初中七年级上册有理数-正数负数绝对值
⒈正数和负数的概念
负数:比0小的数 正数:比0大的数 0既不是正数,也不是负数
注意:①字母a 可以表示任意数,当a 表示正数时,-a 是负数;当a 表示负数时,-a 是正数;当a 表示0时,-a 仍是0。(如果出判断题为:带正号的数是正数,带负号的数是负数,这种说法是错误的,例如+a,-a就不能做出简单判断)
②正数有时也可以在前面加“+”,有时“+”省略不写。所以省略“+”的正数的符号是正号。
2. 具有相反意义的量
若正数表示某种意义的量,则负数可以表示具有与该正数相反意义的量,比如: 零上8℃表示为:+8℃;零下8℃表示为:-8℃
3.0表示的意义 ⑴0表示“ 没有”,如教室里有0个人,就是说教室里没有人; ⑵0是正数和负数的分界线,0既不是正数,也不是负数。如:
(3) 0表示一个确切的量。如:0℃以及有些题目中的基准,比如以海平面为基准,则0米就表示海平面。
二. 有理数
1. 有理数的概念
⑴正整数、0、负整数统称为整数(0和正整数统称为自然数) ⑵正分数和负分数统称为分数
⑶正整数,0,负整数,正分数,负分数都可以写成分数的形式,这样的数称为有理数。
理解:只有能化成分数的数才是有理数。①π是无限不循环小数,不能写成分数形式,不是有理数。②有限小数和无限循环小数都可化成分数,都是有理数。3,整数也能化成分数,也是有理数
注意:引入负数以后,奇数和偶数的范围也扩大了,像-2,-4,-6,-8„也是偶数,-1,-3,-5„也是奇数。
2. 有理数的分类
⑴按有理数的意义分类 ⑵按正、负来分
正整数 整数正有理数正分数
有理数有理数(0不能忽视) 负整数 分数负有理数负分数 总结:①正整数、0统称为非负整数(也叫自然数) ②负整数、0统称为非正整数 ③正有理数、0统称为非负有理数 ④负有理数、0统称为非正有理数
三. 数轴
⒈数轴的概念
规定了原点,正方向,单位长度的直线叫做数轴。
注意:⑴数轴是一条向两端无限延伸的直线;⑵原点、正方向、单位长度是数轴的三要素,三者缺一不可;⑶同一数轴上的单位长度要统一;⑷数轴的三要素都是根据实际需要规定的。
2.数轴上的点与有理数的关系
⑴所有的有理数都可以用数轴上的点来表示,正有理数可用原点右边的点表示,负有理数可用原点左边的点表示,0用原点表示。
⑵所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来,但数轴上的点不都表示有理数,也就是说,有理数与数轴上的点不是一一对应关系。(如,数轴上的点π不是有理数)
3. 利用数轴表示两数大小
⑴在数轴上数的大小比较,右边的数总比左边的数大; ⑵正数都大于0,负数都小于0,正数大于负数;
⑶两个负数比较,距离原点远的数比距离原点近的数小。
4. 数轴上特殊的最大(小)数
⑴最小的自然数是0,无最大的自然数; ⑵最小的正整数是1,无最大的正整数; ⑶最大的负整数是-1,无最小的负整数
5.a 可以表示什么数
⑴a>0表示a 是正数;反之,a 是正数,则a>0; ⑵a
四. 相反数
⒈相反数
只有符号不同的两个数叫做互为相反数,其中一个是另一个的相反数,0的相反数是0。 注意:⑴相反数是成对出现的;⑵相反数只有符号不同,若一个为正,则另一个为负; ⑶0的相反数是它本身;相反数为本身的数是0。
2. 相反数的性质与判定
⑴任何数都有相反数,且只有一个; ⑵0的相反数是0;
⑶互为相反数的两数和为0,和为0的两数互为相反数,即a ,b 互为相反数,则a+b=0
3. 相反数的几何意义
在数轴上与原点距离相等的两点表示的两个数,是互为相反数;互为相反数的两个数,在数轴上的对应点(0除外)在原点两旁,并且与原点的距离相等。0的相反数对应原点;原点表示0的相反数。 说明:在数轴上,表示互为相反数的两个点关于原点对称。
4. 相反数的求法
⑴求一个数的相反数,只要在它的前面添上负号“-”即可求得(如:5的相反数是-5); ⑵求多个数的和或差的相反数时,要用括号括起来再添“-”,然后化简 ⑶求前面带“-”的单个数,也应先用括号括起来再添“-”,然后化简(如:-5的相反数是-(-5),
化简得5)
5. 相反数的表示方法
⑴一般地,数a 的相反数是-a ,其中a 是任意有理数,可以是正数、负数或0。 当a>0时,-a0(负数的相反数是正数) 当a=0时,-a=0,(0的相反数是0)
五. 绝对值
⒈绝对值的几何定义
一般地,数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做a 的绝对值,记作|a|。
2. 绝对值的代数定义
⑴一个正数的绝对值是它本身; ⑵一个负数的绝对值是它的相反数; ⑶0的绝对值是0.
可用字母表示为:
①如果a>0,那么|a|=a; ②如果a
①:a ≥0, |a|=a (非负数的绝对值等于本身;绝对值等于本身的数是非负数。)
②a ≤0, |a|=-a (非正数的绝对值等于其相反数;绝对值等于其相反数的数是非正数。)
3. 绝对值的性质
任何一个有理数的绝对值都是非负数,也就是说绝对值具有非负性。所以,a 取任何有理数,都有|a|≥0。即⑴0的绝对值是0;绝对值是0的数是0. 即:a=0 |a|=0;
⑵一个数的绝对值是非负数,绝对值最小的数是0. 即:|a|≥0; ⑶任何数的绝对值都不小于原数。即:|a|≥a ;
⑷绝对值是相同正数的数有两个,它们互为相反数。即:若|x|=a(a>0),则x=±a ; ⑸互为相反数的两数的绝对值相等。即:|-a|=|a|或若a+b=0,则|a|=|b|; ⑹绝对值相等的两数相等或互为相反数。即:|a|=|b|,则a=b或a=-b;
⑺若几个数的绝对值的和等于0,则这几个数就同时为0。即|a|+|b|=0,则a=0且b=0。 (非负数的常用性质:若几个非负数的和为0,则有且只有这几个非负数同时为0)
经典考题
已知|a+3|+|2b-2|+|c-1|=0,求a+b+c的值
解:因为|a+3|≥0,|2b-2|≥0,|c-1|≥0,且|a+3|+|2b-2|+|c-1|=0
所以|a+3|=0 ,|2b-2|=0 ,|c-1|=0 即a=-3 ,b=1 ,c=1 所以a+b+c=-3+1+1=-1
4. 有理数大小的比较
⑴利用数轴比较两个数的大小:数轴上的两个数相比较,左边的总比右边的小;
⑵利用绝对值比较两个负数的大小:两个负数比较大小,绝对值大的反而小;异号两数比较大小,正数大于负数。
5. 绝对值的化简
①当a ≥0时, |a|=a ; ②当a ≤0时, |a|=-a
6. 已知一个数的绝对值,求这个数
一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点到原点的距离,一般地,绝对值为同一个正数的有理数有两个,它们互为相反数,绝对值为0的数是0,没有绝对值为负数的数。如:|a|=5,则a=土5
典型题型
1. 下面是关于0的一些说法,其中正确说法的个数是( )
①0既不是正数也不是负数; ②0是最小的自然数; ③0是最小的正数; ④0是最小的非负数; ⑤0既不是奇数也不是偶数. A 、0
B、1 C、2 D、3
2. 某仓库运进面粉7.5吨记作+7.5吨,那么运出3.8吨应记作 。
3. 长江某水文检测站, 正常水位是10m, 规定高于正常水位记为正, 低于正常水位记为负. 记录表上有3次记录分别为+1.5,0,-1.6,这三次记录表示的实际水位分别是 .
4. 把下列数分别填在对应的括号内: 13,-0.5,2.7,123,0,
27 ,-4, . 54
(1)分数( ); (2)负整数( ); (3)正分数( ); (4)有理数( )
5.找规律1,-2,3,-4,5,-6,7,-8 ,„„„其中第199个数为 ,第2016个数 ,规律是 ;
6
.给定一列按规律排列的数:A .
B.
C.
„,则这列数的第
6个数是( )
D.
7.若|x+2|+|y-3|=0,则 x-y的值为( )
A .5 B.-5 C.1或-1 D.以上都不对
8.数轴上的点A 到-2的距离是6,则点A 表示的数为( ) A.4或-8 B.4 C.-8 D.6或-6
9.若│a │+│b │=0,则a 与b 的大小关系是( )
A.a=b=0 B.a与b 不相等 C.a,b 异号 D.a,b 互为相反数
10.已知│x │=4,│y │=5,且x >y ,则的值为( )
A. -13 B.+13 C.-3或+13 D.+3或-13
11. 下列说法错误的是( )
A. 最小自然数是0 B.最大的负整数是-1 C.没有最小的负数 D.最小的整数是0
12. 在数轴上,原点左边的点表示的数是( )
A. 正数 B.负数 C.非正数 D.非负数
13. 从数轴上看,0是( )
A. 最小的整数 B.最大的负数 C.最小的有理数 D.最小的非负数
14:(1)原点表示的数是______. (2)原点右边的数是_____,左边的数是_____. (3)指出数轴上A.B.C.D.E 各点分别表示什么数:
解:A 点表示______,B 点表示______,C 点表示______,D 点表示______,E 点表示______.
15. 下列说法错误的是( )
A.所有的有理数都可以用数轴上的点表示 B.在数轴上表示–3的点于表示+1的点的距离是2 C.数轴上的原点表示零 D.数轴上表示-3
16. 用“>”. “
(1)9 -16;(2)—
17. 像2和 -2,5和 -5这样,只有符合不同的两个数叫做互为________.这就是说,2的相反数是
______ ,-2的相反数是________; 5的相反数是________,-5的相反数是______ .
18. 如果a +b =0,那么a ,b 两个实数一定是 ( )
A. 都等于0 B.一正一负 C.互为相反数 D.互为倒数 19. 若
互为相反数,则
.
11
的点,在原单位左边3个单位 44
72
—;(3)0 —6 . 1515
20.若a =7,b =5,则a -b 的值为 ( ) A.2
B .12 C.2或12
D .2或12或-12或-2
21. 若a =-3,则 -a =( )
A. -3 B.3 C. -3或3 D.以上都不对
22.(1) +1= ; -3. 5= ; 0=
5 (2) -8+-2= ; -6÷-3= ; -6. 5--51= .
2
23. 下列各数:+(-1),-[+(-3)],-A.1个
24. 下列化简错误的是 ( ) A.-(-3)=3
B.2个
,-(-m),+
C.3个
, 其中正数有 ( )
D.4个
B.+(-3)=-3 D.+{-[+(-3)]}=3
C.-[-(+3)]=-3
25. 若|a|=-a,则有理数a 在数轴上的对应点一定在 ( ) A. 原点左侧 C. 原点右侧
26. 在数轴上,表示数x 的点与表示数1的点的距离等于2,其几何意义可表示为:x -1=2,这样的数x 可以是-1或3.
(1)等式x -2=1的几何意义可仿上解释为:在数轴上____________________________,其中x 的值可以是______________.
(2)等式x +3=2的几何意义可仿上解释为:在数轴上____________________________,其中x 的值可以是______________.
(3)在数轴上,表示数x 的点与表示数-2的点的距离等于3,其中x 的值可以是_______,其几何意义可以表示为 .
27.a,b 互为相反数且a 是正数, 在数轴上表示a,b 的点相距14个单位长度, 那么b 为 .
28. 比较-,-, 的大小, 结果正确的是 ( ) A.-
29. 有理数m,n 在数轴上的位置如图所示
,
B.-
D.-
B. 原点或原点左侧 D. 原点或原点右侧
比较大小:-m -n.
30.有下列说法:①若a ,b 互为相反数,则a +b =0;②若a +b =0,则a ,b 互为相反数;③若a ,b 互为相反数,则=-11,则a ,b 互为相反数.其中正确的有( ) A .②③④ B.①②③ C .①②④ D.①②
31.若a ,b 为有理数,a >0,b 32.比较大小:
(1)-4.3__ __+1; (2)0__ __-2.5; (3)-5.7__ __-5.77;
a b a b
⎪1⎪1(4)-π__ __-3.14; (5)|+2.1|_ __|-2.1|; (6)⎪+__ __⎪-; ⎪8⎪⎪7⎪⎛5⎪6(7)- +__ __-⎪-; (8)-|-2|__ __-(-2) .
⎝7⎭⎪7⎪
11
33.若0<a <1,则a ,-a ,的大小关系是 (用“>”连接) .
a a
34. 在体育课上对初一男生进行引体向上测试,以做6次为标准(合格线为6次),超过数用
正数表示,不足的用负数表示,其中8名男生成绩如下:
(1)这8名男生共做了多少引体向上?
(2)这8名男生达到合格的百分率是多少?
35. 小蚂蚁从某点O 出发在一直线上来回爬行,假定向右爬行的路程记为正数,向左爬行的路程记为负数,爬过的各段路程依次为(单位:厘米):
+5,-3,+2,-3,-1
(1)小蚂蚁最后在出发点的哪一边?离开出发点O 相距多少厘米?(请借助数轴) (2)在爬行过程中,如果爬1厘米奖励两粒芝麻,则小蚂蚁一共得到多少粒芝麻?
巩固练习题
一. 选择题
1. 下列各组数中, 互为相反数的是( ) A.-和-
B.-(+5)和+(+5)
C.-(-3)和+(+3)
D.-4和-(+4)
2. 绝对值是它本身的数是 ( ) A. 所有负数 C. 所有正数
B.0 D. 非负数
3. 若|-x|=2016,则x 的值是 ( ) A.2 016
B.-2 016
C. ±2 016
D.
1 2016
4.数a 的相反数等于数a ,则下列说法正确的是( ) A .数a 一定是正数 B.数a 一定是负数 C .数a 一定不是整数 D.数a 一定是0
5.在数轴上,与表示数-1的点的距离是2的点所表示的数是( ) A .1 B.3 C.±2 D.1或-3
6.数轴上表示整数的点称为整点.某数轴的单位长度是1 cm ,若在这条数轴上随意画出一条长为2016 cm 的线段AB ,则线段AB 盖住的整点的个数是( ) A .2014个或2015个 B.2015个或2016个 C .2016个或2017个 D.2017个或2018个
7.下列说法错误的是( )
A .一个正数的绝对值一定是正数 B.任何数的绝对值都是正数 C .一个负数的绝对值一定是正数 D.任何数的绝对值都不是负数
8.已知有理数a ,b 在数轴上的位置如图所示,则(
)
A .b 9.如果m 为有理数,且-m >m ,那么( ) A .0
10
.给定一列按规律排列的数:A .
B.
C.
„,则这列数的第
6个数是( )
D.
11.若|x+2|+|y-3|=0,则 x-y的值为( )
A .5 B.-5 C.1或-1 D.以上都不对
12.观察图中中每一个正方形各顶点所标数字的规律,2016应标在(
)
A .第503个正方形左上角顶点处 B .第503个正方形右上角顶点处
C .第504个正方形左上角顶点处 D .第504个正方形右上角顶点处
二. 填空题 1.-2
2.比较大小:-
3. 化简下列各式.
(1)+|+9|= . (2)+|-2.6|= . (3)-|+3.3|= . (4)-= .
111
的倒数是-2的相反数是-2的绝对值是 333
1128
-; .
1337633
4.点A 在数轴上所表示的数是m ,将点A 向右移动7个单位后所表示的数是3,则m =__ __.
5.已知a ,b 互为相反数,则3a -4+3b =__ __.
6.若|x |=|-7|,则x =__ _;若|x -7|=2,则x = .
7.大于-2的最小整数为__ __,小于-3.56的最大整数为__ __.
8.绝对值大于1而不大于4的整数有
9.观察下面一列数,根据规律写出横线上的数:
-;;-
111211
;; ; ;„„;第2016个数是 . 34
10.已知a 与b 互为相反数, n 的绝对值是2,则2a -n +2b = .
11. 当a >0时,a ____-a ;当a =0时,a ____-a ;当a
12.如图,根据有理数a 、b 、c 在数轴上的位置,判断a b c 的大小关系 .
13.在数轴上,点A 、B 分别表示 -3和2,则A 、B 之间的距离是 个单位长度.
14. 按规律填数:
(1)1,-4,9,-16,_________, ________; (2)0,3,8,15,24,_________, ________.
15.已知x 与y 互为相反数,m 与n
_ __.
16.古希腊数学家将数:1,3,6,10,15,21,28,„,叫做三角形数,它有一定的规律性,
第24个三角形数与第22个三角形数的差为 .
17.如图所
示的运算程序中,若开始输入的x 的值为10,我们发现第一次输出的结果
为5,第二次输出的结果为8,,则第10次输出的结果为
三. 解答题 1.计算:
⎪1⎪1⎪(1)|-7.25|-⎪-; (2)|-19|×|-5|×⎪+⎪. ⎪2⎪⎪5⎪
2.已知x ,y 是有理数,且满足|3-x |+|y +15|=0. 求3x +2y 的值.
EVER-YE-EDU dongguan
3. 某地探空气球的气象观测资料表明,高度每增加1千米,气温大约降低6℃.若该地地面温度为21℃,高空某处温度为-39℃,求此处的高度是多少千米?
4. 学校对初一男生进行立定跳远的测试,以能跳170cm 及以上为达标,超过170cm 的厘米数用正数表示,不足170cm 的厘米数用负数表示.
第一组10名男生成绩如下(单位cm ):
5. 一只小虫从某点P 出发,在一条直线上来回爬行,假定把向右爬行的路程记为正数,向左爬行的路程记为负数,则爬行各段路程(单位:厘米)依次为:+5,-3,+10,-8,-6,+12,-10。
(1)通过计算说明小虫是否能回到起点P 。
(2)如果小虫爬行的速度为0.5厘米/秒,那么小虫共爬行了多长时间?
问:第一组有百分之几的学生达标? 他们的平均成绩是多少?