高一数学(下)期末解三角形练习题

1 在△ABC 中，若C =900, a =6, B =300，则c -b 等于（ ）

1 B -1 C 23 D -2

2 若A 为△ABC 的内角，则下列函数中一定取正值的是（ ） s i n A B c o s A

C t a n A D

1

t a n A

3 在△ABC 中，角A , B 均为锐角，且cos A >sin B ,

则△ABC 的形状是（ ）

直角三角形 B 锐角三角形 C 钝角三角形 D 等腰三角形

4 等腰三角形一腰上的高是，这条高与底边的夹角为60，

则底边长为（ ） 2 B

3

C 3 D 2 2

5 在△ABC 中，若b =2a sin B ，则A 等于（ ）

30或60 B 45或60 C 120或60 30或150

00

00

00

00

6 边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（ ）

90 B 120 C 135 D 150

参考答案

一、选择题

b 00

1

C =tan 30, b =a tan 30=c =2b =c -b =a

2 A 00

3 C cos A =sin(

π

2

-A ) >sin B ,

π

2

-A , B 都是锐角，则

π

2

-A >B , A +B

π

2

, C >

π

2

4 D 作出图形

5 D b =2a sin B ,sin B =2sin A sin B ,sin A =

1

, A =300或1500 2

52+82-721

=, θ=600,1800-600=1200为所求 6 B 设中间角为θ，则cos θ=

2⨯5⨯82

7△ABC 的三边分别为a ，b ，c 且满足b 2＝ac, 2b ＝a ＋c ，则此三角形是( )

A ．等腰三角形 B ．直角三角形

C ．等腰直角三角形

D ．等边三角形

解析：∵2b ＝a ＋c ，∴4b 2＝(a ＋c ) 2， 又∵b 2＝ac ，∴(a －c ) 2＝0. ∴a ＝c . ∴2b ＝a ＋c ＝2a . ∴b ＝a ，即a ＝b ＝c . 答案：D

8△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠B ＝30°，则△ABC 的面积等于( )

A. C. 23

3 2

133

sin C ＝sin30°sin C 2

B. D. 43324

解析：

∵0°

(1)当C ＝60°时，A ＝90°，∴BC ＝2，此时，S △ABC ＝(2)当C ＝120°时，A ＝30°， 13

S △ABC ＝3×1×sin30°＝24答案：D

a

9在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a ，b ，c ，若b 2＋c 2－bc ＝a 2，且3，则角C

b 的值为( )

A ．45° C ．90°

B ．60° D ．120°

3

2

解析：由b 2＋c 2－bc ＝a 2，得b 2＋c 2－a 2＝bc ， b 2＋c 2－a 21

∴cos A ＝，∴A ＝60°.

2bc 2a sin A

又3，∴＝3， b sin B

∴sin B ＝

3331

A ＝×

3322

∴B ＝30°，∴C ＝180°－A －B ＝90°. 答案：C

10如图，四边形ABCD 中，∠B ＝∠C ＝120°，AB ＝4，BC ＝CD ＝2，则该四边形的面积等于( )

A. 3

B ．53 C ．63 D ．3

解析：连接BD ，在△BCD 中，BC ＝CD ＝2，∠BCD ＝120°， ∴∠CBD ＝30°，BD ＝23， 1

S △BCD 2×2×sin120°3.

2

在△ABD 中，∠ABD ＝120°－30°＝90°， AB ＝4，BD ＝23，

11∴S △ABD ＝AB ·BD ＝×4×23＝43，

22∴四边形ABCD 的面积是3. 答案：B

11△ABC 中，若cos(2B ＋C ) ＋2sin A sin B ＝0，则△ABC 中一定是( ) A ．锐角三角形 C ．直角三角形

B ．钝角三角形 D ．等腰三角形

解析：∵cos(2B ＋C ) ＝cos(B ＋π－A ) ＝－cos(B －A ) ＝－cos A cos B －sin A sin B ， ∴cos(2B ＋C ) ＋2sin A sin B ＝－cos A cos B ＋sin A sin B ＝0， π

即cos(A ＋B ) ＝0. ∴A ＋B ＝.

2答案：

C

12如图，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A 、B 两点的距离为( )

A ．2m C ．2m 解析：由正弦定理得

B ．3m 252

D. 2

AB AC

，

sin ∠ACB sin B

250×

2AC ·sin ∠ACB

∴AB ＝2(m)．

sin B 1

2答案：A

二、填空题

1 在Rt △ABC 中，C =90，则sin A sin B 的最大值是_______________

2 在△ABC 中，若a 2=b 2+bc +c 2, 则A =

3 在△ABC 中，若b =2, B =300, C =1350, 则a =_________

4 在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C =7∶8∶13，则C =_____________

1

111 sin A sin B =sin A cos A =sin 2A ≤ 222

b 2+c 2-a 21

A ==-A , =2 120 c o s

2bc 2

102 0

3

6-

2 A =150,

a b b sin A 2

=, a ==4sin A =4sin150=4⨯

sin A sin B sin B 4

4 120 a ∶b ∶c =sin A ∶sin B ∶sin C =7∶8∶13，

a 2+b 2-c 21

=-, C =1200 令a =7k , b =8k , c =13k cos C =

2ab 2

π1

5在△ABC 中，若b ＝5，∠B ＝，sin A ＝，则a ＝________.

43a b a 552

解析： 由正弦定理有：a ＝.

sin A sin B 132

32

52答案：3

6如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝2，BC ＝23，点D 在BC 边上，∠ADC ＝45°

，则AD 的长度等于________．

解析： 在△ABC 中，由余弦定理，有

AC 2＋BC 2－AB 2(23)23cos C ＝＝ACB ＝30°.

2AC ·BC 2×2×32

在△ACD 中，由正弦定理，有 AD AC

， sin C sin ∠ADC

122AC ·sin30°

∴AD ＝2，即AD 2.

sin45°2

2答案：2

三、解答题

1在△ABC 中，cos A =-

53，cos B =． 135

（Ⅰ）求sin C 的值； （Ⅱ）设BC =5，求△ABC 的面积．

51234，得sin A =，由cos B =，得sin B =． 131355

16

所以sin C =sin(A +B ) =sin A cos B +cos A sin B =．

65

45⨯

BC ⨯sin B =13． （Ⅱ）由正弦定理得AC ==

sin A 313

1131681

=． 所以△ABC 的面积S =⨯BC ⨯AC ⨯sin C =⨯5⨯⨯

236532

1解：（Ⅰ）由cos A =-

2在锐角△ABC 中，求证：sin A +sin B +sin C >cos A +cos B +cos

2 证明：∵△ABC 是锐角三角形，∴A +B > ∴sin A >sin(

π

2

, 即

π

2

>A >

π

2

-B >0

-B ) ，即sin A >cos B ；同理sin B >cos C ；sin C >cos A 2

∴sin A +sin B +sin C >cos A +cos B +cos C

π

1

3在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos2C ＝－4

(1)求sin C 的值；

(2)当a ＝2,2sin A ＝sin C 时，求b 及c 的长． 1

解：(1)因为cos2C ＝1－2sin 2C ＝－0

4所以sin C ＝

. 4

a c

(2)当a ＝2,2sin A ＝sin C 时，由正弦定理＝，得c ＝4.

sin A sin C 1

由cos2C ＝2cos 2C －1＝－0

46

得cos C ＝.

4

由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， 得b 26b －12＝0. 解得b 6或26，

⎧b 6，⎧b ＝26，所以⎨或⎨

⎩c ＝4⎩c ＝4.

4在∆ABC 中，A , B , C 的对边分别是a , b , c ，已知3a cos A =c cos B +b cos C .

（1）求cos A 的值； (2)若a =1, cos B +cos C =

2，求边c 的值． 3

解（1）由 3a cos A =c cos B +b cos C 正弦定理得：

3sin A cos A =sin C cos B +sin B cos C =sin(B +C )

所以3sin A cos A =sin A ，又sin A ≠0，所以cos A =

1。 3

（2）由（1

）得sin A ==

， 又由cos B +cos C =

22，cos(π

-A -C ) +cos C =得cos(A +C ) +cos C =

33展开得：cos A cos C -sin A sin C +cos C =

，

3

22

所以cos C C =sin C +cos C =1且sin C >

0，解得sin C =

， 3

而

a c =

，所以c = sin A sin C 6某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O 北偏西30°且与该港口相距20海里的A 处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v 海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t 小时与轮船相遇．(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？

(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小) ，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．

解：解法一：(1)设相遇时小艇航行的距离为S 海里， 则S ＝900t ＋400－2·30t ·20·cos (90°－30°) ＝900t －600t ＋400＝

900(t －2＋300.

3

110故当t ＝S min ＝103，此时v ＝303，

31

3

即小艇以303海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．

(2)设小艇与轮船在B 处相遇，

则v 2t 2＝400＋900t 2－2·20·30t ·cos(90°－30°) ， 600400故v 2＝900－.

t t

600400

∵0

t t 2322

即≤0，解得t ≥又t ＝v ＝30， t t 332故v ＝30时，t .

3此时，在△OAB 中，有OA ＝OB ＝AB ＝20. 故可设计航行方案如下：

航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇．

解法二：(1)若相遇时小艇的航行距离最小，又轮船沿正东方向匀速行驶， 则小艇航行方向为正北方向． 设小艇与轮船在C 处相遇，

在Rt △OAC 中，OC ＝20cos30°＝103，AC ＝20sin30°＝10， 又AC ＝30t ，OC ＝v t ，

10110此时，轮船航行时间t ，v ＝303，

3031

3

即小艇以303海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．

(2)猜想v ＝30时，小艇能以最短时间与轮船在D 处相遇，此时AD ＝DO ＝30t . 又∠OAD ＝60°，

2所以AD ＝DO ＝OA ＝20，解得t ＝3

据此可设计航行方案如下：

航行方向为北偏东30°，航行速度的大小为30海里/小时， 这样，小艇能以最短时间与轮船相遇． 证明如下：

如图，由(1)得OC ＝10，AC ＝10， 故OC >AC ，且对于线段AC 上任意点P ，

有OP ≥OC >AC . 而小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，故小艇与轮船不可能在A ，C 之间(包含C ) 的任意位置相遇．

设∠COD ＝θ(0°

10则在Rt △COD 中，CD ＝103tan θ，OD cos θ

10＋3tan θ103

由于从出发到相遇，轮船与小艇所需要的时间分别为t ＝和t ，

30v cos θ10＋3tan θ103

所以＝.

303

由此可得，v ＝sin (θ＋30°)又v ≤30，故sin(θ＋30°) ≥

3

. 从而，30°≤θ

3. 3

由于θ＝30°时，tan θ10＋

10θ2于是，当θ＝30°时，t ＝303

解法三：(1)同解法一或解法二． (2)设小艇与轮船在B 处相遇，

依据题意得：v 2t 2＝400＋900t 2－2·20·30t ·cos(90°－30°) ，

(v 2－900) t 2＋600t －400＝0.

①若0

从而，t ＝，v ∈3，30) ．

v －900－300－20v －675

ⅰ当t ＝

v －900令x ＝v －675，则x ∈[0,15)， t ＝

－300－20x －204

≥，

x －225x －153

当且仅当x ＝0，即v ＝153时等号成立． －300＋20v －67524ⅱ当t ＝

由ⅰⅱ得，当v ∈[153，30) 时，t >.

32

②若v ＝30，则t ＝；

3

2

综合①②可知，当v ＝30时，t 取最小值，且最小值等于.

3此时，在△OAB 中，OA ＝OB ＝AB ＝20，

航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇．

高中数学（必修5）第一章：解三角形

1．1正弦定理与余弦定理 [基础训练A 组] 一、选择题

1．在∆ABC 中，角A :B :C =1:2:3，则边a :b :c 等于（ ）． A ．

1:2:3 B．3:2:1 C

．2 D．

2．以4、5、6为边长的三角形一定是（ ）．

A ．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．锐角或钝角三角形 3．在∆ABC 中，若b =2a sin B ，则角A 等于（ ）． A ．30, 或60 B．45, 或60 C．120, 或60 D．30, 或150 4．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（ ）．

A ．90 B．120 C．135 D．150

5．在∆ABC 中，若(a +b +c )(b +c -a ) =3bc ，则角A 等于（ ）．

A ．30 B．60 C．90 D．120

13

，则最大角的余弦是（ ）． 14

1111

A ．- B．- C．- D．-

5867

二、填空题

6．在∆ABC 中，若a =7, b =8, cos C =

7．在∆ABC 中，若a =b +bc +c ，则角A =_________． 9．在∆ABC 中，若b =2, B =30 , C =135 ，则边a =_________． 10．在∆ABC 中，若

2

2

2

sin A cos B cos C

==，则△ABC的形状是_________． a b c

三、解答题

a 2-b 2sin(A -B )

=11．在∆ABC 中，角A , B , C 所对的边分别为a , b , c ，证明：． 2

sin C c

12．在△ABC中，若(a 2+b 2) sin(A -B ) =(a 2-b 2) sin(A +B ) ，请判断三角形的形状． 13．在△ABC中，若A +B =120，则求证：

a b

+=1． b +c a +c

14．17．在△ABC

中，ab =sin B =

sin C ，面积为b 边的长． 在△ABC中，最大角A 为最小角C 的2倍，且三边a , b , c 为三个连续整数，求a , b , c 值．

[提高训练B 组] 一、选择题

1．在∆ABC 中，若角A =2B ，则边a 等于（ ）．

A ．2b sin A B．2b cos A C．2b sin B D．2b cos B

2．在∆ABC 中，sin A :sin B :sin C =2:6:(3+1) ，则三角形最小的内角是（ ）． A ．60°

B ．45°

C ．30° D ．以上都错

3．在∆ABC 中，若C =90，则三边的比

a +b

等于（ ）． c

A +B A -B

A ．2cos B．2cos

22A +B A -B

C ．2sin D．2sin

22

4．在∆ABC 中，若(b +c ) :(c +a ) :(a +b ) =5:6:7，则cos B 的值为（ ）．

A ．

111197 B． C． D． 1614118

tan A a 2

=5．在∆ABC 中，若，则∆ABC 的形状是（ ）． tan B b 2

A ．直角三角形 B．等腰或直角三角形 C．不能确定 D．等腰三角形 6．在钝角∆ABC 中，若a =1, b =2，则最大边c 的取值范围是是（ ）． A

． B．(2,3) C

． D

．

二、填空题

7．在∆ABC 中，若sin A >sin B , 则角A 一定大于角B ，对吗？填_________（对或错） 8．在∆ABC 中，∠C是钝角，设x =sin C , y =sin A +sin B , z =cos A +cos B , 则x , y , z 的大小关系是___________________________．

9．在∆ABC 中，若sin A =sin B +sin B sin C +sin C ，则∠A =____． 10．在∆ABC 中，AB =

2

2

2

6-2, C =30 ，则AC +BC 的最大值是________．

c =

3．在∆

ABC 中，若a =b =

，则角A 的大小为（ ）． 2

A ．30 B．60 C．90 D．120

4．在△ABC 中，A =60，C =45，b =2，则此三角形的最小边长为（ ）．

A

1 B

．1) C

1 D

．1)

1．1正弦定理与余弦定理 [基础训练A 组]

1．

C A =

π

6

, B =

π

3

, C =

π

2

, a :b :c =sin A :sinB :sinC =

12

=2． 22

42+52-621

=>0，且角θ最大，∴最大内角为锐角． 2．A 由余弦定理得：cos θ=

2⨯4⨯58

3．D b =2a sin B ,sin B =2sin A sin B ,sin A =

1

, A =30 ，或150 ． 2

52+82-721

=, θ=60 ,180 -60 =120 为所求． 4．B 设中间角为θ，则cos θ=

2⨯5⨯82

5．B (a +b +c )(b +c -a ) =3bc ,(b +c ) -a =3bc ,

2

2

b 2+c 2-a 21

=, A =60 ． b +c -a =3bc ,cos A =

2bc 2

2

2

2

6．C c 2=a 2+b 2-2ab cos C =9, c =3，B 为最大角，cos B =-

1． 7

b 2+c 2-a 21

=-, A =120 ． 7．120 cos A =

2bc 2

8．30 由a +b

2 A =15,

222

a b b sin A ． =, a ==4sin A =4sin15 =4sin A sin B sin B 10．等腰直角三角形

sin A a =cos B b ⇒sin A sin A =cos B sin B =1⇒B =π

ππ4

，同理C =4, A =2．a 2-b 211．证明： sin 2A -sin 2B cos 2B -c 2=sin 2C =cos 2A

2sin 2C

=

2sin(A +B )sin(A -B ) sin(A -B )

2sin 2

C =sin C

所以命题成立．

12．解：a 2+b 2sin(A +B ) a 2sin A cos B sin 2A

a 2-b 2=sin(A -B ) , b 2=cos A sin B =

sin 2B

，

cos B cos A =sin A

sin B

,sin 2A =sin 2B , 2A =2B 或2A +2B =π， ∴等腰或直角三角形．

13．证明：要证a b a 2+ac +b 2+bc b +c +a +c =1，只要 证ab +bc +ac +c

2

=1， 即a 2

+b 2

-c 2

=ab ， 而∵A +B =120

, ∴C =60

，

cos C =a 2+b 2-c 2ab

, a 2

+b 2-c 2=2ab cos60 2=ab ，

∴原式成立．

14．解： A >B >C , ∴a >b >c ，设a =n +1, b =n , c =n -1，

则

n +1sin 2C =n -1n +1sin 2C

sin C ⇒n -1=sin C

=2cos C ，

而cos C =a 2+b 2-c 2(n +1) 2+n 2-(n -2ab =1) 2n +42(n +1) n =

2n +2

，

即

n +41n +1

=⨯⇒n =5，

2n +22n -1

得a =6, b =5, c =4．

1．1正弦定理与余弦定理 [提高训练B 组]

1．D sin A =sin 2B =2sin B cos B , a =2b cos B ．

2．B sin A :sin B :sin C =a :b :c ，边a

为最小边，cos A =

． a +b sin A +sin B

==sin A +sin B

c sin C A +B A -B A -B

cos = =2sin ． 222

3．B

4．A 令b +c =5k , c +a =6k , a =b =7k (k >0) ，则a +b +c =9k ，

a 2+c 2-b 211

=． 得a =4k , b =3k , c =2k ，cos B =

2ac 16sin A cos B sin 2A cos B sin A

⋅=, =,sin A cos A =sin B cos B 5．B

cos A sin B sin 2B cos A sin B

sin 2A =sin 2B ,2A =2B 或2A +2B =π．

5-c 2a 2+b 2-c 25-c 2

=6．A cos C =，C 为钝角，-1

c sin B , 则得8．x

a b

>⇒a >b ⇒A >B ． 2R 2R

π

2

, A

π

2

-B ,sin A

c

222222

1

，∠A =120． 2

AC BC AB AC +BC AB

==, =, AC +BC 10．4

sin B sin A sin C sin B +sin A sin C

即b +c -a =-bc ,cos A =-

2

2

2

=A +sin B ) ==4cos

A -B

≤4,(AC +BC ) max =4． 2

A +B A -B

cos 22

a 2+c 2-b 2b 2+c 2-a 2

11．证明：将cos B =，cos A =代入右边

2ac 2bc

a 2+c 2-b 2b 2+c 2-a 22a 2-2b 2

-) = 得右边=c (

2abc 2abc 2ab

a 2-b 2a b ==-=左边，

ab b a

∴

a b cos B cos A -=c (-) b a b a

2

2

2

12．（1）证明：在△ABC 中，得a =b +c -2bc cos A

而a =2R sin A , b =2R sin B , c =2R sin C

(2R sin A ) 2=(2R sin B ) 2+(2R sin C ) 2-2⨯2R sin B 2R sin C cos A

得4R sin A =4R sin B +4R sin C -4R ⨯2sin B sin C cos A 所以sin A =sin B +sin C -2sin B sin C cos A （2）解；sin 20+cos 50+sin 20cos50

2

2

2

2

2

2222222

=sin 220 +sin 240 -2sin 20 sin 40 cos120 =sin 2120 =

3

． 4

1．2---1．3应用举例实习作业 [基础训练A 组]

1．D 仰角与俯角的定义理解． 2．A 坡底要伸长的长度刚好是斜坡长．

11

, A =60 , S ∆ABC =bc sin A = 22

4．C a >b sin A ，有两个解．

3．

D cos A =

112a 2+b 2-c 2π22

=cos C ⇒C =． 5．C S =ab sin C =(a +b -c ) ⇒sin C =

242ab 4

6．B 设货轮按北偏西30的方向航行30分钟后N 处，

MN 20

=，

sin 30 sin105

得MN =

，速度为海里/小时． 7．23⋅45，67⋅9 使用计算器，注意余角． 8．直角三角形 设

a b c

===k (k >0) ， sin A sin B sin C

a b c 222

则sin A =，sin B =，sin C =代入sin A +sin B =sin C

k k k

a 2b 2c 2222

得到2+2=2，∴a +b =c ，∴△ABC 为直角三角形．

k k k ⎧cos A >0

⎪

9

． ∵△ABC 为锐角三角形，∴⎨cos B >0

⎪cos C >0⎩

⎧22+32-x 2>0

⎧x 2

⎪3+x -2>0⎪2

且15

222

⎪x +2-3>0⎪1

⎩⎪1

⎩

10

1 b =

a sin B 2⨯sin105︒

==，

sin A sin 30︒

∴S ∆ABC =

1ab sin C =⨯=1． 22b sin A =，∵b >a ， a 11．解：

由正弦定理sin B =

∴B 1=60 ，B 2=120 ．C 1=180 -(A +B 1) =90 ，

C 2=180 -(A +B 2) =30 ，

a sin C 1a sin C 2

=2，c 2==

sin A sin A

2

1⨯

c 1=

1

=1．

12．解：设航行x 小时后甲船到达C 点，乙船到达D 点，在∆BCD 中，BC =(100-50x ) 海

里，BD =30x 海里(0≤x ≤2) ，∠CBD =60 ，由余弦定理得：

CD 2=(100-50x ) 2+(30x ) 2-2⋅(100-50x ) ⋅(30x )cos60

=4900x -13000x +10000

∴当x =

2

130006516

==1（小时）时，CD 2 最小，从而得CD 最小，

2⨯4900494916

小时，两船这间距离最近． 49

∴航行1

13．解： （1）∵方程有两个相等实根，

∴∆=4(b 2+c 2-a 2) -4bc =0， 即b

2

+c 2-a 2=bc ，由余弦定理得：

b 2+c 2-a 21

cos A ==，∴A =60 ，

2bc 2b 2+c 2-a 2

2bc

222222

∴b +c -a

2

2

2

∴此方程没有实数根． 14．解：如图在∆ACD 中，

∠ACD = ∆ABC ∠ACB +∠BCD =75 +45 =120 ，

∴∠CAD =30 ，

∴AC =CD =

由余弦定理知

AD

=3，

在∆BCD 中，

∠CBD =1800-∠BCD -∠CDB =180 -45 -(30 +45 ) =60 ，

由正弦定理知：

BD CD

=，

sin ∠BCD sin ∠CBD

∴BD =

CD ⋅sin ∠BCD

=

sin ∠CBD

=

在∆ABD 中，由余弦定理知

AB

==． 1．2---1．3应用举例实习作业 [提高训练B 组]

1．A ∵b >a ，∴B >A ，而A =150，∴B 为钝角，从而无解．

2．A

塔高为200-200400

（米）． =

3

3．A c =5+3-2⨯5⨯3cos120=49，∴ c =7

∴sin A =

222

a sin C 5sin120︒5． ===

c 774．B

|AB |=5．C S =

=．

11

ab sin C =⨯4sin10 ⨯2sin 50 ⨯sin 70 =4sin10 2sin 50 sin 70 22

8sin 20 cos 20 cos 40 cos80 sin160 1=4cos 20cos 40cos80===．

2sin 20 2sin 20 2

6．D 设 AB =x ，则BC =

x -x =10, x =7．59⋅8mm 使用计算器，运用余弦定理求解．

． a 2+c 2-b 2

⋅c ， 8．等腰三角形 由已知等式得： a =2⋅

2ac

∴a =a +c -b ，∴c =b ，即c =b ．

或sin A =sin(B +C ) =2cos B sin C ，得sin(B -C ) =0，即B =C ．

2

2

2

2

2

2

9．(60 ,90 ) ∵a 边最长，∴A 最大，∴3A >A +B +C =180，∴A >60，

b 2+c 2-a 2

>0，∴A 2bc

2

2

2

10．

2

3911 S ∆ABC =bc sin A =c ⨯=c =4, a 2=13, a =

3222

a +b +c a ． ===

sin A +sin B +sin C sin A 311．解：在△ADB 中，设BD =x ，由余弦定理，得

BA 2=BD 2+AD 2-2BD ⋅AD cos BDA ，

即14=x +10-2⨯10x ⋅cos60，整理，得x -10x -96=0， ∴x 1=16, x 2=-6 (舍去) ，即BD =16， 在△BDC 中，由正弦定理，得

2

2

2

2

BC BD

=,

sin CDB sin BCD

16⋅sin 30

=． ∴BC =

sin135

12．解： 设游击手能接着球，接球点为B ，而游击手从点A 跑出，本垒为O 点（如图所示），

设从击出球到接着球的时间为t ，球速为v ，则∠AOB =15, OB =vt , AB ≤在△AOB 中，由正弦定理，得

v

⋅t ， 4

OB AB

=，

sin ∠OAB sin15

∴sin ∠OAB =

OB vt sin15 ≥=，

AB vt /4而2=8->8-4⨯1.74>1，即sin ∠OAB >1, ∴这样的∠OAB 不存在，因此，游击手不能接着球.

[提高训练C 组]

1．C 方位角的认识．

2．C 由已知得cos(A +B ) >0，即cos(π-C ) >0，

∴-cos C >0，cos C

-3

b +c -a 1===． 3．

B cos A =

2bc 2

2

2

2

2+

4．B ∵B =75，∴边c 最小,

由

b sin C 2sin 45︒b c

=

==1) ． ，得c =sin B sin C sin B sin 75︒

2

2

2

5．A c =5+3-2⨯5⨯3cos120=49，∴ c =7

∴sin A =

a sin C 5sin120︒5． ===

c 77a b

=得到两直线的斜率乘积为-1 ，所以两直线垂直． sin A sin B

2π122π

7．C 刚好是n 个腰长为r 的等腰三角形，且顶角为，S =n ⨯r sin ．

n 2n 12222220

8．C a -c =b +bc , b +c -a =-bc ,cos A =-, A =120．

2

6．C 由正弦定理

9．D 由正弦定理得：

sin C =

c sin B ， ==

b

∵b

2

2

=cos A cos C +sin A sin C +cos B +1-2sin 2B =cos A cos C +sin A sin C +cos B +1-2sin A sin C

=cos A cos C -sin A sin C +cos B +1

=cos(A +C ) +cos B +1=1．

11．A 易知B =60，

sin A 1

=⇒sin C =2sin A =2sin(120 -C ) ，

sin C 2

即sin C =2sin(120 -C ) C +sin C C =0，即C =90, A =30．

A +B A -B

sin

A -B a -b sin A -sin B ， 12．D tan ===2a +b sin A +sin B 2sin A +B cos A -B

22

2cos

A -B

A -B , tan A -B =0，或tan A +B =1 tan =

222tan 2π

所以A =B 或A +B =．

2

tan

13

设AD =CD =

x ，则x x =

a ，得x =a ． AB 2+AC 2-BC 222222214．锐角 cos A =

=

2AB ⋅AC

=

2

>0，∴A 为锐角．

同理可知B 、C 也为锐角，故△ABC 为锐角三角形．

sin A cos B 2c -b 2sin C -sin B sin A

⋅==⇒⋅cos B =2sin C -sin B ， cos A sin B b sin B cos A

1

sin A cos B =2sin C cos A -cos A sin B ⇒sin C =2sin C cos A ⇒cos A =．

2

sin A cos B 2c 2sin C sin A cos B 2sin C

⋅=-1=-1，得⋅+1= 另解：， cos A sin B b sin B cos A sin B sin B

sin(A +B ) 2sin C sin A cos B cos A sin B 2sin C

=⋅+= 即，即，

cos A sin B sin B cos A sin B cos A sin B sin B

1

得cos A =，即A =60．

2

sin C 2AB

2

=(6+1) 得，=(+1) ，∴AC =1，

16．120 由

sin B 5AC 5

15．60

AB 2+AC 2-BC 221

==，又0

∴A =120．

17．解：sin B =sin C ⇒b =c ⇒B =C ，

1

ab sin C =

及ab =21

得sin C =，

2

由S ∆ABC =

∴C =B =30（C =120舍），∴A =120，

由正弦定理a =

，代入ab =

得b =

18．解：在∆ACD 中，∠CAD =180-∠ADC =60 ，CD =6000 ，∠ACD =45 ，

CD sin 45

根据正弦定理有AD ==，

sin 60同理，在∆BCD 中， ∠CBD =180-∠BCD -∠BDC =135，

CD =6000，∠BCD =30 ，

CD sin 30

根据正弦定理有BD ==．

sin135 2

又在∆ABD 中，∠ADB =∠ADC +∠BDC =90 ，

根据勾股定理有AB =

== 6

所以炮兵阵地到目标的距离为米．

19

．解：2R sin A ⋅sin A -2R sin C ⋅sin C =-b )sin B ，

a sin A -c sin C =-b )sin B , a 2-c 2=-b 2，

a 2+b 2-c 2a +b -c =,cos C ==C =450，

2ab 2

2

2

2

1S =ab sin C ==2R sin A ⨯

2R sin B

2=

2R sin A ⨯2R sin B =

2sin A sin B 1

=2⨯⨯[cos(A -B ) -cos(A +

B )]

2

1=2⨯⨯[cos(A -B ) +22

2≤⨯(1+

22

∴S max =

2

R 此时A =B 取得等号． , 20

．解：由2sin(A +B ) =

0，得sin(A +B ) =

∵△ABC 为锐角三角形, ∴A +B =120 , C =60 ,

又∵a , b

是方程x -+2=0的两根，

∴a +b =ab =2,

∴c 2=a 2+b 2-2ab cos C =(a +b ) 2-3ab =12-6=6,

∴c =

2

S ∆ABC =ab sin C =⨯21212． =

21．解：（1）由cos B =

2

337

, 得sin B =-() 2=, 444

由b =ac 及正弦定理得sin 2B =sin A sin C . 于是1+

1

tan A

tan C

=

cos A cos C sin C cos A +cos C sin A sin(A +C )

+==sin A sin C sin A sin C sin 2B

=

sin B 1= sin B sin B （2）由BA BC =

2

333

得ca ⋅cos B =, 由cos B =, 可得ca =2, 即b 2=2， 224

2

2

2

2

2

由余弦定理b =a +c -2ac cos B ，得a +c =b +2ac cos B =5，

(a +c ) 2=a 2+c 2+2ac =5+4=9, a +c =3．

22．解：（1

）f (x ) =m n =2cos 2x 2x

=

3sin 2x +cos 2x +1=2sin(2x +

π

6

) +1，

∴函数f (x ) 的最小正周期T = 令

2π

=π， 2

π2π3π

+k π， +2k π, (k ∈Z ) ，解得+k π≤x ≤

63262

π2π

+k π],k ∈Z ； ∴函数f (x ) 的单调递减区间是[+k π,

63ππ1

（2）由f (A ) =2，得2sin(2A +) +1=2, sin(2A +) =，

662

π

+2k π≤2x +

π

≤

在△ABC 中， 0

π

6

π

6

π

6

+2π，

π

6

=

π5π

，解得A =，

36

又 S ∆ABC =

2

2

2

113，解得c =2， bc sin A =⨯1⨯c ⨯=

2222

1

=3，∴a = 2

a

=b +c -2bc cos A =1+4-2⨯1⨯2⨯

由

b c a

===sin B sin C sin A

b +c

=2．

sin B +sin C

2

，得b =2sin B , c =2sin C ，

即

[特别补充D 组]

1．B 由cos A +sin A -

2π

=0得，2sin(A +) -

cos B +sin B 4

22sin(B +)

4

=0，

即sin(A +

π

4

) sin(B +

π

4

) =1，由正弦函数的有界性及A , B 为三角形的内角可知，

sin(A +

∴

π

4

) =1，且sin(B +

π

4

) =1，从而A =B =

π

4

，∴C =

π

2

，

a +b sin A +sin B

== c sin C

2

a -b =2，b -c =2， 显然a 最大，

则sin A =，而最大角不可能小于60， 2

即A =120，而a =b +c -2bc cos120，即a =b +c +bc ，得

2

2

2

2

2

2

1． (b +2) 2=b 2+(b -2) 2+b (b -2) ，即b =5, a =7, c =

3，S ∆ABC =bc sin A =

23322

3．6cm 由5x -7x -6=0，得x =2, 或-，即两条边的夹角的余弦为-，

55

4142

得两条边的夹角的正弦为，得三角形的面积是⨯3⨯5⨯=6cm ．

525

4

．设两边为8k ,5k (k >0) ，则142=(8k ) 2+(5k ) 2-2⨯(8k ) ⨯(5k )cos60 ，

得k =

2，得三角形的面积是

1⨯16⨯10= 2， 5．解：在△ABC 中，由tan B =

1，得sin B =

而tan A =-tan(B +C ) =

tan B +tan C =3，得sin A =，

tan B tan C -

1

由

a b b =

，得a =⋅sin A ==，

sin A sin B sin B 10即边a =．

6．解：（1）因为A +B +C =π，得tan C =-tan(A +B ) ，

11

+

tan A +tan B =-1，而0

tan A ⋅tan B -1⨯-1

23

3

得C =π；

4

（2）显然B

由tan B =

1，得sin B =

，且sin C =，

32得b =

c sin B =

sin C 7．解：sin B =sin C ⇒b =c ⇒B =C ，

1

ab sin C =

及ab =21

得sin C =，

2

由S ∆ABC =

∴C =B =30（C =120舍），∴A =120，

由正弦定理a =

，代入ab =

得b =

8．解：tan C =1, tan(A +B ) =-1， 即

tan A +tan B

=-1，得tan A +tan B =5，

1-tan A tan B

而a >b ，得A >B ，即tan A =3, tan B =2，

得sin A =

B =，

而a =

c c sin A , b =sin B ， sin C sin C

124，S =ab sin C =． b =

25

得a =

9．解：设a =k -1, b =k , c =k +1, k ∈N *且k >1，

a 2+b 2-c 2k -4

∵C 是钝角，∴cos C ==

2ab 2(k -1)

解得1

*

∵k ∈N ，∴k =2或3，

当k =2时，cos C =-1，不合题意，舍去．

1， 4

1

∴最大角的余弦值cos C =-．

4

当k =3时， cos C =-

10．解：设t 小时后渔船在B 点追上鱼群．由题意，在∆ABC 中，

∠ACB =120 , CB =10t , AB =14t ，由正弦定理得

CB sin ∠ACB 9sin120

sin ∠CAB ==≈21， '

sin ∠ABC sin 2147

故t =

21

=1⋅5． 14

11．解：（1）设甲、乙两人最初的位置是A 、B ，

2 2 2 1 22

则|AB |=|OA |+|OB |-2|OA ||OB |cos 60=3+1-2⨯3⨯1⨯=7，

2

∴|AB |=km ) ．

（2）设甲、乙两人t 小时后的位置分别是P 、Q ，则|AP |=4t ,|BQ |=4t ，

当0≤t

3

时，|PQ |2=(3-4t ) 2+(1+4t ) 2-2(3-4t )(1+4t )cos60 ， 4

当t =

3

时，|PQ |2=16； 4

23

当t >时，|PQ |=(4t -3) 2+(1+4t ) 2-2(4t -3)(1+4t )cos120 ．

4

2

上述三式统一为|PQ |=48t 2-24t +7, t ∈[0,∞) ，

即|PQ |=t ∈[0,∞) ．

2112

（3）|PQ |=48(t -) +4，∴当t =小时时，即在第15分钟末，PQ 最短，

44

最短距离是2km ．

正弦定理和余弦定理同步练习

基础达标 一、选择题

1. 在△ABC 中,a=1,b=,A=30°, 则B 等于( ) A.60° B.60°或120° C.30°或150° D.120° 解析:∵b=>a=1,A=30°, ∴B 有两个解. ∵

a b

=, sin A sin B

∴sinB=

b sin A

=a

⨯

1

=3.

21

∴B=60°或120°.

答案:B

2. 在△ABC 中,A=60°,C=45°,b=2,则此三角形的最小边长为( )

A.2 B.2-2 C.-1 D.2(2-1) 解析:∵A=60°,C=45°,

∴B=180°-60°-45°=75°, 故c 边最小.

2

c b b sin C 2=∵=, ∴c===2-2. sin C sin B sin B sin 75︒sin 45︒cos 30︒+cos 45︒sin 30︒

2⨯

答案:B

3. △ABC 中, 根据下列条件, 确定△ABC 有两解的是( ) A.a=18,b=20,A=120° B.a=60,c=48,B=60° C.a=3,b=6,A=30° D.a=14,b=16,A=45°

解析:三角形有两解, 则已知角必为锐角, 故排除A;B 是已知两边及夹角, 只有一解; 在C 中,sinB=答案:D

4. 已知△ABC 中,a=3,b=1,B=30°, 则其面积等于( )

b sin A 6⨯sin 30︒

==1,只有一解. a 3

3或 B.C. 或D. 22 42 4

a b

解析:∵=,

sin A sin B

1⨯

a sin B =. ∴sinA==b 21

A.

∴A=60°或120°.

当A=60°时,C=90°, S △ABC =

1ab=; 22

111absinC=×3×=. 2224

当A=120°时,C=30°, S △ABC =

答案:C 5. 在△ABC 中, 若

sin A cos B

=, 则B 的值为…( ) a b

A.30° B.45° C.60° D.90°

sin A sin B =, a b

sin B cos B ∴=. ∴sinB=cosB.

b b

解析:∵

∴B=45°. 答案:B

6. 在△ABC 中,a(sinB-sinC)+b(sinC-sinA)+c(sinA-sinB)的值是( ) A.

1

B.0 C.1 D.π

2

解析:a(sinB-sinC)+b(sinC-sinA)+c(sinA-sinB)=0. 答案:B

7. 已知△ABC 中,acosB=bcosA,则△ABC 为( ) A. 等腰三角形 B.直角三角形

C. 等腰或直角三角形 D.钝角三角形 解析:∵a=2RsinA,b=2RsinB,

∴sinAcosB=sinB·cosA, 即tanA=tanB. ∴A=B.

∴△ABC 为等腰三角形. 答案:A

sin 3B

等于( ) sin B

a b a c A. B. C. D. b a c a sin 3B sin(2B +B ) sin(C +B ) sin A a 解析:====.

sin B sin B b sin B sin B

8. 在△ABC 中,C=2B,则

答案:A 二、填空题

2

9. 三角形的两边分别为3 cm和5 cm,它们所夹角的余弦为方程5x -7x-6=0的根, 则这个三角形的面积是_______________________________.

2

答案:6 cm

10. △ABC 中, 已知b=2a,B=A+60°, 则A=___________________________.

a 1sin A 1=, ∴=, b 2sin B 2sin A 1

即=.

sin(A +60︒) 2

解析:∵

整理得sinA=

3cosA, 即tanA=. 33

∴A=30°.

答案:30° 三、解答题

11. 已知三角形的两角分别是45°、60°, 它们夹边的长是1, 求最小边长

.

解:如图所示,A=75°, 故最小的边长为b.

1b

=.

sin 75︒sin 45︒解得b=3-1.

∴

12. 如图所示,AB ⊥BC,CD=33,∠ACB=15°, ∠BCD=75°, ∠BDC=45°, 求AB 的长

.

解:在△DBC 中,

∠DBC=180°-(∠BDC+∠BCD)=180°-(45°+75°)=60°. 在△BCD 中, 由正弦定理, 得

BC DC

=,

sin ∠BDC sin ∠DBC

33sin 45︒∴BC==11.

sin 60︒

在Rt △ABC 中,AB=BCtan15°=116(2-)=226-332. 更上一层

1. 在△ABC 中, 已知tanA=

11

,tanB=, 且最长边为1, 求: 23

(1)角C 的大小;

(2)△ABC 最短边的长.

解:(1)∵tanC=tan(π-A-B)=-tan(A+B)

tan A +tan B

=-1,

1-tan A tan B 3π∴C=.

4

113π

(2)∵tanA=>=tanB,C=,

234

=-∴C 为最大角,B 为最小角.

1

, ∴sinB=3

b

由正弦定理, 得

sin B

c sin B 5∴b==.

sin C 5

又tanB=

. 10c =, sin C

2. 在△ABC 中, 已知A+C=2B,tanA·tanC=2+3. (1)求A 、B 、C 的值;

(2)若顶点C 的对边c 上的高等于43, 求△ABC 各边的长.

思路分析:结合题目的条件, 由tanA ·tanC=2+3,A+C=2B,可知B=60°,A+C=120°,

∴可利用两角和的正切公式求tanA+tanC,从而构造方程求A 与C 的正切值, 再求角A 与C. 解:(1)∵A+C=2B,A+C+B=180°, ∴B=60°. ∴A+C=120°.

tan A +tan C

=-3,

1-tan A ∙tan C

则tanA+tanC=3+.

∴tan(A+C)=

那么tanA 、tanC 即为x -(3+)x+(2+3)=0的两根.

2

⎧tan A =1, ⎧tan A =2+, ∴⎨或⎨ ⎩tan C =2+⎩tan C =1. ⎧A =45︒, ⎧C =45︒, ⎪⎪∴⎨B =60︒, 或⎨B =60︒, ⎪C =120︒-45︒=75︒⎪A =120︒-45︒=75︒. ⎩⎩

⎧A =45︒,

⎪

(2)如图, 当⎨B =60︒, 时,

⎪C =75︒⎩

∵CD=43

, ∴CB=8,BD=4,AD=43,AC=46. ∴AB=4+43.

⎧A =75︒, ⎪

当⎨B =60︒, 时, 如图.

⎪C =45︒⎩

∵CD=4, ∴CB=8,BD=4,

43

43163462

+

AC=sin 75︒=sin(45︒+30︒) =44=2+ =4(-2

)=46(3-1).

∴AB=BD+AD=4+4(2-)=8-8.

3. 某人在草地上散步, 看到他西方有两根相距6米的标杆, 当他向正北方向步行3分钟后, 看到一根标杆在其西南方向上, 另一根标杆在其南偏西30°方向上, 求此人步行的速度.

解:如图所示,A 、B 两点的距离为6米, 当此人沿正北方向走到C 点时, 测得∠BCO=45°, ∠ACO=30°,

∴∠BCA=∠BCO-∠ACO=45°-30°=15°. 由题意, 知∠BAC=120°, ∠ABC=45°. 在△ABC 中, 由正弦定理, 得

AC AB

=,

sin ∠ABC sin ∠BCA

AB ∙sin ∠ABC 6⨯sin 45︒

即有AC===63+6.

sin ∠BCA sin 15︒

在Rt △AOC 中, 有 OC=AC·cos30°=(6+6)× 设步行速度为x 米/分,

3

=9+33. 2

9+3 则x==3+≈4.73. 3

即此人步行的速度约为4.73米/分.

解三角形应用举例同步练习

1．在△ABC 中，下列各式正确的是（ ）

a sin B A. ＝ B. a sin C ＝csin B b sin A

222C. a sin(A ＋B ) ＝c sinA D. c ＝a ＋b －2ab cos(A ＋B )

2．已知三角形的三边长分别为a 、b 、a ＋ab ＋b ，则这个三角形的最大角是（ ）

A.135° B.120° C.60° D.90°

3．海上有A 、B 两个小岛相距10 nmile，从A 岛望B 岛和C 岛成60°的视角，从B 岛望A 岛和C 岛成75°角的视角，则B 、C 间的距离是（ ） 10A.52 nmile B.103 nmile C. 6 nmile 36

4．如下图，为了测量隧道AB 的长度，给定下列四组数据，测量应当用数据

A. α、a 、b B. α、β、a

C. a 、b 、γ D. α、β、γ

5．某人以时速a km向东行走，此时正刮着时速a km的南风，

那么此人感到的风向为 ，风速为 .

6．在△ABC 中，tan B ＝1，tan C ＝2，b ＝100，则c ＝ .

7．某船开始看见灯塔在南偏东30°方向，后来船沿南偏东60° 的方向航行30 nmile后看见灯塔在正西方向，则这时船与灯

塔的距离是 .

08．甲、乙两楼相距20 m ，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30，

则甲、乙两楼的高分别是 .

9．在塔底的水平面上某点测得塔顶的仰角为θ，由此点向塔沿直线行走30米，测得塔顶的仰角为2θ，再向塔前进103 米，又测得塔顶的仰角为4θ，则塔高是 米.

cos2A cos2B 1110．在△ABC 中，求证： －＝ －a b a b

1．C 2．B 3．D 4．C

205．东南 2 a 6．40 7．3 8．203 ，3 9．15 3

cos2A cos2B 1110．在△ABC 中，求证： －＝ －2a b a b 2221－2sin A 1－2sin B 11sin A sin B 提示：左边＝－＝(2 －2－2(2－2＝右边. a 2b 2a b a b

12．甲舰在A 处，乙舰在A 的南偏东45°方向，距A 有9 nmile，并以20 nmile/h的速度沿南偏西15°方向行驶，若甲舰以28 nmile/h的速度行驶，应沿什么方向，用多少时间，能尽快追上乙舰？

解：设th 甲舰可追上乙舰，相遇点记为C

则在△ABC 中，AC ＝28t ，BC ＝20t ，AB ＝9，∠ABC ＝120°

由余弦定理

AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos ABC

122(28t ) ＝81＋(20t ) －2×9×20t ×(－ ) 2

2整理得128t －60

t －27＝0

39解得t ＝t ＝－舍去) 432

故BC ＝15（nmi l e ），AC ＝21( nmil e) 由正弦定理AC BC sin 120sin BAC

15355∴sin BAC ＝×3 ∠BAC ＝3 2121414

π5故甲舰沿南偏东 －arcsin 3 的方向用0.75 h可追上乙舰. 414