

C ．（-2，-3）

D ．（-2，-1）

4、（2011•莆田）抛物线y=-6x2可以看作是由抛物线y=-6x2+5按下列何种变换得到（ ） A ．向上平移5个单位 C ．向左平移5个单位

B ．向下平移5个单位 D ．向右平移5个单位

二、填空题 1、（2010•金华）已知二次函数y=-x2+2x+m的部分图象如图所示，则关于x 的一元二次方程-x2+2x+m=0的解为

2、（2005•贵阳）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标（-1，-3.2）及部分图象（如图），由图象可知关于x 的方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1=1.3和

x2=

3、（2005•扬州）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分对应值如右表，则不等式ax2+bx+c＞0的解集为 ．

4、（2007•眉山）如图，已知等腰直角△ABC 的直角边长与正方形MNPQ 的边长均为20厘米，AC 与MN 在同一直线上，开始时点A 与点N 重合，让△ABC 以每秒2厘米的速度向左运动，最终点A 与点M 重合，则重叠部分面积y （厘米2）与时间t （秒）之间的函数关系式为

5、（2012•绍兴）教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y （m ）与水平距离x （m ）之间的关系y=

-1

（x-4）2+3，由此可知铅球推出的距离是

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x 的图象如图所示，点A0位于坐标原点，A1，A2，A3，…，A2009在y 轴的正半轴3

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上，B1，B2，B3，…，B2009在二次函数y= x 第一象限的图象上，若△A0B1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…，

3

6、二次函数y=

△A2008B2009A2009都为等边三角形，计算出△A2008B2009A2009的边长为

分析：此题需要从简单的例子入手寻找各三角形边长的规律；可设出△A0A1B1的边长为m1，由于此三角形是正三角形，则∠B1A0A1=60°，∠B1A0x=30°，可用边长m1表示出B1的坐标，代入抛物线的解析式中，即可得到m1的值，同理可求出△A1B2A2、△A2B3A3的边长，通过观察得到这些三角形边长值的变化规律来求得到△A2008B2009A2009的边长．

三、综合题

（2）已知A 、C 、D 三点的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式；由直线BC ：y=2，代入抛物线解析式解方程求得点E 的坐标；

（3）在点P 的运动过程中，△AON 为等腰三角形的情形有三种，注意不要漏解．充分利用正方形、等腰三角形的性质，容易求得点P 运动的路程x ．

（1）分别求出y 1和y 2的函数解析式；

（2）旺叔准备投资10万元购买Ⅰ、Ⅱ两型收割机．请你设计一个能获得最大补贴金额的方案，并求出按此方案能获得的补贴金额．