数学高考临近,给你提个醒2
数学高考临近,给你提个醒!!
1.函数的定义
(1)映射的定义: d.比较f(x)与f(x)或f(x)与f(x)的关系。 Ⅱ图象法 ③已知:H(x)f(x)g(x)
若非零函数f(x),g(x)的奇偶性相同,则在公共定义域内H(x)为偶函数
(2) 一一映射的定义:
上面中是映射的是_____________,是一一映射的是____________。
(3)函数的定义:(课本第一册上.P51) 2.函数的性质 (1)定义域:(南师大P32复习目标) (2)值域:
(3)奇偶性(在整个定义域内考虑) ①定义:
②判断方法:Ⅰ.定义法 步骤:a.求出定义域;
b.判断定义域是否关于原点对称; c.求f(x);
若非零函数f(x),g(x)的奇偶性相反,则在公共定义域内H(x)为奇函数 ④常用的结论:若f(x)是奇函数,且0定义域,则f(0)0或f(1)f(1);
若f(x)是偶函数,则f(1)f(1);反之不然。
4)单调性(在定义域的某一个子集内考虑) ①定义:
②证明函数单调性的方法: Ⅰ.定义法 步骤:
a.设x1,x2A且x1x2; b.作差f(x1)f(x2);
(一般结果要分解为若干个因式的乘积,且每一个因式的正或负号能清楚地判断出) c.判断正负号。
Ⅱ用导数证明: 若f(x)在某个区间A内有导数, 则f’(x)0,(xA)f(x)在A内为增函数; f’(x)0,(xA)f(x)在A内为减函数。
③求单调区间的方法:
a.定义法: b.导数法: c.图象法:
(
d.复合函数yfg(x)在公共定义域上的单调性:
若f与g的单调性相同,则fg(x)为增函数; 若f与g的单调性相反,则fg(x)为减函数。
注意:先求定义域,单调区间是定义域的子集。
④一些有用的结论:
a.奇函数在其对称区间上的单调性相同; b.偶函数在其对称区间上的单调性相反; c.在公共定义域内
增函数f(x)增函数g(x)是增函数; 减函数f(x)减函数g(x)是减函数; 增函数f(x)减函数g(x)是增函数; 减函数f(x)增函数g(x)是减函数。
d.函数yax
b
x
(a0,b0)在,ab或ab,
上单调递增;在
ab,0或0ab
上是单调递减。
5)函数的周期性
定义:若T为非零常数,对于定义域内的任一x,使f(xT)f(x)恒成立 则f(x)叫做周期函数,T叫做这个函数的一个周期。
例:(1)若函数f(x)在R上是奇函数,且在1
,0上是增函数,且f(x2)f(x) 则①f(x)关于对称;②f(x)的周期为
③f(x)在(1,2)是 函数(增、减);
④若x(0,1)时,
f(x)=2x,则f(log18
1) 2
(2)设f(x)是定义在(,)上,以2为周期的周期函数,且f(x)为偶函数,
在区间[2,3]上,f(x)=2(x3)24,则x[0,2]时,f(x)。
3、函数的图象
1、基本函数的图象:(1)一次函数、(2)二次函数、(3)反比例函数、(4)指数函数、(5)
对数函数、(6)三角函数。
2、图象的变换 (1)平移变换
①函数yf(xa),(a0)的图象是把函数yf(x)的图象沿x轴向左平
移a个单位得到的;
②函数yf(xa),(a0)的图象是把函数yf(x)的图象沿x轴向右平
移a个单位得到的
; ③函数yf(x)a,(a0)的图象是把函数yf(x)的图象沿y轴向上平
移a个单位得到的;
④函数yf(x)a,(a0)的图象是把函数yf(x)的图象沿y轴向下平
移a个单位得到的。
(2)对称变换
①函数yf(x)与函数yf(x)的图象关于直线x=0对称;
函数yf(x)与函数yf(x)的图象关于直线y=0对称; 函数yf(x)与函数yf(x)的图象关于坐标原点对称;
(
②如果函数yf(x)对于一切xR,都有f(xa)f(xa),那么yf(x) 的图象关于直线xa对称。
③函数yf(ax)与函数yf(ax)的图象关于直线xa对称。 ④yf(x)yf(x)
⑤yf(x)yf(x)
⑥yf
1
(x)与yf(x)关于直线yx对称。 3)伸缩变换
①yaf(x),(a0)的图象,可将yf(x)的图象上的每一点的纵坐标伸长
(a1)或缩短(0a1)到原来的a倍。
②yf(ax),(a0)的图象,可将yf(x)的图象上的每一点的横坐标伸长
(0a1)或缩短(a1)到原来的1
a
倍。
例:(1)已知函数yf(x)的图象过点(1,1),则f(4x)的反函数的图象过
点 。
(2)由函数y(1xx
2)的图象,通过怎样的变换得到ylog2的图象?
4、函数的反函数 1 、求反函数的步骤: ①求原函数yf(x),(xA)的值域B
②把yf(x)看作方程,解出x(y);
③x,y互换的yf(x)的反函数为yf
1
(x),(xB)。 2、函数与反函数之间的一个有用的结论:f
1
(a)bf(b)a
3、原函数yf(x)在区间[a,a]上单调递增,则一定存在反函数,且反函数
yf1(x)也单调递增;但一个函数存在反函数,此函数不一定单调。
例1:y3log(1x)
2
,(x0)的反函数为
2:已知f(x)x2
2x3,(x0),求yf(2x1)的反函数。
3:设f(x)9x
23x
,则f1
(0) 。
4:四十五分钟能力训练题十(13题)。
5、函数、方程与不等式
(
22
注意:①根据要求先画出抛物线,然后写出图象成立的充要条件。
1、“实系数一元二次方程axbxc0有实数解”转化为“b4ac0”,你
是否注意到必须a0;当a=0时,“方程有解”不能转化为b2
4ac0。若
原题中没有指出是“二次”方程、函数或不等式,你是否考虑到二次项系数可能为零
的情形?
2、利用二次函数的图象和性质,讨论一元二次方程实根的分布。 设x1,x2为方程f(x)0,(a0)的两个实根。 ①若x1m,x2m,则f(m)0;
②当在区间(m,n)内有且只有一个实根,时,
(1)f(m)f(n)0
(2)考虑端点,验证端点。
③当在区间(m,n)内有且只有两个实根时,
0 mb
2an f(m)0 f(n)0
④若
f(m)f(n)0f(p)f(q)0
mx1npx2q时
②注意端点,验证端点。
例:1、对于定义在R上的函数f(x)
4xm
x2
1
,若其所以的函数值都不超过1,则m的取值范围 。
2、已知函数ylog[ax2(ax)1
24]
的定义域是一切实数,则
a
3、若关于x的方程2
2x
2xaa10有实根,则a 。
4、设集合A=xx2
4x30
,B是关于x的不等式组
x22xa0
x50
的解集,试确定a的取值范围,使AB。x2
2(a7) 5、已知方程x2
mxm10的两个根为一个三角形两内角的正切值,
试求m的取值范围。