23.2中心对称
23.2 中心对称(1)
第一课时
教学内容
两个图形关于这个点对称或中心对称、对称中心、关于中心的对称点等概念及其运用它们解决一些实际问题. 教学目标
了解中心对称、对称中心、关于中心的对称点等概念及掌握这些概念解决一些问题.
复习运用旋转知识作图,旋转角度变化,设计出不同的美丽图案来引入旋转180°的特殊旋转──中心对称的概念,并运用它解决一些实际问题.
重难点、关键
1.重点:利用中心对称、对称中心、关于中心对称点的概念解决一些问题.
2.难点与关键:从一般旋转中导入中心对称. 教具、学具准备 小黑板、三角尺
教学过程
一、复习引入
请同学们独立完成下题.
如图,△ABC 绕点O 旋转,使点A 旋转到点D 处,画出旋转后的三角形,并写出简要作法.
老师点评:分析,本题已知旋转后点A 的对应点是点D ,且旋转中心也已知,所以关键是找出旋转角和旋转方向.显然,逆时针或顺时针旋转都符合要求,一般我们选择小于180°的旋转角为宜,故本题选择的旋转方向为顺时针方向;已知一对对应点和旋转中心,很容易确定旋转角.如图,连结OA 、OD ,则∠AOD 即为旋转角.接下来根据“任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角”和“对应点到旋转中心的距离相等”这两个依据来作图即可. 作法:(1)连结OA 、OB 、OC 、OD ;
(2)分别以OB 、OB 为边作∠BOM=∠CON=∠AOD ; (3)分别截取OE=OB,OF=OC; (4)依次连结DE 、EF 、FD ;
即:△DEF 就是所求作的三角形,如图所示.
二、探索新知
问题:作出如图的两个图形绕点O 旋转180°的图案,并回答下列的问题:
1.以O 为旋转中心,旋转180°后两个图形是否重合? 2.各对称点绕O 旋转180°后,这三点是否在一条直线上?
老师点评:可以发现,如图所示的两个图案绕O 旋转180°都是重合的,即甲图与乙图重合,△OAB 与△COD 重合.
像这样,把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称,这个点叫做对称中心.
这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点.
例1.如图,四边形ABCD 绕D 点旋转180°,请作出旋转后的图案,写出作法并回答.
(1)这两个图形是中心对称图形吗?如果是对称中心是哪一点?如果不是,请说明理由.
(2)如果是中心对称,那么A 、B 、C 、D 关于中心的对称点是哪些点.
分析:(1)根据中心对称的定义便直接可知这两个图形是中心对称图形,对称中心就是旋转中心.
(3)旋转后的对应点,便是中心的对称点. 解:作法:(1)延长AD ,并且使得DA ′=AD (2)同样可得:BD=B′D ,CD=C′D
(3)连结A ′B ′、B ′C ′、C ′D ,则四边形A ′B ′C ′D 为所求的四边形,如图23-44所示.
答:(1)根据中心对称的定义便知这两个图形是中心对称图形,对称中心是D 点. (2)A 、B 、C 、D 关于中心D 的对称点是A ′、B ′、C ′、D ′,这里的D ′与D 重合.
例2.如图,已知AD 是△ABC 的中线,画出以点D 为对称中心,与△ABD 成中心对称的三角形.
分析:因为D 是对称中心且AD 是△ABC 的中线,所以C 、B 为一对的对应点,因此,只要再画出A 关于D 的对应点即可. 解:(1)延长AD ,且使AD=DA′,因为C 点关于D 的中心对称点是B (C ′),B 点关于中心D 的对称点为C (B ′) (2)连结A ′B ′、A ′C ′.
则△A ′B ′C ′为所求作的三角形,如图所示.
三、巩固练习
教材P66 练习2. 四、应用拓展
例3.如衅,在△ABC 中,∠C=70°,BC=4,AC=4,现将△ABC 沿CB 方向平移到△A ′B ′C ′的位置.
(1)若平移的距离为3,求△ABC 与△A ′B ′C ′重叠部分的面积.
(2)若平移的距离为x (0≤x ≤4),求△ABC 与△A ′B ′C ′重叠部分的面积y ,写出y 与x 的关系式.
分析:(1)∵BC=4,AC=4
∴△ABC 是等腰直角三角形,易得△BDC ′也是等腰直角三角形且BC ′=1
(2)∵平移的距离为x ,∴BC ′=4-x 五、归纳小结(学生归纳,老师点评)
本节课应掌握:1.中心对称及对称中心的概念;2.关于中心的对称点的概念及其运用. 六、布置作业
1.教材 练习1.
23.2 中心对称(2)
第二课时
教学内容
1.关于中心对称的两个图形,对称点所连线段都经过对称中心,而且被对称中心所平分.
2.关于中心对称的两个图形是全等图形. 教学目标
理解关于中心对称的两个图形,对称点所连线段都经过对称中心,而且被对称中心所平分;理解关于中心对称的两个图形是全等图形;掌握这两个性质的运用.
复习中心对称的基本概念(中心对称、对称中心,关于中心的对称点),提出问题,让学生分组讨论解决问题,老师引导总结中心对称的基本性质. 重难点、关键
1.重点:中心对称的两条基本性质及其运用.
2.难点与关键:让学生合作讨论,得出中心对称的两条基本性质.
教学过程
一、复习引入
(老师口问,学生口答)
1.什么叫中心对称?什么叫对称中心? 2.什么叫关于中心的对称点?
3.请同学随便画一三角形,以三角形一顶点为对称中心,画出这个三角形关于这个对称中心的对称图形,并分组讨论能得到什么结论.
(每组推荐一人上台陈述,老师点评)
(老师)在黑板上画一个三角形ABC ,分两种情况作两个图形 (1)作△ABC 一顶点为对称中心的对称图形; (2)作关于一定点O 为对称中心的对称图形. 第一步,画出△ABC . 第二步,以△ABC 的C 点(或O 点)为中心,旋转180°画出△A ′B ′和△A ′B ′C ′,如图1和用2所示.
(1) (2) 从图1中可以得出△ABC 与△A ′B ′C 是全等三角形;
分别连接对称点AA ′、BB ′、CC ′,点O 在这些线段上且O 平
分这些线段.
下面,我们就以图2为例来证明这两个结论. 证明:(1)在△ABC 和△A ′B ′C ′中, OA=OA′,OB=OB′,∠AOB=∠A ′OB ′ ∴△AOB ≌△A ′OB ′ ∴AB=A′B ′
同理可证:AC=A′C ′,BC=B′C ′ ∴△ABC ≌△A ′B ′C ′
(2)点A ′是点A 绕点O 旋转180°后得到的,即线段OA 绕点O 旋转180°得到线段OA ′,所以点O 在线段AA ′上,且OA=OA′,即点O 是线段AA ′的中点.
同样地,点O 也在线段BB ′和CC ′上,且OB=OB′,OC=OC′,即点O 是BB ′和CC ′的中点. 因此,我们就得到
1.关于中心对称的两个图形,对称点所连线段都经过对称中心,而且被对称中心所平分.
2.关于中心对称的两个图形是全等图形. 例1.如图,已知△ABC 和点O ,画出△DEF ,使△DEF 和△ABC 关于点O 成中心对称.
分析:中心对称就是旋转180°,关于点O 成中心对称就是绕O 旋转180°,因此,我们连AO 、BO 、CO 并延长,取与它们相等的线段即可得到. 解:(1)连结AO 并延长AO 到D ,使OD=OA,于是得到点A 的对称点D ,如图所示.
(2)同样画出点B 和点C 的对称点E 和F . (3)顺次连结DE 、EF 、FD . 则△DEF 即为所求的三角形. 例2.(学生练习,老师点评)如图,已知四边形ABCD 和点O ,画四边形A ′B ′C ′D ′,使四边形A ′B ′C ′D ′和四边形ABCD 关于点O 成中心对称(只保留作图痕迹,不要求写出作法).
二、巩固练习 教材P67 练习. 三、应用拓展
例3.如图等边△ABC 内有一点O ,试说明:OA+OB>OC.
分析:要证明OA+OB>OC,必然把OA 、OB 、OC 转为在一个
三角形内,应用两边之和大于第三边(两点之间线段最短)来说明,因此要应用旋转.以A 为旋转中心,旋转60°,便可把OA 、OB 、OC 转化为一个三角形内.
解:如图,把△AOC 以A 为旋转中心顺时针方向旋转60°后,到△AO ′B 的位置,则△AOC ≌△AO ′B .
∴AO=AO′,OC=O′B
又∵∠OAO ′=60°,∴△AO ′O 为等边三角形. ∴AO=OO′
在△BOO ′中,OO ′+OB>BO′ 即OA+OB>OC
四、归纳小结(学生总结,老师点评) 本节课应掌握:
中心对称的两条基本性质:
1.关于中心对称的两个图形,对应点所连线都经过对称中心,而且被对称中心所平分;
2.关于中心对称的两个图形是全等图形及其它们的应用. 五、布置作业
1.教材 复习巩固 综合运用6、7.
23.2 中心对称(3)
第三课时
教学内容
两个点关于原点对称时,它们的坐标符号相反,即点P (x ,y ),关于原点的对称点为P ′(-x ,-y )及其运用. 教学目标
理解P 与点P ′点关于原点对称时,它们的横纵坐标的关系,掌
l
握P (x ,y )关于原点的对称点为P ′(-x ,-y )的运用.
复习轴对称、旋转,尤其是中心对称,知识迁移到关于原点对称的点的坐标的关系及其运用. 重难点、关键
1.重点:两个点关于原点对称时,它们的坐标符号相反,即点P (x ,y )关于原点的对称点P ′(-x ,-y )及其运用.
2.难点与关键:运用中心对称的知识导出关于原点对称的点的坐标的性质及其运用它解决实际问题. 教具、学具准备 小黑板、三角尺
教学过程
一、复习引入
(学生活动)请同学们完成下面三题.
1.已知点A 和直线L ,如图,请画出点A 关于L 对称的点A ′.
2.如图,△ABC 是正三角形,以点A 为中心,把△ADC 顺时针旋转60°,画出旋转后的图形.
3.如图△ABO ,绕点O 旋转180°,画出旋转后的图形.
老师点评:老师通过巡查,根据学生解答情况进行点评.(略) 二、探索新知
(学生活动)如图23-74,在直角坐标系中,已
知A (-3,1)、B (-4,0)、C (0,3)、D (2,2)、E (3,-3)、F (-2,-2),作出A 、B 、C 、D 、E 、F 点关于原点O 的中心对称点,并写出它们的坐标,并回答:这些坐标与已知点的坐标有什么关系?
老师点评:画法:(1)连结AO 并延长AO (2)在射线AO 上截取OA ′=OA (3)过A 作AD ′⊥x 轴于D ′点,过A ′作A ′D ″⊥x 轴于点D ″. ∵△AD ′O 与△A ′D ″O 全等 ∴AD ′=A′D ″,OA=OA′ ∴A ′(3,-1)
同理可得B 、C 、D 、E 、F 这些点关于原点的中心对称点的坐标. (学生活动)分组讨论(每四人一组):讨论的内容:关于原点作中心对称时,①它们的横坐标与横坐标绝对值什么关系?纵坐标与纵坐标的绝对值又有什么关系?②坐标与坐标之间符号又有什么特
点?
提问几个同学口述上面的问题. 老师点评:(1)从上可知,横坐标与横坐标的绝对值相等,纵坐标与纵坐标的绝对值相等.(2)坐标符号相反,即设P (x ,y )关于原点O 的对称点P ′(-x ,-y ).
例1.如图,利用关于原点对称的点的坐标的特点,作出与线段AB•关于原点对称的图形.
分析:要作出线段AB 关于原点的对称线段,只要作出点A 、点B 关于原点的对称点A ′、B ′即可.
解:点P (x ,y )关于原点的对称点为P ′(-x ,-y ), 因此,线段AB 的两个端点A (0,-1),B (3,0)关于原点的对称点分别为A ′(1,0),B (-3,0). 连结A ′B ′.
则就可得到与线段AB 关于原点对称的线段A ′B ′. (学生活动)例2.已知△ABC ,A (1,2),B (-1,3),C (-2,4)利用关于原点对称的点的坐标的特点,作出△ABC 关于原点对称的图形.
老师点评分析:先在直角坐标系中画出A 、B 、C 三点并连结组成△ABC ,要作出△ABC 关于原点O 的对称三角形,只需作出△ABC 中的A 、B 、C 三点关于原点的对称点,依次连结,便可得到所求作的△A ′B ′C ′.
三、巩固练习
教材 练习. 四、应用拓展
例3.如图,直线AB 与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点,将直线AB 绕点O 顺时针旋转90°得到直线A 1B 1. (1)在图中画出直线A 1B 1.
(2)求出线段A 1B 1中点的反比例函数解析式. (3)是否存在另一条与直线AB 平行的直线y=kx+b(我们发现互相平行的两条直线斜率k 值相等)它与双曲线只有一个交点,若存在,求此直线的函数解析式,若不存在,请说明理由.
分析:(1)只需画出A 、B 两点绕点O 顺时针旋转90°得到的点A 1、B 1,连结A 1B 1.
(2)先求出A 1B 1中点的坐标,设反比例函数解析式为y=代入求k .
k x
(3)要回答是否存在,如果你判断存在,只需找出即可;如果不存在,才加予说明.这一条直线是存在的,因此A 1B 1与双曲线是相切的,只要我们通过A 1B 1的线段作A 1、B 1关于原点的对称点A 2、B 2,连结A 2B 2的直线就是我们所求的直线. 解:(1)分别作出A 、B 两点绕点O 顺时针旋转90°得到的点A 1(1,0),B 1(2,0),连结A 1B 1,那么直线A 1B 1就是所求的. (2)∵A 1B 1的中点坐标是(1,) 设所求的反比例函数为y= 则=,k=
1 ∴所求的反比例函数解析式为y=
x
12
k 1
12
k x
12
(3)存在.
∵设A 1B 1:y=k′x+b′过点A 1(0,1),B 1(2,0)
⎧b `=1
⎧1=b `⎪
∴⎨ ∴⎨1
0=2k +b k `=-⎩⎪⎩21
∴y=-x+1
2
把线段A 1B 1作出与它关于原点对称的图形就是我们所求的直线. 根据点P (x ,y )关于原点的对称点P ′(-x ,-y )得: A1(0,1),B 1(2,0)关于原点的对称点分别为A 2(0,-1),B 2(-2,0)
∵A 2B 2:y=kx+b
1⎧
⎧-1=b ⎪k =-
∴⎨ ∴⎨2
⎩0=-2k `+b ⎪⎩b =-1
1
∴A 2B 2:y=-x-1
2
1
1
下面证明y=-x-1与双曲线y=相切
2x
1⎧y =-x -11⎪211
⎪ -x-1=⇒x+2=-⇒ ⎨1
2x x ⎪⎪y =
x ⎩
x2+2x+1=0,b 2-4ac=4-4×1×1=0
1
1
∴直线y=-x-1与y=相切
2x
∵A 1B 1与A 2B 2的斜率k 相等
∴A 2B 2与A 1B 1平行
∴A 2B 2:y=-x-1为所求.
五、归纳小结(学生总结,老师点评) 本节课应掌握:
两个点关于原点对称时,它们的坐标符号相反,即点P (x ,y ),关于原点的对称点P ′(-x ,-y ),及其利用这些特点解决一些实际问题.
六、布置作业
1.教材 复习巩固3、4.
12