河北工业大学 半导体物理第三章习题及答案

第三章习题和答案

1. 计算能量在E=Ec 到E =E C +解：

3

100π 2m L

*n

22

之间单位体积中的量子态数。

g (E ) =

V （2m ）22π

2

*n

1

3

(E -E C ) 2

d Z =g (E ) dE 单位体积内的量子态数

E c +

100π 2m n l

2

Z 0=

E c +

100h 8m n l

2*2

d Z V

3

*2

Z 0=

1V

⎰g (E ) dE

E C

3*

=

⎰

E C

3V （2m ）22π

2

*n

1

3

(E -E C ) 2dE

=

V （2m n ）222π

2

3

3

(E -E C )

E c +E c

100h

*

22

8m n L

=

1000π3L

3

2. 试证明实际硅、锗中导带底附近状态密度公式为式（3-6）。

2. 证明：si 、G e 半导体的E （IC ）~K 关系为E （k ）=E C +C 令k =(

'

x

h

2

2

2

(

k x +k y

m t

' y

22

+

*

k z

2

ml

)

'

m a m t

'

*

)

k x , k =(

h

2

m a m t

)

2

k y , k z =(

'

2

m a m l

)

k z

则：E c (k ) =E c +

'

2m a

*

(k x +k y +k z " )

' '

2

在k 系中, 等能面仍为球形等能面

在k 系中的态密度

1h

'

⎛m ⋅m ⋅m ' t l

g (k ) = t

3* m a

⎝⎫⎪⎪⎭

2

V

k =

'

2m a (E -E C )

*

在E ~E +dE 空间的状态数等于状态数。

k 空间所包含的

' ' ' ' 2即d z =g (k ) ∙∇Vk =g (k ) ∙4πk dk

⎡2(m ⋅m ⋅m )

' t t l

⎢∴g (E ) ==4π∙2 dE h ⎢⎣

dz

1

3 对于si 导带底在100个方向，有六个对称的 锗在（111）方向有四个，

2m n 3' ∴g (E ) =sg (E ) =4π(2) (E -E c ) 2V

*

⎤

⎥⎥⎦

(E -E c ) 2V

旋转椭球，

1

h

m =s

*n

2

[m

2t

m l

3. 当E-E F 为1.5k 0T ，4k 0T, 10k 0T 时，分别用费米分布函数和玻耳兹曼分布函数计算电子占据各该能级的概率。

4. 画出-78o C 、室温（27 oC ）、500 oC 三个温度下的费米分布函数曲线，并进行比较。 y=(1.38065e-23)*(273.15-78)*log(1./x-1);(图中红色)

y=(1.38065e-23)*(273.15+27)*log(1./x-1); （图中粗蓝色） y=(1.38065e-23)*(273.15+300)*log(1./x-1); （图中细蓝色）

5. 利用表3-2中的m n ，m p 数值，计算硅、锗、砷化镓在室温下的N C , NV 以及本征载

*

*

流子的浓度。

Ge：N c =1.05×1019cm -3 Nv =5.7×1018cm -3 Ni =2.0×1013cm -3 Si：N c =2.80×1019cm -3 Nv =1.1×1019cm -3 Ni =7.8×109cm -3 GaAs: Nc =4.5×1017cm -3 Nv =8.1×1018cm -3 Ni =2.3×106cm -3

6. 计算硅在-78 oC ，27 oC ，300 oC 时的本征费米能级，假定它在禁带中间合理吗？

Si 的本征费米能级，

E C +E V

2

*

⎧2πk 0Tm n ) ⎪N C =2(2

h

⎪

*

2πk 0Tm p 3⎪

) 2⎨N V =2(2

h ⎪

E g

⎪-⎪n i =(N c N v ) e 2koT ⎩

**

⎧Ge :m n =0. 56m 0; m p =0. 37m 0; E g =0. 67ev ⎪⎪**

⎨Si :m n =1. 08m 0; m p =0. 59m 0; E g =1. 12ev ⎪**GaAs :m =0. 068m ; m =0. 47m 0; E g =1. 428ev ⎪n 0p ⎩

[Si :m

+3k 0T 4

*

n

=1. 062m 0, m p =0. 591m 0m p m n

**

*

]

E F =E i =

ln

当T 1=195K 时，k 0T 1=0. 016eV ,

3k 0T 43k 0T 44

ln

0. 59m 01. 08m 00. 591. 080. 591. 08

=-0. 0072eV

当T 2=300K 时，k 0T 2=0. 026eV ,

ln =-0. 01166eV =-0. 022eV

当T 2=573K 时，k 0T 3=0. 0497eV ,

3k 0T

ln

所以假设本征费米能级在禁带中间合理，特别是温度不太高的情况下。 7. ①在室温下，锗的有效态密度N c =1.05⨯1019cm -3，N V =5.7⨯1018cm -3，试求锗的载流子有效质量m *n m*p 。计算77K 时的N C 和N V 。 已知300K 时，E g =0.67eV。77k 时E g =0.76eV。求这两个温度时锗的本征载流子浓度。②77K 时，锗的电子浓度为10cm ，假定受主浓度为零，而E c -E D =0.01eV，求锗中施主浓度E D 为多少？

17

-3

7（. 1）根据N c =2(N v =2(

2πk 0Tm

h h

2

2

*

p

2πk 0Tm n

h

2

*

)

3

)

3

得

2

m n =

*

⎡N c ⎤3-31

=5. 1⨯10kg ⎢⎥2πk 0T ⎣2⎦h

2

2⎡N v ⎤*

m p =⎢⎥

2πk 0T ⎣2⎦

=3. 39⨯10

-31

kg

（2）77K 时的N C 、N V =N （300K ）C

'

N （77K ）C

'

T T

' 33

∴N C =N C ∙N V =N V ∙'

77300

3

）=1. 05⨯10

18

319

⨯77300

77300

3

）=1. 37⨯10

17

318

/cm

3

3

77300

）=5. 7⨯10⨯）=7. 41⨯10/cm

(3) n i =(N c N v )

1

e

-

Eg 2koT

0. 672k 0⨯300

室温：n i =(1. 05⨯10

19

⨯5. 7⨯10

18

18

)

1

-e )

=1. 96⨯10

13

/cm

-7

3

∴N D =n 0(1+277K 时，n i =(1. 37⨯10n 0=N c exp(-

+

⨯7. 41⨯10

-E C -E F k 0T

17

-2

0. 762k 0⨯77

e =1. 42⨯10/cm

3

E C -E F

k 0T

) 则有e N D

-E D -E F k 0T

=

n 0N C

N D

-

E D -E c +E C -E F

k 0T

同时有n 0=n D =

=1+2e

17

=1+2⋅

N D n 0N C

∆E D

1+2exp n 0N C

e

k 0T

exp(

∆E D k 0T

)) =10(1+2⨯

10

17

18

1. 37⨯10

exp(

0. 010. 0067

)) =1. 65⨯10

17

/cm

3

8. 利用题 7所给的N c 和N V 数值及E g =0.67eV，求温度为300K 和500K 时，含施主浓度N D =5⨯1015cm -3，受主浓度N A =2⨯109cm -3的锗中电子及空穴浓度为多少？

p 0=

E g =E g (0K ) -

4. 774⨯10

-4

T

E g

2

T +235

1

-∴E g (0)=0. 74eV E g (500K )=0. 60eV =2. 0⨯10

300K 时：n i =(N c N V ) 500K 时：n i =(N C N V ) 根据电中性条件：⎧n 0-p 0-N D +N

⎨2⎩n 0p 0=n i ∴n 0=

n i

N D -N

2

2

A

A '

'

e e

2k 0T

e g 2k 0T

13

/cm /cm

3

1

-

=1. 6⨯10

163

=0

→n 0-n 0(N D -N A ) -n i =0

2

22

⎡N -N A 22⎤+⎢(D ) +n i ⎥

2⎣⎦

n 0

153

⎧⎪n 0≈5⨯10/cm

T =300K 时：⎨10

⎪⎩p 0=7. 68⨯10/cm 153⎧⎪n 0=9. 84⨯10/cm

t =500K 时：⎨153

⎪⎩p 0=4. 84⨯10/cm

3

其中：300K 时，n 0=N D -N A +p 0≈N D =5×1015cm -3 p 0=

n i

2

n 0

=

(1. 96⨯10) 5⨯10

15

132

=7. 68⨯10

10

cm

-3

9.计算施主杂质浓度分别为1016cm 3，,1018 cm-3，1019cm -3的硅在室温下的费米能级，

并假定杂质是全部电离，再用算出的的费米能 级核对一下，上述假定是否在每一种情况下都成立。计算时，取施主能级在导带底下的面的0.05eV 。

9. 解假设杂质全部由强电

离区的E F

10%=N D =10

19

E F =E c +k 0T ln

N D N C

193

⎧⎪N C =2. 8⨯10/cm

, T =300K 时, ⎨

103

⎪⎩n i =1. 5⨯10/cm

或E F =E i +k 0T ln N D =10N D =10N D =10

16

3

N D N i

,

101010

16

19

/cm ; E F =E c +0. 026ln /cm ; E F =E c +0. 026ln /cm ; E F =E c +0. 026ln

33

2. 8⨯10

18

=E c -0. 21eV =E c -0. 087eV =E c -0. 027eV

为90%,10%占据施主

18

2. 8⨯10

19

19

19

2. 8⨯10

19

(2) E C -E D =0. 05eV 施主杂质全部电离标准n D N D

=1+n D N D

+

112

E D -E F

是否≤10%

e

k 0T

或=1+2e

1

-

E D -E F

k 0T

≥90%

N D =10

16

:

n D N D

=1+

112

E D -E C +0. 21

=1+

112

0. 16

=0. 42%成立

e

0. 026

e 0. 026

N D =10

18

:

n D N D n D N D

=1+=1+

11212

0. 037

=32. 5%不成立

e 0. 0261

-0. 023

:=82. 9%〉10%不成立

e

0. 026

（2）求出硅中施主在室温下D -=(

2N D N C 2N D N C

1618

'

全部电离的上限

质数的百分比）

) exp

∆E D k 0T 0. 050. 026

(未电离施主占总电离杂

0. 1N C

2

-0. 05

exp

, N D =

1717

3

exp

0. 026

=2. 05⨯10

17

/cm

3

N D =10小于2. 05⨯10

19

cm 全部电离cm 没有全部电离

3

N D =10, 10〉2. 05⨯10

（ 2）也可比较E D 与E F ，E D -E F 〉〉k ０T 全电离

' '

N D =10N D =10

1618

/cm ; E D -E F =-0. 05+0. 21=0. 16〉〉0. 026成立，全电离/cm ; E D -E F =0. 037~0. 026E F 在E D 之下，但没有全电离

3

3

193 N D =10/cm ; E D -E F =-0. 023〈0. 026，E F 在E D 之上，大部分没有电离

10. 以施主杂质电离90%作为强电离的标准，求掺砷的n 型锗在300K 时，以杂质电

离为主的饱和区掺杂质的浓度范围。

10. 解

As 的电离能∆E D =0. 0127eV , N C =1. 05⨯10

19

/cm

3

室温300K 以下，As 杂质全部电离的掺杂上

2N D ∆E D D -=exp()

N C k 0T

限

10%=

2N D N C

exp

0. 01270. 026

-0. 0127

-0. 0127

∴N D 上限=

0. 1N C

2

e

0. 026

=

0. 1⨯1. 05⨯10

2

13

3

19

e

0. 026

=3. 22⨯10电离

17

/cm

3

As 掺杂浓度超过

N D 上限的部分，在室温下不能n i =2. 4⨯10

/cm

Ge 的本征浓度

∴As 的掺杂浓度范围

10n i ~N D 上限，即有效掺杂浓度为

2. 4⨯10

14

~3. 22⨯10

17

/cm

3

11. 若锗中施主杂质电离能∆E D =0.01eV，施主杂质浓度分别为N D =1014cm -3及

1017cm -3。计算①99%电离；②90%电离；③50%电离时温度各为多少？

[解]未电离杂质占的百分比为：

D _=

2N D Nc

exp

∆E D k 0T

⇒

∆E D k 0T

＝ln

D _Nc 2N D

；

求得：

∆E D k 0T

=

0. 01T 1. 38⨯10

*

n 03

-23

⨯1. 6⨯10

-19

=

116T

；

3

Nc =

2(2πm k T ) 2

h

15

3

3

=2⨯10(T 2) /cm

3

153

∴

116T

=ln

14

D _Nc 2N D

-3

=ln(

D _⨯2⨯10

2N D

⨯T

2

) =ln(

10

15

N D

D _T 2)

(1) N D =10cm ，99%电离，即D_=1-99%=0.01

116T

3

=ln(10T 2) =

-1

32

ln T -2. 3

即：

116T

17

=

32

-3

ln T -2. 3, T ＝37.2K

将N D =10cm ，D_=0.01代入得：

116T

3

=ln 10T

4

2

=

32

ln T -4ln 10

即：

116T

=

32

ln T -9. 2, T=536K

(2) 90%时，D_=0.1

N D =10

14

cm

-3

-

∆E D k 0T

3

=ln

0. 1Nc 2N D

14

3

116T

=ln

0. 1⨯2⨯10

2N D

15

T

2

=ln

10

N D

T

2

即：

116T

=

32

ln T , T=24.3K 116T

=32

ln T -3ln 10

N D =1017cm -3得：即：

116T

=32

ln T -6. 9； T=160.5K

(3) 50％电离不能再用上式 ∵n D =n D =

+

N D 2

N D

即：

1+

12

exp(

E D -E F

k 0T

=)

N D

1+2exp(-

E D -E F

k 0T

)

∴exp(

E D -E F

k 0T

) =4exp(-

E D -E F

k 0T

)

E D -E F

k 0T

=ln 4-

E D -E F

k 0T

即：E F =E D -k 0T ln 2

n 0=Nc exp(-

E c -E F

k 0T

) =

N D 2

取对数后得：

-

E C -E D +k 0T ln 2

k T

=ln

N D 2Nc

0整理得下式：

∆E D ∴

∆E D k -ln 2=ln

N D 0T

2Nc

k =ln

N D

0T

Nc

即：

∆E D k =ln

Nc 0T

N

D

当N 14

-3

D ＝10cm 时，

3

1163

T

=ln

2⨯10

15

⨯T

2

10

14

=ln(20T 2) =

32

ln T +ln 20

得116=3T

2

ln T +3 ,T=16K

当N 116D ＝1017cm -3时

T

=32

ln T -3. 9 ,T=25k

12. 若硅中施主杂质电离能∆E D =0.04eV，施主杂质浓度分别为1015cm -3，算①99%电离；②90%电离；③50%电离时温度各为多少？

18cm -3。计

10

13. 有一块掺磷的 n型硅，N D =1015cm -3, 分别计算温度为①77K ；②300K ；③500K ；④

800K 时导带中电子浓度（本征载流子浓度数值查图3-7） 解：查出N C =2.8×10cm ，

77K 时，为低温弱电离区：

N C . (77K ) =N C (300K ) ⋅(

77300

3

19-3

) 2=2. 5⨯10

19

⨯(

77300

12

3

) 2=3. 64⨯10

18

cm-3

公式n 0=(

N D N C

2

-∆E D

)

1/2

e

2k 0T

=

⎝

-3

⎛10

15

⨯3. 64⨯10

2

18

⎫2⨯1. 38⨯10-23⨯7715-3

⎪e =1.54×10cm ⎪⎭

-0. 044⨯1. 6⨯10

-19

这样，出现n 0>ND =10cm , 跟假设的n 型半导体处于低温弱电离区矛盾。

+

根据：n 0=n D 可以得到：

15

-

E C -E F k 0T

-

E C -E D k 0T

-

E D -E F k 0T

-

∆E D k 0T

-

E D -E F k 0T

N C e =N C e

⋅e

=N C e

-19

⋅e =

N D

- E D -E F k 0T

1+2e

代入数值有：3. 64⨯10⨯e

E D -E F k 0T

18

-

0.044⨯1.6⨯101.38⨯10

-23

-

E D -E F k 0T

⨯77

⨯e =

101+2e

15E D -E F k 0T

-

解出：e

-

=0.1575 ∴n 0=

10

15

1+2⨯0. 1575

=7.60×10cm

14

-3

14. 计算含有施主杂质浓度为N D =9⨯1015cm -3，及受主杂质浓度为1.1⨯1016cm 3，的硅在

33K 时的电子和空穴浓度以及费米能级的位置。

解：T =300K 时，Si 的本征载流子浓度掺杂浓度远大于本征载p 0=N

A

n i =1. 5⨯10

10

cm

-3

,

流子浓度，处于强电离

15

饱和区

-N D =2⨯10

5

cm

-3

-3

n 0=

n i

2

p 0

=1. 125⨯10cm

p 0N v

2⨯10

1519

E F -E V =-k 0T ln

=-0. 026ln p 0n i

1. 1⨯10

=0. 224eV

1510

或：E F -E i =-k 0T ln

=-0. 026ln

2⨯10

1. 5⨯10

=-0. 336eV

15. 掺有浓度为每立方米为1022硼原子的硅材料，分别计算①300K ；②600K 时费米

能级的位置及多子和少子浓度（本征载流子浓度数值查图3-7）。

16. 掺有浓度为每立方米为1.5⨯10砷原子 和每立方米5⨯10铟的锗材料，分别计

23

22

算①300K ；②600K 时费米能级的位置及多子和少子浓度（本征载流子浓度数值查图3-7）。

解：N D =1.5⨯10cm 300K :n i =2⨯10cm

1317

-3

, N A =5⨯10cm

16-3

-3

杂质在300K 能够全部电离，杂质浓度远大于本征载流子浓度，所以处于强电离饱和区n 0=N D -N A =1⨯10cm p 0=

n i

2

17

-3

n 0

=

4⨯101⨯10

26

17

=10cm N D IFF N C

9-3

E F -E C =k 0T ln =k 0T ln

n 0N C

=-0.12eV

600K :n i =2⨯10cm

17-3

本征载流子浓度与掺杂浓度接近，处于过度区

n 0+N

A

=p 0+N D

2

n 0p 0=n i n 0=p 0=

N D -N n i

2

A

+

(N D -N A ) +4n i

2

22

=2. 6⨯10

17

n 0

=1. 6⨯10

17

E F -E i =k 0T ln

n 0n i

=0. 052ln

2. 6⨯102⨯10

17

17

=0. 0136eV

17. 施主浓度为1013cm 3的n 型硅，计算400K 时本征载流子浓度、多子浓度、少子浓

度和费米能级的位置。

18. 掺磷的n 型硅，已知磷的电离能为0.044eV ，求室温下杂质一半电离时费米能级

17. si :N D =10

13

/cm , 400K 时，n i =1⨯10

2

313

/cm (查表）

13

3

⎧n 0-p 0-N D =0N D 1

, n =+⎨02

22⎩n 0p 0=n i p 0=

n i

2

N D +4n i =1. 62⨯10

2

n o

=6. 17⨯10

n 0n i

12

/cm

3

E F -E i =k 0T ln

=0. 035⨯ln

1. 62⨯101⨯10

13

13

=0. 0167eV

的位置和浓度。

n D =2

18. 解：n D =

1+

12e N D

E D -E F

koT

=2 E F =E D -koT ln 2

E D -E F

N D 则有e

koT

E F =E D -koT ln 2=(E C -∆E D ) -koT ln 2=E C -0. 044-0. 026ln 2=E c -0. 062eV

E C -E F koT

0. 0620. 026

si :E g =1. 12eV , E F -E i =0. 534eV

n 0=N c e

-

=2. 8⨯10

19

⨯e

-

=2. 58⨯10cm

183

n =50%N ∴N =5. 16⨯1018/cm 3

0D D

19. 求室温下掺锑的n 型硅，使E F =（E C +ED ）/2时锑的浓度。已知锑的电离能为0.039eV 。 . 解：19 E F =

∴E C -E F =E C -

E C +E D

2E C +E D

2

=

2E C -E C -E D

2

=

E C -E D

2

=0. 0392

=0. 0195

发生弱减并∴n 0=N c =2. 8⨯10

19

2

⎡E F -E C ⎤

F 1⎢⎥=N C

k T π2⎣0⎦

23. 14

+

2

18

F 1(-0. 75)

2

⨯⨯0. 3=9. 48⨯10/cm

3

求用：n 0=n D

E F -E D =2N C

F

12

E C +E D

2

-E D =

E C -E D

2

=0. 0195

π

⎡E F -E C ⎤N D =⎢⎥

⎣k 0T ⎦1+2exp(E F -E D )

k 0T

N ∴

=

D

=

2N C

⎡E F -E C ⎤E F -E D

F 1⎢1+2exp(）⎥

k T k T 00⎦2⎣⎡-0. 0195

⎢0. 026⎣

0. 0195⎤19

1+2exp ）=6. 5⨯10/cm ⎥0. 026⎦

3

2N C

F

12

20. 制造晶体管一般是在高杂质浓度的n 型衬底上外延一层n 型外延层，再在外延

层中扩散硼、磷而成的。

（1）设n 型硅单晶衬底是掺锑的，锑的电离能为0.039eV ，300K 时的E F 位于导带

下面0.026eV 处，计算锑的浓度和导带中电子浓度。

（2）设n 型外延层杂质均匀分布，杂质浓度为4.6⨯1015cm -3, 计算300K 时E F 的位

置及电子和空穴浓度。

（3）在外延层中扩散硼后，硼的浓度分布随样品深度变化。设扩散层某一深度处

硼浓度为5.2⨯1015cm -3, 计算300K 时E F 的位置及电子和空穴浓度。

（4）如温度升到500K ，计算③中电子和空穴的浓度（本征载流子浓度数值查图

3-7）。

n 0=

∴N D =n 0(1+2exp(

20（. 1）E C -E F =0. 026eV =k 0T ，发生弱简并∴n 0=

+

2N c

F 1(-1) =

2

2⨯2. 8⨯10

3. 14

19

⨯0. 3=9. 48⨯10

18

/cm

3

n 0=n D =

N D

1+2exp(

E F -E D

k 0T

)

0. 013

E F -E D

k 0T

) =n 0(1+2e 0. 026) =4. 07⨯10

19

/cm

3

(2) 300K 时杂质全部电离E F =E c +k 0T ln

N D N C

1510

=E C -0. 227eV /cm )

2

3

n 0=N D =4. 6⨯10p 0=

n i

2

n 0

2

=

(1. 5⨯10

4. 6⨯10

A

15

=4. 89⨯10/cm

15

43

（3）p 0=N

n i p 0

=

-N D =5. 2⨯10

1014

-4. 6⨯10

5

15

=6⨯10

14

/cm

3

(1. 5⨯106⨯10

)

2

=3. 75⨯10/cm =0. 026ln

14

6⨯10

1410

3

E F -E i =-k 0T ln

p 0n i

1. 5⨯10

=-0. 276eV

(4) 500K 时：n i =4⨯10n 0+N

A

cm

-3

, 处于过度区

=p 0+N D

2

n 0p 0=n i

p 0=8⨯10n 0=2⨯10

1414

p 0n i

=-0. 0245eV

E E -E i =-k 0T ln

21. 试计算掺磷的硅、锗在室温下开始发生弱简并时的杂质浓度为多少？ 21. 2N C F ⎡E F -E C

1⎢

k 0T π2⎣

发生弱减并E C -E F =2k 0T N D =

si

⎤N D =⎥

⎦1+2exp(E F -E D )

k 0T

2N C

=

-0. 008

⎡⎤

F 1(-2) ⎢1+2e 0. 026⎥2⎣⎦

19

-0. 008

18

3

2⨯2. 8⨯10

3. 14

⨯0. 1⨯(1+2e

19

0. 026

) =7. 81⨯10/cm （Si )

N D Ge =

2⨯1. 05⨯10

3. 14

-0. 0394

⎡⎤183

F 1(-2) ⎢1+2e 0. 026⎥=1. 7⨯10/cm (Ge ) 2⎣⎦

22. 利用上题结果，计算掺磷的硅、锗的室温下开始发生弱简并时有多少施主发生电离？导带中电子浓度为多少？

n 0=n D =

+

N D

1+2exp(

+

D

E F -E D

k 0T

180. 0080. 026

18

)

18

-3

cm

Si :n 0=n

=

7. 81⨯101+2e

-

=3. 1⨯10

Ge :n 0=n D =

+

1. 7⨯101+2e

-

0. 03940. 026

=1. 18⨯10

18

cm

-3