高中数学高考36个必考考点专题分段函数

高中数学高考36必考考点系列——分段函数

一、知识储备

1、定义：分段函数是指自变量在不同范围内，有不同对应法则的函数。 2、注意： （1）、分段函数是一个函数，而不是几个函数； （2）、分段函数的定义域是自变量各段取值的并集； （3）、分段函数的值域是各段函数值的并集。 （4）、解决分段函数的方法：先分后合 3、涉及的内容及相应的常用方法： （1）、求解析式： 利用分段中递推关系，如平移、周期、对称关系，已知其中一段的解析式，得到整个定义域的解析式； （2）、求值、解不等式：注意只有自变量在相应的区间段才可以代入对应的解析式。不能确定时常需要分情况讨论； （3）、单调性： 各段单调（如递增）+连接处不等关系。

⎧①f 1(x )在(-∞, a ) 上↑

⎧⎪⎪⎪f 1(x ), x ∈(-∞, a ]

（如f (x )=⎨在R 上是增函数，则⎨②f 2(x )在[a , +∞) 上↑）；

⎪⎪⎩f 2(x ), x ∈[a , +∞)

⎪⎩③f 1(a )≤f 2(a )

4、奇偶性： 分段讨论，各段均符合相同的定义中的恒等式，才有奇偶性，否则为非奇非偶函数；

5、图像性质或变换等： 作图、赋值等，注意变量的范围限制； 6、最值： 求各段的最值或者上下界再进行比较；

7、图像： 分类讨论，如零点分段法得到各段解析式再作图； 二、知识导学

题型一：分段函数的求值

⎧e x , x ≤0. 1

1、（辽宁理）设g (x ) =⎨则g (g ()) =__________

2⎩lnx , x >0.

2

⎧x ⎪+2,

2、设函数f (x ) =⎨

⎪⎩2x ,

(x ≤2) , (x >2) ,

则f （－4）＝________，又已知f （x 0）＝8，则x 0=________

⎧0, ⎪⎪

3、已知f (x ) =⎨π

⎪⎪⎩x +1,

(x

］｝的值是（ ） (x =0) , 则f ｛f ［f （－1）

(x >0) ,

A ．π＋1 B ．0 C ．1 D ．π

⎧x +2,

⎪⎪

4、已知函数f (x ) =⎨x 2,

⎪⎪⎩2x ,

(x ≤-1) ,

(-1

⎧2x -1(x

⎪e 5、（2006山东）设f (x ) =⎨2

(x -1) log ⎪3⎩

(x ≥2).

则f [f (2)]= _______

⎧x -2-2(x 6、设f (x ) =⎪

≤1),

⎨⎪11⎩1+x

2

(x >1). 则f [f (2)]= _______

x

7、已知函数f (x ) ＝⎧⎨2， x ＞0

⎩x ＋1，x ≤0

，若f (a ) ＋f (1)＝0，则实数a 的值等于_______

题型二、递推式求值

1、 已知f (x ) =⎧⎨sin πx (x

(x -1) -1(x >0).

则f (-) +f () ⎩f 66的值为

2、定义在R 上的函数f （x ）满足f （x ）=，则f （3）的值为（3．给出函数f （x ）=则f （log 23）等于（ ）

4、设函数

，则f （5）= ____

题型三、分段函数的单调性 1、已知f (x ) =⎨⎧(3a -1) x +4a , x

log 是(-∞, +∞) 上的减函数，那么a 的取值范围是（

）

⎩a x , x >1

（A ）(0,1) （B ）(0,13

) （C ）[1, 173

)

（D ）[17

,1)

⎧a x

x ，2、若f (x ) ＝⎪

⎨是R 上的单调递增⎪．．

函数，则实数a 的取值范围为 ____ ⎩⎛ ⎝4－a 2⎫

⎪⎭

x ＋x

3、下列区间中，函数f (x ) =∣ln(2-x ) ∣在其上为增函数的是（ ） （A ）（-∞,1] （B ）⎢⎡4⎤⎡3⎣-1, 3⎦

⎥ （C ）⎢⎣

0,

2) （D ）[1,2)

4、已知函数f (x ) =⎧⎨

(a -0. 5)(x -1)

(x

∈(-∞, 1]在区间（-∞, +∞）内是减函数，则a 的取值范围是（ ⎩log a x

(x ∈[1, +∞)

A （0，1）B （0，0.5 ） C （ -∞, 0. 5） D（0，1） 5、写出函数f (x ) =|1+2x |+|2-x |的单调减区间 题型四、解不等式问题

1、设函数f (x ) =⎧⎪⎨(x +1) 2

.(x

4x ≥1)

，则使得f (x ) ≥1的自变量x 的取值范围是__________

⎪⎩）

）

(x ≥0) ⎧1　　

2已知f (x ) =⎨，则不等式x +(x +2) f (x +2) ≤5的解集是________

-1　　(x

x -1

⎧⎪2e , x

3、（山东理）设f(x)= ⎨ 则不等式f(x)>2的解集为________ 2

⎪⎩log 3(x -1), x ≥2,

⎧log 2x , x >0, ⎪

4、若函数f(x)=⎨log (-x ), x f(-a),则实数a 的取值范围是________

1

⎪⎩2

⎧21-x , x ≤1

5、设函数f (x ) =⎨，则满足f (x ) ≤2的x 的取值范围是________

⎩1-log 2x , x >1

⎧2-x -1x ≤0

6、设函数f (x ) =⎪1，若f (x 0) >1则x 0的取值范围是________

⎨2⎪x >0⎩x

⎧x 2-4x +6, x ≥0

7、设函数f (x ) =⎨则不等式f (x ) >f (1) 的解集是（ ）

⎩x +6, x

8、设f (x)=⎨

⎧1(x 为有理数)

，使所有x 均满足x ·f (x)≤g (x)的函数g(x)是（ ）

0(x 为无理数)⎩

2

A ．g (x)=sinx B．g (x)=x C．g (x)=x D．g (x)=|x| 题型五：方程根的问题

1、已知实数a ≠0，函数f (x ) =⎨

⎧2x +a , x

，若f (1-a ) =f (1+a ) ，则a 的值为________

⎩-x -2a , x ≥1

若a ，b ，c 互不相等，且f （a ）=f（b ）=f（c ），则abc 的取值

2、已知函数3、函数4、函数

的零点个数为（ ）

的图象和函数g （x ）=log2x 的图象的交点个数是（ ） ⎧2-x x ∈(-∞,1]15、设函数f (x ) =⎨, 则满足方程f (x ) =的x 的值为

4⎩log 81x x ∈(1,+∞)

6、直线y =1与曲线y =x -x +a 有四个交点，则a 的取值范围是________

2

⎧2x +1，x

⎪x +ax ，x ≥1若f （f （0）

7、已知函数f(x)= ⎩）=4a，则实数a 等于________

⎧2

x ≥2⎪,

8、. 已知函数f (x ) =⎨x ，若关于x 的方程f (x ) =k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围

⎪(x -1) 3, x

是________.

⎧-x 2

9、设f (x ) =⎪

⎨

⎪⎩x

x ≤1，若f (x ) =a 有且仅有一个实数解，则实数a 的取值范围是________

x >1

题型六：解析式

1、（10山东4）设f(x)为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f(x)=2+2x+b(b为常数) ，则f(-1)= （ ） (A) 3 (B) 1 (C)-1 (D)-3

2、已知f(x)是奇函数．当x ＞0时．f(x)＝x ＋lg(1＋x) ．则x ＜0时，3、已知函数f (x ) 是定义在(-∞, +∞) 上的偶函数. 当x ∈(-∞, 0) 时，f (x ) =x -x 4，则当x ∈(0, +∞) 时，f (x ) = .

题型七：值域问题

1、求函数y ＝｜x ＋1｜＋｜x －2｜的值域．

2

x

2、已知函数f （x ）的解析式为

求函数f （x ）的最大值．

⎧⎪g (x )+x +4, x

3、设函数g (x )=x -2(x ∈R )，f (x )=⎨则f (x )的值域是（ ）．

g x -x , x ≥g x , ()()⎪⎩

2

Ａ．⎢-,0⎥U (1, +∞) Ｂ．[0, +∞)，

⎣4⎦ Ｃ．⎢, +∞⎪ Ｄ．⎢-,0⎥U (2, +∞)

⎣4⎭⎣4⎦

⎡9⎤

⎡9⎫⎡9⎤

三、课后追踪

1、（湖北卷）函数y =e |lnx |-|x -1|的图象大致是（ ）

⎧x , x ∈P

2、（思考题）函数f (x ) =⎨，其中P 、M 为实数集R 的两个非空子集，又规定

-x , x ∈M ⎩

f (P ) ={y |y =f (x ), x ∈P }，f (M ) ={y |y =f (x ), x ∈M }，给出下列四个判断：

①若P ⋂M =∅，则f (P ) ⋂f (M ) =∅ ②若P ⋂M ≠∅，则f (P ) ⋂f (M ) ≠∅ ③若P ⋃M =R ，则f (P ) ⋃f (M ) =R ④若P ⋃M ≠R ，则f (P ) ⋃f (M ) ≠R

其中正确判断有（ ）

A. 1个 B. 2个

C. 3个

D. 4个

⎧x 2, x ≥1

3、设f (x )=⎨，g (x )是二次函数，若f [g (x )]的值域是[0, +∞)，则g (x )的值域是（ ）

x , x

A. (-∞, -1] [1, +∞) B.(-∞, -1] [0, +∞) C. [0, +∞) D. [1, +∞)

⎧log 2x , x >0,

⎪

4、若函数f(x)=⎨log (-x ), x f(-a),则实数a 的取值范围是（ ）

1

⎪⎩2

（A ）（-1，0）∪（0，1）（B ）（-∞，-1）∪（1,+∞）（C ）（-1，0）∪（1,+∞） （D ）（-∞，-1）∪（0,1） 5、设定义域为R 的函数f (x ) =⎨

⎧|lg |x -1||,x ≠12

，则关于x 的方程f (x ) +bf (x ) +c =0有7个不同实

0, x =1⎩

数解的充要条件是（ ）

A ．b 0 B ．b >0且c

222

6、（湖北卷）关于x 的方程(x -1) -x -1+k =0，给出下列四个命题：

①存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实根；②存在实数k ，使得方程恰有4个不同的实根； ③存在实数k ，使得方程恰有5个不同的实根；④存在实数k ，使得方程恰有8个不同的实根； 其中假命题的个数是（ ） ．

A ．0

B ．1 C．2

D ．3

⎧|lg x |,0

-x +6, x >10. ⎪⎩2

(A) (1,10)

(B) (5,6)

(C) (10,12)

(D) (20,24)

8、函数y =f (x )(x ∈R ）满足：对一切x ∈R ，f (x ) ≥0, f (x +1) =

7-f 2(x ) ；当

⎧⎪x +2, 0≤x

x ∈[0, 1) 时，f (x ) =⎨则f (2007-3) =( )

⎪⎩5, -2≤x

A ．22-3

B ．2-

C ．2

2

9、设函数g (x ) =x -2(x ∈R ) ，f (x ) =g (x ) +x +4,

g (x ) -x ,

D ．2+

{

x

9⎡9⎤⎡9⎤

,0⎥⋃(1,+∞) （B ）[0,+∞) （C ）[-, +∞) （D ）⎢-,0⎥⋃(2,+∞)

4⎣4⎦⎣4⎦

⎧⎪x ∈(-1,1]

10、已知以T =

4为周期的函数f (x ) =⎨，其中m >0。若方程3f (x ) =x 恰有5个实

⎪⎩1-x -2, x ∈(1,3]

数解，则m 的取值范围为（ ）

4848

A

． B

． C ．(, ) D

．( )

3333

⎧1x

当x ≤-1时⎪() -2，

11、已知函数f (x ) =⎨2，如果方程f (x ) =a 有四个不同的实数根，则实数a

⎪⎩(x -2)(|x |-1) ，当x >-1时，

（A ）⎢-

的取值范围为

12、 已知定义在R 上的奇函数f (x ) ，满足f (x -4) =-f (x ) , 且在区间[0,2]上是增函数, 若方程f(x)=m(m>0)在区间[-8, 8]上有四个不同的根x 1, x 2, x 3, x 4, 则x 1+x 2+x 3+x 4=_________.

3

13、在区间[t , t +1]上满足不等式x -3x +1≥1的解有且只有一个，则实数t 的取值范围为14、某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第k 棵树种植在点P k (x k ，y k ) 处，

⎧⎡⎛k -1⎫⎛k -2⎫⎤

x =x +1-5T -T ⎪k k -1 ⎪⎥，⎢ 5⎪5⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 其中x 1=1，y 1=1，当k ≥2时，⎨

⎪y =y +T ⎛k -1⎫-T ⎛k -2⎫．k k -1 ⎪ ⎪⎪⎝5⎭⎝5⎭⎩

T (a ) 表示非负实数a 的整数部分，例如T (2.6)=2，T (0.2)=0．

按此方案，第6棵树种植点的坐标应为__________ ；第2008棵树种植点的坐标应为_________．

⎧a n

当a n 为偶数时⎪,

15、已知各项均为正整数的数列{a n }满足a n +1=⎨2，且a 4=7，则此数列的首项a 1的

⎪3a +1, 当a 为奇数时

n ⎩n 所有可能取值为________________。

⎧cx +1 (0

16、已知函数f (x ) =⎨-x 满足f (c ) =．

8c ⎪⎩2+1 (c ≤x

（1）求常数c 的值； （2

）解不等式f (x ) >

17、已知函数f (x ) =x -6x +2， x ∈R . （1）求f (x ) 的极值；

（2）当x ∈[-a , a ]时，求f (x ) 的最大值；

（3）设g (x ) =|f (x ) -k |,x ∈[0, 6]，用φ(k ) 表示g (x ) 的最大值，求φ(k ) 的解析式。

3

2

+1． 8

18、水库的蓄水量随时间而变化，现用t 表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量（单位：亿立方米）关于t 的近似函数关系式为

1t ⎧2⎪(-t +14t -40) e 4+50，0

⎪，

2，，12）（Ⅰ）该水库的蓄求量小于50的时期称为枯水期．以i -1

几个月份是枯水期？

（Ⅱ）求一年内该水库的最大蓄水量（取e =2.7计算）．

⎧1

，x

19、设k ∈R

，函数f (x ) =⎨1-x ，F (x ) =f (x ) -kx ，x ∈R ，试讨论函数F (x ) 的单调性．

⎪x ≥1⎩

20、设a 为实数，函数

f (x ) =2x 2+(x -a ) |x -a |. (1)若f (0)≥1，求a 的取值范围；(2)求

f (x ) 的最小值；(不需给出演算步骤) 不等式h (x ) ≥1的解集. f (x ), x ∈(a , +∞) ，直接写出．．．．

(3)设函数h (x ) =

x a n }成等差数列，公差为21、已知点P n (a n , b n )都在直线l :y =2x +2上，P 1为直线l 与轴的交点，数列{

1. （n ∈N +）

(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)若f (n ) =⎨

⎧a n (n 为奇数) ⎩b n (n 为偶数)

， 问是否存在k ∈N +，使得f (k +5)=2f (k )-2成立；若存在，求出

k 的值，若不存在，说明理由.

111

++(3)求证： „„ +22

P P P 1P 2P 131P n

2

2

(n ≥2, n ∈N +) 5

⎧-x 3+x 2+bx +c , x

22、（思考题）已知函数f (x ) =⎨的图象过坐标原点O ，且在点

⎩a ln x , x ≥1

(-1, f (-1)) 处的切线的斜率是-5.

（I ）求实数b 、c 的值；

（II ）求f (x ) 在区间[-1，2]上的最大值；

（III ）对任意给定的正实数a ，曲线y =f (x ) 上是否存在两点P 、Q ，使得∆POQ 是以O 为直角顶点 的直角三角形，且此三角形斜边中点在y 轴上？说明理由.

23、数列{a n }满足a 1=1，a 2=2，a n +2= 1+cos （Ⅰ）求a 3，a 4，并求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）设b n =

⎛⎝

2

n π⎫2n π，n =1，2，3，„． a +sin ⎪n 2⎭2

1a 2n -1

，S n =b 1+b 2+…+b n ．证明：当n ≥6时，S n -2

n a 2n

x 2y 2y 2x 2

24、（思考题）我们把由半椭圆2+2=1 (x ≥0) 与半椭圆2+2=1 (x ≤0) 合成的曲线称作“果圆”，

a b b c

222

其中a =b +c ，a >0，b >c >0．如图，点F 0，F 1，F

2B 2分别

是“果圆”与x ，y 轴的交点．

（1）若△F 0F 1F 2是边长为1的等边三角形，求“果圆”的方程；（2）当A 1A 2>B 1B 2时，求

b

的取值范围； a

（3）连接“果圆”上任意两点的线段称为“果圆”

的弦．试研究：是否存在实数k ，使斜率为k 的“果圆” 平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上？若存在， 求出所有可能的k 值；若不存在，说明理由．

泉州七中高三数学第二轮——分段函数专题强化练习（预备材料）

2

（x －）1+k

=（0x ≥1或x ≤－）1„（1） 6、解：关于x 的方程x -1

-x -1+k =0可化为x -1-1+k

=0（－1

1）„„„„（2） 或x -1＋（x －）

① 当k ＝－2时，方程（1

）的解为2

）无解，原方程恰有2个不同的实根 ② 当k ＝

(

2

)

2

2

()

2

2

(

2

)

2

2

1时，方程（1）有两个不同的实根2）有两个不同的实根，即原方程恰有44个不同的实根

③ 当k ＝0时，方程（1）的解为－1，＋1，2）的解为x ＝0，原方程恰有5个不同的实根 ④ 当k ＝

2时，方程（1）的解为，2）的解为8个不同9的实根

7、解析：作出函数f (x ) 的图象如右图， 不妨设a

1

c +10

∈2

9、【答案】D

【解析】本题主要考查函数分类函数值域的基本求法，属于难题。

222⎧⎧⎪x -2+(x +4), x 2

依题意知f (x ) ⎨2，f (x ) ⎨2 2

⎪⎪⎩x -2-x , x ≥x -2⎩x -2-x , -1≤x ≤2

y 2

10、【解析】因为当x ∈(-1,1]时，将函数化为方程x +2=1(y ≥0) ，实质上为一个半椭圆，其图像如图

m

x

所示，同时在坐标系中作出当x ∈(1,3]得图像，再根据周期性作出函数其它部分的图像，由图易知直线y =

3

y 22

与第二个椭圆(x -4) +2=1(y ≥0) 相交，

m

y 22

而与第三个半椭圆(x -4) +2=1(y ≥0) 无公共点时，

m x y 22

方程恰有5个实数解，将y =代入(x -4) +2=1(y ≥0) 得

3m

(9m 2+1) x 2-72m 2x +135m 2=0, 令t =9m 2(t >0) 则(t +1) x 2-8tx +15t =0

2

由∆=(8t ) -4⨯15t (t +1) >0, 得t >15, 由9m >15, 且m >0得m >

22

3

x y 22

同样由y =与第二个椭圆(x -8) +2=1(y ≥0) 由∆

11、(0, 2 )； 12、-8；

13

、1)

14、答案: (1,2) (3, 402) 解析: T

⎛k -1⎫⎛k -2⎫

-T ⎪ ⎪组成的数列为1,0,0,0,0,1, 0,0,0,0,1,

⎝5⎭⎝5⎭

0,0,0,0,1„„(k=1,2,3,4„„) 。一一带入计算得：数列{x n }为1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5„„；数列{y n }为1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4„„. 因此，第6棵树种在 (1,2)，第2008棵树种在(3, 402)。

15、9、56；

16、解：（1）因为0

2

2

9913

，即c +1=，c =．„„„„3 882

⎧11⎫⎛

x +1，0

（2）由（1）得f (x ) =⎨

由f (x ) >+1得

⎛1⎫⎪2-4x +1≤x

当0

11151

时，解得

222842

⎧5⎫⎪⎪

+

1的解集为⎨8⎭⎪⎪⎩

17、解：（1）f (x ) =x 3-6x +2, f '(x ) =3x 2-12x =3x (x -4). 令f '(x ) =0得x 1=0, x 2=4.

从而x =0时，f (x ) 取得极大值2；当x =4时，f (x ) 取得极小值－30 （4分）

（2）根据（1）可知f (0) =2是极大值，在(4, +∞) 内函数f (x ) 单调递增，并且可验证

f (6) =2，由条件知a >0

因此在[-a , a ]上，当0

32

当a >6时，f (0) =2的最大值是f (a ) =a -6a +2.

即f (x ) max =⎨

⎧2

⎩a -6a +2

3

2

当06时

（7分）

（3）f (x ) -k =x 3-6x 2+2-k , 令(f (x ) -k ) '=0得x 1=0, x 2=4.

∴(f (x ) -k ) '=3x (x -4).

又由于f (0) -k =f (6) -k =2-k , f (4) -k =-30-k ，所以当x ∈[0, 6]时，

g (x ) =|f (x ) -k |的最大值为φ(k ) =max{|2-k |,|30+k |}. （10分）

因此φ(k ) =⎨

⎧2-k , ⎩30+k ,

k ≤-14;

并且当k=－14时，φ(k ) 取得最小值16.

k ≥-14.

2

1t 4

2

18、解：（Ⅰ）①当00， 解得t 10，又0

②当10

41

，又10

故知枯水期为1月，2月，3月，4月，11月，12月共6个月． （Ⅱ）由（Ⅰ）知：V (t ) 的最大值只能在(4，10) 内达到．

t 12311

4

由V '(t ) =e (-t +t +4) =-e (t +2)(t -8) ，令V '(t ) =0，解得t =8 (t =-2舍去) ．

424

1t 4

当t 变化时，V '(t ) 与V (t ) 的变化情况如下表：

2

由上表，V (t ) 在t =8时取得最大值V (8)=8e +50=108.32 (亿立方米) ．

故知一年内该水库的最大蓄水量是108.32亿立方米

⎧1

-kx , ⎪

19、【解析】F (x ) =f (x ) -kx =⎨1-x

⎪kx , ⎩

对于F (x ) =

⎧1

-k , 2⎪x

F '(x ) =⎨

⎪-k , x ≥1,

⎪⎩

x

x ≥1,

1

-kx (x

当k ≤0时，函数F (x ) 在(-∞,1) 上是增函数；

上是减函数，在(1上是增函数； 当k >0时，函数F (x ) 在(-∞,1k (x ≥1) ， 对于F (x ) =当k ≥0时，函数F (x ) 在[1, +∞)上是减函数；

1⎫1⎡⎫

上是减函数，在1+, +∞⎪⎪上是增函数。 22⎢4k ⎭⎣4k ⎭⎧a

20、【解】（1）若f (0)≥1，则-a |a |≥1⇒⎨2⇒a ≤-1

⎩a ≥1

当k

⎡⎣

（2）当x ≥a 时，f (x ) =3x 2-2ax +a 2, f (x ) min

2

⎧f (a ), a ≥0⎧2a , a ≥0⎪⎪ =⎨a =⎨2a 2f (), a

当x ≤a 时，f (x ) =x +2ax -a , f (x ) min

22

2

⎧f (-a ), a ≥0⎧⎪-2a , a ≥0=⎨=⎨2

f (a ), a

综上f (x ) min

⎧-2a 2, a ≥0

⎪ =⎨2a 2

, a

2

2

222

（3）x ∈(a , +∞) 时，h (x ) ≥1得3x -2ax +a -1≥0，∆=4a -12(a -1) =12-8a

当a ≤-

时，∆≤0, x ∈(a , +∞) ；

a ≥

22

⎧(x x ≥0

当>0,

得：⎪

⎩x >a

讨论得：当a ∈时，解集为(a , +∞) ;

22

当a ∈(

时，解集为(a ⋃+∞)

;

a +当a ∈[-时，解集为[+∞) .

223

, 0), a n =n -2, b n =2n -2； (2) f (n ) =⎨21、解 (1) P 1(-1

假设存在符合条件的k :

⎧n -2 (n 为奇数) ⎩2n -2 (n 为偶数)

(ⅰ)若k 为偶数，则k +5为奇数，有f (k +5) =k +3, f (k ) =2k -2

如果f (k +5) =2f (k ) -2，则k +3=4k -6⇒k =3与k 为偶数矛盾. 不符舍去； (ⅱ) 若k 为奇数，则k +5为偶数，有f (k +5) =2k +8, f (k ) =k -2.

∴2k +8=2(k -2) -2这样的k 也不存在. 综上所述：不存在符合条件的k . (n ≥2) , 0) ∴P (3) P n (n -2, 2n -2), P 1(-11P n =5(n -1)

∴

1P 1P 2

2

+

1P 1P 3

2

+ +

1P 1P n

2

1⎡111⎤

=⎢1+2+2+ + 5⎣23n -12⎥⎦

⎤1⎡1⎡1111⎤1⎛1⎫2

⎪=2-

22、解法一：

（I ）当x

„„„„1分 „„„„3分 „„„„4分

⎧f (0) =0, ⎧c =0,

即⎨

⎩f ' (-1) =-5, ⎩-3-2+b =-5,

⎧-x 3+x 2, x

（II ）由（I ）知，f (x ) =⎨

⎩a ln x , x ≥1.

①当-1≤x

2

23

2. 3

„„„„5分

x 变化时，f ' (x ), f (x ) 的变化如下表：

, f (0) =0, 又f (-1) =2, f () =

327

∴f (x ) 在[-1, 1)上的最大值为2.

②当1≤x ≤2时，f (x ) =a ln x .

„„„„6分

当a ≤0时, f (x ) ≤0; 当a >0时, f (x ) 在[1, 2]上单调递增， f (x ) 在[1，2]上的最大值为a ln 2. 综上所述，

2

时, f (x ) 在[-1，2]上的最大值为2； ln 22

时, f (x ) 在[-1，2]上的最大值为a ln 2. „„„„10分 当a ln 2>2, 即a >ln 2

当a ln 2≤2, 即a ≤

（III ）假设曲线y =f (x ) 上存在两点P 、Q 满足题设要求，则点P 、Q 只能在y 轴的两侧，

32

不妨设P (t , f (t ))(t >0), 则Q (-t , t +t ), 显然t ≠1 ∆POQ 为直角三角形，

∴⋅=0, 即-t 2+f (t )(t 3+t 2) =0. （1）

是否存在P 、Q 等价于方程（1）是否有解.

若0

42

即t -t +1=0，而此方程无实数解 ，因此t >1.

3223232

„„„11分

∴f (t ) =a ln t , 代入（1）式得，-t 2+(a ln t )(t 3+t 2) =0, 即

考察函数h (x ) =(x +1) ln x (x ≥1), 则h ' (x ) =ln x +

1

=(t +1) ln t （*） „12分 a

1

+1>0, ∴h (x ) 在[1, +∞)上单调递增， x

t >1, ∴h (t ) >h (1) =0, 当t →+∞时, h (t ) →∞，∴h (t ) 的取值范围是(0, +∞) ∴对于a >0, 方程（*）总有解，即方程（1）总有解.

因此对任意给定的正实数a ，曲线y =f (x ) 上总存在两点P 、Q 使得∆POQ 是以点O 为直角顶点的直角

三角形，且此三角形斜边中点在y 轴上.

解法二： （I ）（II ）同解法一.

„„„„14分

（III ）假设曲线y =f (x ) 上存在两点P 、Q 满足题设要求，

则点P 、Q 只能在y 轴的两则. 不妨设P (x 1, y 1)(x 1>0), Q (x 2, y 1), 则x 1+x 2=0, 即x 2=-x 1, 显然x 1≠1. 设直线OQ 的方程为y =kx (k >0), 则直线OQ 的方程为y =-

⎧y 2=kx 1, 1

x , 若0

1⎧

⎪y 2=-x 2, 2由⎨得k (x 2-x 2) =1, ∴k (x 12+x 1) =1, k

⎪y =-x 3+x 2,

22⎩2

∴x 14-x 12+1=0, 而此方程无实数解， 故x 1>1.

„„„„11分

1⎧

y =-x 2, ⎧y 1=a ln x 1, ⎪122

由⎨得k (x 2-x 2) =1, 所以k (x 1+x 1) =1; 得kx 1=a ln x 1, 由⎨k

22⎩y 1=kx 1, ⎪⎩y 2=-x 2+x 2,

2

k (x 2+x 3) 11∴=, 得=(x 2+1) ln x 1.

kx 1a ln x 1a

„„„„12分

下同解法一.

23、解： (Ⅰ) 因为a 1=1，a 2=2，所以a 3= 1+cos

⎛

⎝

2

π⎫2πa +sin =a 1+1=2， ⎪12⎭2

a 4=(1+cos 2π) a 2+sin 2π=2a 2=4

一般地，当n =2k -1(k ∈N ) 时，

*

(2k -1) π⎤⎡22k -1a 2k +1=⎢1+cos 2a +sin π＝a 2k -1+1，即a 2k +1-a 2k -1=1． 2k -1⎥22⎣⎦

所以数列{a 2k -1}是首项为1、公差为1的等差数列，因此a 2k -1=k ．

当n =2k (k ∈N *) 时，a 2k +2= 1+cos 2

⎛⎝2k π⎫22k πa +sin =2a 2k ． ⎪2k 2⎭2

所以数列{a 2k }是首项为2、公比为2的等比数列，因此a 2k =2k ．

⎧n +1*，n =2k -1(k ∈N ) ，⎪2

故数列{a n }的通项公式为a n =⎨

n ⎪2*⎩2，n =2k (k ∈N ).

(Ⅱ) 由(Ⅰ) 知，b n =

a 2n -1n

=n ， a 2n 2

S n =

123n

+2+3++n ， „„„„„„① 22221123n

S n =2+2+4++n +1 „„„„„„② 22222

①-②得，

1111S n =+2+3+2222

1⎡⎛1⎫

⎢1- ⎪2⎝2⎭1n ⎢⎣+n -n +1=

122

1-2

n

⎤⎥⎥⎦-n =1-1-n ．

2n +12n 2n +1

1n n +2

-=2-． 2n -12n 2n

1n (n +2)

n 2

所以S n =2- 证法一

6⨯(6+2) 483==

26644

k (k +2)

2k

（1）当n =6时， 则当n =k +1时，

(k +1)(k +3) k (k +2) (k +1)(k +3) (k +1)(k +3)

=⨯

2k +12k 2k (k +2) (k +2) 2k

n (n +1) 1

n ≥6

2n n

由（1）、（2）所述，当n ≥6时， 证法二

n (n +2) (n +1)(n +3) n (n +2) 3-n 2

(n ≥6) ，则c n +1-c n =-=n +1

2n 2n +1222

所以当n ≥6时，c n +1

于是当n ≥6时，

6⨯83

=

n (n +2)

1． n

综上所述，当n ≥6时，S n -2

24、解：（1）

F 0(c ，0) ，F 10，，F 20，

∴

F 0F 2=

2

(

)()

37222

于是c =，a =b +c =，所求“果圆”方程为

44

44 x 2+y 2=1(x ≥0) ，y 2+x 2=1(x ≤0) ．

73

（2）由题意，得 a +c >2b ，即a 2-b 2>2b -a ．

(2b ) 2>b 2+c 2=a 2，∴a 2-b 2>(2b -a ) 2，得a 5

2

b 1b 4⎫2222

> 又b >c =a -b , ∴． ∴∈⎪⎪． a 25a 22⎝⎭x 2y 2y 2x 2

（3）设“果圆”C 的方程为2+2=1(x ≥0) ，2+2=1(x ≤0) ．记平行弦的斜率为k ．

a b b c

x 2y 2

当k =0时，直线y =t (-b ≤t ≤b ) 与半椭圆2+2=1(x ≥0) 的交点是

a b

⎛⎛⎫⎫y 2x 2P t ⎪． t ⎪，与半椭圆2+2=1(x ≤0) 的交点是Q - ⎪ ⎪b c ⎝⎭⎝⎭

⎧a -c x 2y 2⎪x =y ) 满足 ⎨+2=1． ∴ P ，Q 的中点M (x ，2 得 2

b ⎪y =t ，⎛a -c ⎫

⎩ ⎪

b =1，F 1F 2=1，

⎝

2

⎭

a -c -2b a -c +2b ⎛a -c ⎫2

-b =≠0． a

22⎝2⎭

综上所述，当k =0时，“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上．

⎛2ka 2b k 2a 2b -b 3⎫x 2y 2

22 当k >0时，以k 为斜率过B 1的直线l 与半椭圆2+2=1(x ≥0) 的交点是 22． 22⎪k a +b k a +b a b ⎝⎭

2

b 2

由此，在直线l 右侧，以k 为斜率的平行弦的中点轨迹在直线y =-2x 上，即不在某一椭圆上．

ka

当k