乘除法数字谜(一)

第一讲 乘除法数字谜（一）

专题简析：

解决算式谜题，关键是找准突破口，推理时应注意以下几点：

1. 认真分析算式中所包含的数量关系，找出隐蔽条件，选择有特征的部分作出局部判断；

2. 利用列举和筛选相结合的方法，逐步排除不合理的数字；

3. 试验时，应借助估值的方法，以缩小所求数字的取值范围，达到快速而准确的目的；

4. 算式谜解出后，要验算一遍。

例1. 在下面的方框中填上合适的数字。

分析：由积的末尾是0，可推出第二个因数的个位是5；由第二个因数的个位是5，并结合第一个因数与5相乘的积的情况考虑，可推出第一人个因数的百位是3；由第一个因数为376与积为31□□0，可推出第二个因数的十数上是8。题中别的数字就容易填了。

练习一

第二讲 乘除法数字谜（二）

例1. 下面算式中的a 、b 、c 、d 这四个字母各代表什么数字？

分析：因为四位数abcd 乘9的积是四位数，可知a 是1；d 和9相乘的积的个位是1，可知d 只能是9；因为第二个因数9与第一个因数百位上的数b 相乘的积不能进位，所以b 只能是0（1已经用过）；再由b ＝0，可推知c ＝8。

练习二

第三讲 图形的个数

例1. 下面图形中有多少个正方形？

分析：图中的正方形的个数可以分类数，如由一个小正方形组成

的有6×3＝18个，2×2的正方形有5×2＝10个，3×3的正方形有4×1＝4个。因此图中共有18＋10＋4＝32个正方形。

例2. 下图中共有多少个三角形？

分析：为了保证不漏数又不重复，我们可以分类来数三角形，然后再把数出的各类三角形的个数相加。

（1）图中共有6个小三角形；

（2）由两个小三角形组合的三角形有3个；

（3）由三个小三角形组合的三角形有4个；

（4）由六个小三角形组合的三角形有1个。

所以共有6＋3＋4＋1＝14个三角形。

练习三

1. 下图中共有多少个正方形？

2. 下图中共有多少个正方形？

3. 下图中共有多少个正方形，多少个三角形？

4. 下面图中共有多少个三角形？

第四讲 找出数字的排列规律（一）

找规律是我们在生活、学习、工作中经常使用的一种思想方法，在解数学题时人们也常常使用它，下面我们利用找规律的方法来解一些简单的数列问题。

（一）思路指导

例1. 在下面数列的（ ）中填上适当的数。

1，2，5，10，17，（ ），（ ），50

分析与解：这个数列从第二项起，每一项都等于它的前一项依次分别加上单数1，3，5，7，9„„，这样我们就可以由第五项算出括号内的数了，即：第一个括号里应填；第2个括号里应填。

例2. 自1开始，每隔两个整数写出一个整数，这样得到一个数列：1，4，7，10„„问：第100个数是多少？

分析与解：第1项是1，第二项比第一项多3，第三项比第一项多2个3，第四项比第一项多3个3，„„依次类推，第100项就比第一项多99个3，所以第100个数是。

由此我们可以得出这样的规律：等差数列的任一项都等于：第一项＋（这项的项数－1）×公差

我们把这个公式叫做等差数列的通项公式。利用通项公式可以求出等差数列的任一项。

练习四

1. 找规律填数：

（1）1，3，7，15，______；

（2）l ，4，13，40，121，____，____。

2. 按规律找出下面两列数里□中应填写的数：

（1）2，6，18，54，□，486，1458；

（2）l ，4，9，16，□，36，49

3. 看规律填数：

（l ）0，3，7，12，______，25，33；

（2）l ，2，5，10，17，____，______，50。

4. 按规律填数：

（l ）2，4，7，11，16，

（2）3，5，9，17，33，65，

5. 按每组数的排列规律，填写最后一个数：

（1）2，4，16，256，______；

（2）12，19，33，61，117，______。

6. 数列5，8，11，14，17，„的第25项是______，第100项是____。

第五讲 找出数的排列规律（二）

例3. 已知一列数：2，5，8，11，14，„„，44，„„，问：44是这列数中的第几个数？

分析与解：显然这是一个等差数列，首项（第一项）是2，公差是3。我们观察数列中每一个数的项数与首项2，公差3之间有什么关系？

以首项2为标准，第二项比2多1个3，第三项比首项多2个3，第四项比首项多3个3，„„，44比首项2多42，多14个3，所以44应排在这个数列中的第15个数。

由此可得，在等差数列中，每一项的项数都等于：

（这一项－首项）÷公差＋1

这个公式叫做等差数列的项数公式，利用它可以求出等差数列中任意一项的项数。

试试看：数列7，11，15，„„195，共有多少个数？

练习五

1. 按规律填数：

（1）3，5，9，17，______，65。

（2）1，2，4，7，______，16。

2. 数列2，9，16，23，30，„，135，„中的135是这列数的第____个数。

3. 数列2，4，8，„的第10项是______。

4. 数列7，11，15，19，23，„，119，共有______个数。

5. 下面一组数是按某种规律排列的，请你仔细观察，找出规律并在横线上填写适当的数：

2，97，1，4，98，3，6，99，5，____，____，7，10，101，____，12，102，11，„。

第六讲 数列求和（一）

专题简析：若干个数排成一列称为数列。数列中的每一个数称为一项。其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数。从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。

通项公式：第n 项＝首项＋（项数－1）×公差

项数公式：项数＝（末项－首项）÷公差＋1

例1. 有一个数列：4，10，16，22，„，52，这个数列共有多少项？

分析与解答：容易看出这是一个等差数列，公差为6，首项是4，末项是52，要求项数，可直接带入项数公式进行计算。

项数＝（52－4）÷6＋1＝9，即这个数列共有9项。

例2. 有一等差数列：3，7，11，15，„„，这个等差数列的第100项是多少？

分析与解答：这个等差数列的首项是3，公差是4，项数是100。要求第100项，可根据“末项＝首项＋公差×（项数－1）”进行计算。

第100项＝3＋4×（100－1）＝399

练习六

1. 等差数列中，首项＝1，末项＝39，公差＝2，这个等差数列共有多少项？

2. 有一个等差数列：2，5，8，11，„，101，这个等差数列共有多少项？

3. 已知等差数列11，16，21，26，„，1001，这个等差数列共有多少项？

4. 一等差数列，首项＝3，公差＝2，项数＝10，它的末项是多少？

5. 求1，4，7，10„„这个等差数列的第30项。

第七讲 数列求和（二）

例3. 有这样一个数列：1，2，3，4，„，99，100。请求出这个数列所有项的和。

分析与解答：如果我们把1，2，3，4，„，99，100与列100，99，„，3，2，1相加，则得到（1＋100）＋（2＋99）＋（3＋98）

＋„＋（99＋2）＋（100＋1），其中每个小括号内的两个数的和都是101，一共有100个101相加，所得的和就是所求数列的和的2倍，再除以2，就是所求数列的和。1＋2＋3＋„＋99＋100＝（1＋100）×100÷2＝5050

上面的数列是一个等差数列，经研究发现，所有的等差数列都可以用下面的公式求和：等差数列总和＝（首项＋末项）×项数÷2

这个公式也叫做等差数列求和公式。

例4. 求等差数列2，4，6，„，48，50的和。

分析与解答：这个数列是等差数列，我们可以用公式计算。 要求这一数列的和，首先要求出项数是多少：

项数＝（末项－首项）÷公差＋1＝（50－2）÷2＋1＝25 首项＝2，末项＝50，项数＝25

等差数列的和＝（2＋50）×25÷2＝650

练习七

计算下面各题。

1.1＋2＋3＋„＋49＋50

2.6＋7＋8＋„＋74＋75

3.100＋99＋98＋„＋61＋60

4.2＋6＋10＋14＋18＋22

5.5＋10＋15＋20＋„＋195＋200

6.9＋18＋27＋36＋„＋261＋270

第八讲 数列求和（三）

例5. 计算（2＋4＋6＋„＋100）－（1＋3＋5＋„＋99）

分析与解答：容易发现，被减数与减数都是等差数列的和，因此，可以先分别求出它们各自的和，然后相减。

进一步分析还可以发现，这两个数列其实是把1～100这100个数分成了奇数与偶数两个等差数列，每个数列都有50个项。因此，我们也可以把这两个数列中的每一项分别对应相减，可得到50个差，再求出所有差的和。

（2＋4＋6＋„＋100）－（1＋3＋5＋„＋99）

＝（2－1）＋（4－3）＋（6－5）＋„＋（100－99）

＝1＋1＋1＋„＋1

＝50

练习八

计算下面各题

1. （2001＋1999＋1997＋1995）－（2000＋1998＋1996＋1994）

2. （2＋4＋6＋„＋2000）－（1＋3＋5＋„＋1999）

3. （2＋4＋6＋„＋1998）－（1＋3＋5＋„＋1997）

4. （1＋3＋5＋„＋999）－（2＋4＋6＋„＋998）

5. （1＋3＋5＋„＋1999）－（2＋4＋6＋„＋1998）

第九讲 数阵图（一）

专题简析：填“幻方”是同学们比较熟悉的一种数学游戏，由幻方演变出来的数阵问题，也是一类比较常见的填数问题。这里，和同学们讨论一些数阵的填法。解答数阵问题通常用两种方法：一是待定数法，二是试验法。待定数法就是先用字母（或符号）表示满足条件的数，通过分析、计算来确定这些字母（或符号）应具备的条件，为解答数阵问题提供方向。试验法就是根据题中所给条件选准突破口，

确定填数的可能范围。把分析推理和试验法结合起来，再由填数的可能情况，确定应填的数。

例1. 把5、6、7、8、9五个数分别填入下图的五个方格里，如图a 使横行三个数的和与竖行三个数的和都是21。

先把五格方格中的数用字母A 、B 、C 、D 、E 来表示，根据题意可知：A ＋B ＋C ＋D ＋E ＝35，A ＋E ＋B ＋C ＋E ＋D ＝21×2＝42。

把两式相比较可知，E ＝42－35＝7，即中间填7。然后再根据5＋9＝6＋8便可把五个数填进方格，如图b 。

练习九

1. 把1～10各数填入“六一”的10个空格里，使在同一直线上的各数的和都是12。

2. 把1～9各数填入“七一”的9个空格里，使在同一直线上的各数的和都是13。

3. 将1～7七个自然数分别填入图中的圆圈里，使每条线上三个数的和相等。

第十讲 数阵图（二）

例2. 将1～10这十个数填入下图小圆中，使每个大圆上六个数的和是30。

分析：设中间两个圆中的数为a 、b ，则两个

大圆的总和是1＋2＋3＋„„＋10＋a ＋b ＝30×

2，即55＋a ＋b ＝60，a ＋b ＝5。在1～10这十个数中1＋4＝5，2＋3＝5。

当a 和b 是1和4时，每个大圆上另外四个数分别是（2，6，8，

9）和（3，5，7，10）；当a 和b 是2和3时，每个大圆上另外四个数分别为（1，5，9，10）和（4，6，7，8）。

例3. 将1～6这六个数分别填入下图的圆中，使每条直线上三个圆内数的和相等、且最大。

分析：设中间三个圆内的数是a 、b 、c 。因为计

算三条线上的和时，a 、b 、c 都被计算了两次，根

据题意可知：1＋2＋3＋4＋5＋6＋（a ＋b ＋c ）除

以3没有余数。1＋2＋3＋4＋5＋6＝21，21÷3＝7没有余数，那么a ＋b ＋c 的和除以3也应该没有余数。在1～6六个数中，

只有4＋5＋6的和最大，且除以3没有余数，因此a 、

b 、c 分别为4、5、6。

练习十

1. 把1～8八个数分别填入下图的○内，使每个大圆上五个○内数的和相等。

2. 把1～10这十个数分别填入下图的○内，使每个四边形顶点的○内四个数的和都相等，且和最大。

3. 将1～6六个数分别填入下图的○内，使每边上的三个○内数的和相等。

4. 将1～9九个数分别填入下图○内，使每边上四个○内数的和都是17。

第十一讲 合理安排

专题简析：我们每天的生活、学习都离不开时间，但是你知道时间有大学问吗？合理地安排时间，往往会达到事半功倍的效果。科学

地安排时间的方法，就叫做最佳安排。小朋友在进行最佳安排时，要考虑以下几个问题：（1）要做哪几件事：（2）做每件事需要的时间；

（3）要弄清所做事的程序，即先做什么，后做什么，哪些事可以同时做。在学习、生产和工作中，只有尽可能地节省时间、人力和物力，才能发挥出更大的效率。

例1. 明明早晨起来要完成以下几件事情：洗水壶1分钟，烧开水12分钟，把水灌入水瓶要2分钟，吃早点要8分钟，整理书包2分钟。应该怎样安排时间最少？最少要几分钟？

思路导航：经验表明：能同时做的事尽量要同时去做，这样节省时间。水壶不洗，不能烧开水，因而洗水壶不能和烧开水同时进行；而吃早点和整理书包可以和烧开水同时进行。这一过程可用方框图表示：

从图上可以看出，洗水壶要1分钟，接着烧开水要12分钟，在等水开的同时吃早点、整理书包，水开了就灌入水瓶，共需15分钟。

练习十一

1. 红红早晨起来刷牙洗脸要4分钟，读书要8分钟，烧开水要10分钟，冲牛奶1分钟，吃早饭5分钟。红红应怎样合理安排？起床多少分钟就能上学了？

2. 玲玲想给客人烧水沏茶。洗水壶要2分钟，烧开水要12分钟，买茶叶5分钟，洗茶杯要1分钟，冲茶要1分钟。要让客人尽早喝上茶，你认为最合理的安排需要多少分钟客人就能喝上茶了？

3. 用一个平底锅烙饼，锅上只能同时放两个饼。烙第一面需要2分钟，烙第二面需要1分钟。现在在烙三个饼，最少需要多少分钟？

4. 烤面包的架子上一次最多只能放两个面包，烤一个面包每面需要2分钟，那么烤三个面包最少需要多少分钟？

第十二讲 最大与最小

专题简析：在日常生活中，人们常常会遇到“路程最近”、“费用最省”、“面积最大”、“损耗最少”等问题，这些寻求极端结果或讨论怎样实现这些极端情形的问题，最终都可以归结成为：在一定范围内求最大值或最小值的问题，我们称这些问题为“最大最小问题”。

解答最大最小问题通常要用下面的方法：

1. 枚举比较法。当题中给定的范围较小时，我们可以将可能出现的情形一一举出再比较；2. 着眼于极端情形，即充分运动已有知识和生活常识，一下子从“极端”情形入手，缩短解题过程。

例1. 把1、2、3、„、16分别填进图中16个三角形里，使每边上7个小三角形内数的和相等。问这个和最大值是多少？

分析：为了方便描述，我们把图中部分三角形注上字母，从图中可以看出：中心处D 中填的数和三条边上的和没有关系，因此，应填最小的数1。而三个角上的a 、b 、c 六个三角形中的数都被用过两次，所以要尽可能填大数，即填11——16。然后根据“三角形三边上7个小三角形内数的和相等”这一条件，就可以计算出这个和的最大值了。（2＋3＋4＋„＋16＋11＋12＋13＋14＋15＋16）÷3＝72

练习十二

1. 将1、2、3、4、5、6六个数分别填入圆圈内，使三角形每条边上的和相等，这个和最大是多少？

2. 将5、6、7、8、9、10六个数分别填入圆圈内，使三角形每条边上的和相等，这个和最大是多少？

3. 把～8分别填入下图圆圈内，使每个大圆上的五个数的和相等，并且最大。

4. 把2～9分别填入下图圆圈内，使每个大圆上的五个数的和相等，并且最大。

第十三讲 长方形面积（一）

专题简析：

我们已经学会了计算长方形、正方形的面积，知道长方形的面积＝长×宽，正方形的面积＝边长×边长。利用这些知识我们能解决许多有关面积的问题。

在解答比较复杂的关于长方形、正方形的面积计算的问题时，生搬硬套公式往往不能奏效，可以添加辅助线或运用割补、转化等解题技巧。因此，敏锐的观察力和灵活的思维在解题中十分重要。

例1. 把一张长为4米，宽为3米的长方形木板，剪成一个面积最大的正方形。这个正方形木板的面积是多少平方米？

思路导航：要使剪成的正方形面积最大，就要使

4米

它的边长最长（如图），那么只能选原来的长方形宽为

边长，即正方形的边长是3米。正方形的面积：3×3

＝9米。 3米

例2. 学校里有一个正方形花坛，四周种了一圈绿篱，绿篱总长20米。花坛的面积是多少平方米？

思路导航：要求正方形花坛的面积，必须知道花坛的边长是多少。根据绿篱总长是20米，可求出花坛的边长为20÷4＝5米，所以花坛的面积是：5×5＝25平方米。

练习十三

1. 把一张长6厘米，宽4厘米的长方形纸剪成一个面积最大的正方形，这张正方形纸的面积是多少平方厘米？

2. 把一块长2米、宽6分米的长方形铁板切割成一个面积最大的正方形，这个正方形铁板的面积是多少？

3. 将一张长10厘米、宽8厘米的长方形纸片剪成一个面积最大的正方形，那么剪下的另一个小长方形的面积是多少？

4. 一个正方形的周长为36厘米，那么这个正方形的面积是多少平方厘米？

第十四讲 长方形面积（二）

例3. 求下面图形的面积。（单位：厘米）

1

4

23

思路导航：这个图形无法直接求出它的面积，我们可以画一条辅助线，将这个图形分割成两个长方形。如下图：

1

4

23

从图上可以看出，左边长方形的长为4厘米，宽为2厘米，面积为4×2＝8平方厘米；右边长方形的长为3厘米，宽为1厘米，面积为3×1＝3平方厘米。

所以，这个图形的面积为：8＋3＝11平方厘米。

想一想：这道题还可以怎样画辅助线，分割后求面积呢？

练习十四

1. 运动场有一个正方形的游泳池，在游泳池四周粘上瓷砖，瓷砖总长400米，求游泳池的面积是多少平方米。

2. 在公园里有两个花圃，它们的周长相等。其中长方形花圃长40米，宽20米，求另一个正方形花圃的面积。

3. 计算下面图形的面积。（单位：厘米）

40

(1)

20

1530

2

(2)

2

11

3