高中数学专题训练(一)--抽象函数

高中数学专题训练（一）——抽象函数1. 已知函数y = f (x )(x ∈R ，x ≠0) 对任意的非零实数x 1，x 2，恒有f (x 1x 2)=f (x 1)+f (x 2), 试判断f (x ) 的奇偶性。

2 已知定义在[-2，2]上的偶函数，f (x ) 在区间[0，2]上单调递减，若f (1-m )

3. 设f(x)是R 上的奇函数，且f(x+3) =-f(x)，求f(1998)的值。

4. 设函数

⎡1⎤

f （x ）对任意x 1, x 2∈⎢0, ⎥都有

⎣

2⎦

1

1

f （x 1+x 2) =f（x 1) ⋅f (x 2) ，

已知f （1）=2，求f （2), f (4);

5. 已知f （x ）是定义在R 上的函数，且满足：f （x+2）[1－f （x ）]=1+f（x ），f （1）=1997，求f （2001）的值。

6. 设f （x ）是定义R 在上的函数，对任意x ，y ∈R ，有 f（x+y）+f（x-y ）=2f（x ）f （y ）且f （0）≠0.

（1）求证f （0）=1；（2）求证：y=f（x ）为偶函数.

7. 已知定义在R 上的偶函数y=f(x)的一个递增区间为（2，6），试判断（4，8）是y=f(2-x)的递增区间还是递减区间？

8. 设f （x ）是定义在R 上的奇函数，且对任意a ，b ，当a+b≠0，都有f (a ) +f (b ) ＞0

a +b

（1）. 若a ＞b ，试比较f （a ）与f （b ）的大小；

（2）. 若f （k ⋅3x ) +f (3x -9x -2) ＜0对x ∈[－1，1]恒成立，求实数k 的取值范围。

9. 已知函数f (x ) 是定义在（-∞，3]上的减函数，已知f (a 2-sin x ) ≤f (a +1+cos 2x ) 对x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围。

10．已知函数f (x ), 当x , y ∈R 时，恒有f (x +y ) =f (x ) +f (y ) . (1)求证: f (x ) 是奇函数; (2)若f (-3) =a , 试用a 表示f (24).

11. 已知f (x ) 是定义在R 上的不恒为零的函数, 且对于任意的a , b ∈R , 都满足:

f (a ∙b ) =af (b ) +bf (a ) .(1)求f (0),f (1)的值;(2)判断f (x ) 的奇偶性, 并证明你的结论;

(3)若f (2)=2, u f (2-n )

n =n

(n ∈N *) , 求数列{u n }的前n 项和s n .

12. 已知定义域为R 的函数f (x ) 满足f (f (x ) -x 2+x )) =f (x ) -x 2+x . (1)若f (2)=3, 求f (1);又f (0)=a , 求f (a );

(2)设有且仅有一个实数x 0, 使得f (x 0) =x 0, 求函数f (x ) 的解析表达式.

111

13. 已知函数f (x ) 的定义域为R, 对任意实数m , n 都有f (m +n ) =f (m ) +f (n ) +, 且f () =0, 当x >

222

时, f (x ) >0.(1)求f (1);(2)求和f (1)+f (2)+f (3)+... +f (n ) (n ∈N *) ; (3)判断函数f (x ) 的单调性, 并证明.

14. 函数f (x ) 的定义域为R, 并满足以下条件:①对任意x ∈R , 有f (x ) >0;②对任意x , y ∈R , 有

1

f (xy ) =[f (x )]y ; ③f () >1.

3

(1)求f (0)的值; (2)求证: f (x ) 在R 上是单调减函数; (3)若a >b >c >0且b 2=ac , 求证:f (a ) +f (c ) >2f (b ) .

15. 已知函数f (x ) 的定义域为R, 对任意实数m , n 都有f (m +n ) =f (m ) ∙f (n ) , 且当x >0时, 01;(2)证明: f (x ) 在R 上单调递减;

(3)设A={(x , y ) f (x 2) ∙f (y 2) >f (1)},B={(x , y ) f (ax -y +2) =1, a ∈R },若A B =Φ, 试确定a 的取值范围.

16. 已知函数f (x ) 是定义在R 上的增函数, 设F (x ) =f (x ) -f (a -x ) . (1)用函数单调性的定义证明:F (x ) 是R 上的增函数;

a

(2)证明:函数y =F (x ) 的图象关于点(, 0) 成中心对称图形.

2

17. 已知函数f (x ) 是定义域为R 的奇函数, 且它的图象关于直线x =1对称. (1)求f (0)的值; (2)证明: 函数f (x ) 是周期函数;

(3)若f (x ) =x (0

18．函数f (x ) 对于x>0有意义，且满足条件f (2)=1, f (xy ) =f (x ) +f (y ), f (x ) 是减函数。 （1）证明：f (1)=0；（2）若f (x ) +f (x -3) ≥2成立，求x 的取值范围。

19．设函数f (x ) 在(-∞, +∞) 上满足f (2-x ) =f (2+x ) ，f (7-x ) =f (7+x ) ，且在闭区间［0，7］上，只有f (1)=f (3)=0．

（1）试判断函数y =f (x ) 的奇偶性；

（2）试求方程f (x ) =0在闭区间［-2005，2005］上的根的个数，并证明你的结论．

20. 已知函数f （x ）对任意实数x ，y ，均有f （x ＋y ）＝f （x ）＋f （y ），且当x ＞0时，f （x ）＞0，f （－1）＝－2，求f （x ）在区间[－2，1]上的值域。

21. 已知函数f （x ）对任意

，满足条件f （x ）＋f （y ）＝2 + f（x ＋y ），且当x ＞0时，

的解。

f （x ）＞2，f （3）＝5，求不等式

参考答案：

1. 解：令x 1= -1，x 2=x ，得f (-x )= f (-1)+ f (x ) ……①为了求f (-1)的值，令x 1=1，x 2=-1，则f (-1)=f (1)+f (-1),即f (1)=0,再令x 1=x 2=-1得f (1)=f (-1)+f (-1)=2f (-1) ∴f (-1)=0代入①式得 f (-x )=f (x ), 可得f (x ) 是一个偶函数。

2. 分析：根据函数的定义域，-m ，m ∈[-2,2]，但是1- m 和m 分别在[-2，0]和[0，2]的哪个区间内呢？如果就此讨论，将十分复杂，如果注意到偶函数，则f (x ) 有性质f （-x )= f (x )=f ( |x | )，就可避免一场大规模讨论。

解：∵f (x ) 是偶函数， f (1-m )

⎧-m >m ⎧1-2m +m 2>m 2

1⎪于是 ⎪，即 化简得-1≤m

0≤m ≤2⎩⎩

3. 解：因为f(x+3) =-f(x)，所以f(x+6)=f((x+3)+3) =-f(x+3)=f(x)，故6是函数f(x)的一个周期。又f(x)

是奇函数，且在x ＝0处有定义，所以f(x)=0从而f(1998)=f(6×333)=f(0)=0。

1⎤

4. 解：由f （x 1+x 2) =f（x 1) ⋅f (x 2) ，x 1, x 2∈⎡知 f（x ）=f（) ⋅f () ≥0，x ∈[0, 1] 0, ⎢⎥22⎣2⎦

111112

f (1) =f (+) =f () ⋅f () =[f ()] 22222， f（1）=2，

1

1142f (∴f () =2. 同理可得4) =2

2

x x

1

5. 解：从自变量值2001和1进行比较及根据已知条件来看，易联想到函数f （x ）是周期函数。由条件得f （x ）≠1，故

1+1-1+f (x )

, f （x+4）=1+f （x+2）=

1-f (x ) 1-

1-

1+

f (x )

1f (x ) =-f (x ) f (x ) . 所以f (x )

f （x+8）=-

1

=f (x ) .

f (x +4)

所以f （x ）是以8为周期的周期函数， 从而f （2001）=f（1）=1997

说明：这类问题出现应紧扣已知条件，需用数值或变量来迭代变换，经过有限次迭代可直接求出结果，或者在迭代过程中发现函数具有周期性，利用周期性使问题巧妙获解。

6. 证明：（1）问题为求函数值，只需令x=y=0即可得。

（2）问题中令x=0即得f （y ）+f（- y）=2f（0）f （y ）， 且f （0）=1.所以f （y ）+f（-y ）=2f（y ），因此y=f（x ）为偶函数.

说明：这类问题应抓住f （x ）与f （-x ）的关系，通过已知条件中等式进行变量赋值。

7. 解：由y=f(x)是偶函数且在（2，6）上递增可知，y=f(x)在（－6，－2）上递减。令u=2-x，则当x ∈(4,8)时，u 是减函数且u ∈(-6,-2)，而f(u)在（－6，－2）上递减，故y=f(2-x)在（4，8）上递增。所以（4，8）是y=f(2-x)的单调递增区间。

8. 解：（1）. 因为a ＞b ，所以a-b ＞0，由题意得

f (a ) +f (-b )

＞0，所以

a -b

f （a ）+f（－b ）＞0，又f （x ）是定义在R 上的奇函数，所以f （－b ）

=－f （b ）， f（a ）－f （b ）＞0，即f （a ）＞f （b ）

（2）. 由（1）知f （x ）在R 上是单调递增函数，又f (k ⋅3x ) ＋f (3x -9x -2) ＜0，得f (k ⋅3x ) ＜f (9x -3x +2) ，故k ⋅3x ＜9x -3x +2，所以k ＜3x +

2

3

x -1 令t ＝3x

∈[1

2

3

, 3], 所以k ＜t+-1，而t+2t t

≥22，即k ＜22－1

9. 解：f (a 2-sin x ) ≤f (a +1+cos 2x ) 等价于

⎧2

2

⎪a -sin x ≤3⎧a -3≤sin x ⎧

⎪⎨a +1+cos 2x ≤3⇒⎪a 2-3≤-1⎨a -2≤-cos 2x ⇒⎪⎨a -2≤0⇒

⎪⎩a 2-sin x ≥a +1+cos 2x ⎪⎩a 2-a -1≥cos 2x +sin x ⎪⎪⎩a 2-a -1≥

54

⎧

⎪⎪⎪

a ≤⎨a ≤2

⇒≤a ≤ ⎪

⎪a ≤a ≥⎪⎩

10. （1）证明：令y =-x ，得f (x -x ) =f (x ) +f (-x ) ⇒f (x ) +f (-x ) =f (0) 令x =y =0，则f (0)=2f (0)⇒f (0)=0

∴f (x ) +f (-x ) =0f (-x ) =-f (x ) ∴f (x ) 是奇函数。 （2）∵f (24)=f (3)+f (21)=2f (3)+f (18)=... =8f (3) 又∵f (-3) =a ⇒f (3)=-a ⇒f (24)=-8a 11. （1）解：令a =b =0，则f (0)=0 令a =b =1，则f (1)=2f (1)⇒f (1)=0

（2）证明：令a =b =-1，则f (1)=2f (-1) ，∵f (1)=0，∴f (-1) =0 令a =x , b =-1，则f (-x ) =xf (-1) -f (x ) =-f (x ) ∴f (x ) 是奇函数。 （3）当ab ≠0时，

f (a ∙b ) ab =f (b ) b +f (a )

f (x ) a

，令g (x ) =x ，则g (a ∙b ) =g (a ) +g (b )

故g (a n ) =ng (a ) ，所以f (a n ) =a n ∙g (a n ) =na n g (a ) =na n -1f (a )

f (2-n ) ⎛1⎫

∴u n == ⎪

n ⎝2⎭

n -1

1

∙f ()

2

⎛1⎫1

⎪+f (2)=0 ⎝2⎭2

n -1

1

∵f (2)=2, f (1)=f (2∙) =2f

2

11⎛1⎫⎛1⎫⎛1⎫

∴f ⎪=-f (2)=-，故u n = -⎪∙ ⎪

42⎝2⎭⎝2⎭⎝2⎭

n 1⎡⎛1⎫⎤-⎢1- ⎪⎥n 2⎣⎢⎝2⎭⎦⎥⎛1⎫

∴s n == ⎪-1(n ∈N *)

⎝2⎭1-2

(n ∈N *)

12. 解：(1)∵对任意x ∈R ，函数f (x ) 满足f (f (x ) -x 2+x )) =f (x ) -x 2+x ，且f (2)=2 ∴ f (f (2)-22+2) =f (2)-22+2, 则f (1)=1

∵f (0)=a ，∴f (f (0)-02+0) =f (0)-02+0=a -02+0⇒f(a)=a

(2) ∵对任意x ∈R ，函数f (x ) 满足f (f (x ) -x 2+x )) =f (x ) -x 2+x , 有且仅有一个实数x 0, 使得

f (x 0) =x 0

∴对任意x ∈R ，有f (x ) -x 2+x =x 0 上式中，令x =x 0，则f (x 0) -x 02+x 0=x 0 ∵f (x 0) =x 0，故x 0-x 02=0⇒x 0=0或x 0=1

若x 0=0，则f (x ) -x 2+x =0，则f (x ) =x 2-x ，但方程x 2-x =x 有两个不相同的实根与题设茅盾，故x 0≠0

若x 0=1，则f (x ) -x 2+x =1，则f (x ) =x 2-x +1，此时方程x 2-x +1=x ⇒(x -1) 2=0有两个相等的实根，即有且仅有一个实数x 0, 使得f (x 0) =x 0 ∴f (x ) =x 2-x +1(x ∈R )

111111，则f (+) =2f () +⇒f (1)= 2222221111

（2）∵f (1)=, f (n +1) =f (1)+f (n ) +=+f (n ) +=f (n ) +1

2222

13. （1）解：令m =n =

∴f (n +1) -f (n ) =1 ∴数列{f (n ) }是以

1

为首项,1为公差的等差数列, 故 2

n 2n n (n -1) == f (1)+f (2)+f (3)+... +f (n ) =+

222

(3)任取x 1, x 2∈R , 且x 1

f (x 2) -f (x 1) =f [(x 2-x 1) +x 1]-f (x 1) =f (x 2-x 1) +f (x 1) +

11

-f (x 1) =f (x 2-x 1) + 22

=f (x -x 1

21+2

) >0

∴f (x 1)

∴函数f (x ) 是R 上的单调增函数.

14.(1)解: ∵对任意x ∈R , 有f (x ) >0, ∴令x =0, y =2得, f (0)=[f (0)]2⇒f (0)=1 (2)任取任取x 1, x 2∈R , 且x 1

3p x 1

1, 2=3

p 2, 故p 1

0;②对任意x , y ∈R , 有

f (xy ) =[f (x )]y ; ③f (1

3) >1

∴f (x -f (x 13p 111

1) 2) =f (1) -f (3p 2) =[f (3)]p 1-[f (3

)]p 2>0

∴f (x 1) >f (x 2)

∴函数f (x ) 是R 上的单调减函数.

(3) 由（1）（2）知，f (b ) >f (0)=1，∴f (b ) >1

∵f (a ) =f (b ∙a a ⎛c ⎫

c

b ) =[f (b ) ]b , f (c ) = ⎝b ∙b ⎪⎭

=[f (b ) ]b

a

c ∴f (a ) +f (c ) =[f (b ) ]b

+[

f (b ) ]b

>

a +c >==2b

∴

>=2f (b )

∴f (a ) +f (c ) >2f (b )

15. (1)证明:令m =0, n =1, 则f (0+1) =f (0)∙f (1)

∵当x >0时, 00, ∴f (0)=1, ∵当x >0时, 00, 则f (-x +x ) =f (-x ) ∙f (x ) ⇒f (x ) =f (0)1

f (-x ) =f (-x )

>1 (2)证明: 任取x 1, x 2∈R , 且x 1

f (x 2) -f (x 1) =f [(x 2-x 1) +x 1]-f (x 1) =f (x 2-x 1) ∙f (x 1) -f (x 1) =[f (x 2-x 1) -1]f (x 1)

∵x 2-x 1>0, ∴00,

∴[f (x 2-x 1) -1]f (x 1) >0, 故f (x 1) >f (x 2)

∴函数f (x ) 是R 上的单调减函数.

(3) ∵A =(x , y ) f (x 2) ∙f (y 2) >f (1)⇒(x , y ) f (x 2+y 2) >f (1)

由（2）知，f (x ) 是R 上的减函数，∴x 2+y 2

∵B={(x , y ) f (ax -y +2) =1, a ∈R }={(x , y )ax -y +2=0, a ∈R }

又∵A B =∅， {}{}

⎧x 2+y 2

⎩ax -y +2=0

∴≥1⇒a 2≤3⇒

-a ≤a 的取值范围是

≤a ≤16.(1)任取x 1, x 2∈R , 且x 1

F (x 1) -F (x 2) =[f (x 1) -f (a -x 1)]-[f (x 2) -f (a -x 2) =[[f (x 1) -f (x 2)]+[f (a -x 1) -f (a -x 2)] ∵x 1-x 2, ∴a -x 1>a -x 2,

又∵函数f (x ) 是定义在R 上的增函数, ∴f (-x 1) >f (-x 2) , f (a -x 1) >f (a -x 2)

故f (x 1) -f (x 2) >0, f (a -x 1) -f (a -x 2) >0

∴[f (x 1) -f (x 2)]+[f (a -x 1) -f (a -x 2)]>0

∴F (x ) 是R 上的增函数;

a (2)设M (x 0, y 0) 为函数y =F (x ) 的图象上任一点, 则点M (x 0, y 0) 关于点(, 0) 的对称点为N(m , n ), 2

则

y +n a x 0+m =,0=0, 故m =a -x 0, n =-y 0 222

∵把m =a -x 0, 代入F (x ) =f (x ) -f (a -x ) 得, f (a -x 0) -f (a -a +x 0) =f (a -x 0) -f (x 0) =-y 0

a ∴函数y =F (x ) 的图象关于点(, 0) 成中心对称图形. 2

17.(1)解:∵f (x ) 为R 上的奇函数, ∴对任意x ∈R , 都有f (-x ) =-f (x ) , 令x =0, 则f (-0) =-f (0) 11

∴f (0)=0

(2)证明: ∵f (x ) 为R 上的奇函数, ∴对任意x ∈R , 都有f (-x ) =-f (x ) ,

∵f (x ) 的图象关于直线x =1对称, ∴对任意x ∈R , 都有f (1+x ) =f (1-x ) ,

∴ 用1+x 代x 得, f (2+x ) =f [1-(1+x )]=f (-x ) =-f (x )

∴f [2+(2+x )]=-f (x +2) =-[-f (x )]=f (x ) , 即f (4+x ) =f (x )

∴f (x ) 是周期函数,4是其周期.

(3)当x ∈[-1,3)时，f (x ) =⎧⎨x (-1≤x ≤1)

⎩-x +2(1

当4k -1≤x ≤4k +1时，f (x ) =x -4k ，k ∈Z

当4k +1

∴f (x ) =⎧⎨x -4k (4k -1≤x ≤4k +1)

⎩-x +2-4k (4k +1

图象如下：

x

18.(1)证明：令x =y =1，则f (1⨯1) =f (1)+f (1)，故f (1)=0

（2）∵f (2)=1，令x =y =2，则f (2⨯2) =f (2)+f (2)=2， ∴f (4)=2

∴f (x ) +f (x -3) ≥2⇒f [x (x -3)]≥f (4)⇒f (x 2-3x ) ≥f (4)⇒x 2-3x ≤4⇒-1≤x ≤4

∴f (x ) +f (x -3) ≥2成立的x 的取值范围是-1≤x ≤3。

19．解:（1）由f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)得函数y =f (x ) 的对称轴为x =2和x =7,

12

从而知函数y =f (x ) 不是奇函数,

⎧f (2-x ) =f (2+x ) ⎧f (x ) =f (4-x ) 由⎨⇒⎨⇒f (4-x ) =f (14-x ) f (7-x ) =f (7+x ) f (x ) =f (14-x ) ⎩⎩

⇒f (x ) =f (x +10) , 从而知函数y =f (x ) 的周期为T =10

又f (3) =f (0) =0, 而f (7) ≠0, 故函数y =f (x ) 是非奇非偶函数;

⎧f (2-x ) =f (2+x ) ⎧f (x ) =f (4-x ) (2)由⎨⇒⎨⇒f (4-x ) =f (14-x ) ⇒f (x ) =f (x +10) f (7-x ) =f (7+x ) f (x ) =f (14-x ) ⎩⎩

又f (3) =f (0) =0, f (11) =f (13) =f (-7) =f (-9) =0

故f(x)在[0,10]和[-10,0]上均有有两个解, 从而可知函数y =f (x ) 在[0,2005]上有402个解, 在[-2005.0]上有400个解, 所以函数y =f (x ) 在[-2005,2005]上有802个解.

20. 解：设∵

∴在条件中，令y ＝－x ，则，即，∵当， ，∴f （x ）为增函数。 ，再令x ＝y ＝0，则f （0）＝2 f （0），∴ f （0），∴， ＝0，故f （－x ）＝f （x ），f （x ）为奇函数，

∴ f （1）＝－f （－1）＝2，又f （－2）＝2 f （－1）＝－4，

∴ f （x ）的值域为［－4，2］。

21. 解：

设，∵

当，

∴

，

即，∴，

则f （x ）为单调增函数。

∵

， 又∵f （3）＝5，∴f （1）

＝3。∴3。

，∴， 即，解得不等式的解为－1

13