函数连续性的几个问题_曹媛
第12卷 第2期
天津职业院校联合学报N O. 2Vol. 12函数连续性的几个问题
曹 媛
(天津海运职业学院, 天津市 300457)
δ这种静态的有限量刻划了动态的无摘 要: 函数的连续性和可微性是微积分的基本概念, 维尔施特拉斯用ε、
限量, 给出了函数连续性的现代定义, 并用分析式给出了历史上第一个处处连续而处处不可微函数的经典例子。典型函数如狄里克雷函数在实数域上每一点都不连续, , 。基本初等函数与初等函数的连续性有定义域和定义区间的区别, , 因此, 初等函数只能在其定义区间内连续。
关键词: 函数; 连续性; 可微性; ; ; 中图分类号:X (2010) 02-0078-03
一、函数的连续性和可微性是微积分的基本概念。“连续函数”在直观上是函数曲线没有间断, 连在一起, 而“函数在一点可导”直观上是函数曲线在该点有切线, 所以在直观上连续与可导有密切的联系。认为连续函数一定可微, 对于学过数学分析的学生来说是常识性的错误。然而, 在微积分建立之初, 几乎所有数学家都确信连续函数一定是可微的。最早明确区别函数连续性和可微性的例子, 出现在德国大数学家黎曼1854年的论文中。
1817年波尔察诺为了发表他的论文, 需要一个精确的连续函数的定义, 于是波尔察诺开始对函数性质仔细研究, 并用极限概念给出了在某一区间内连续的恰当定义:
如果在某区间内任一x 处, 只要|w |充分小, 就能使|f (x +w ) -f (x ) |任意小, 则称f (x ) 在该区间上连续, 这与
ε-δ非常类似。定义函数连续性的现代方法—
维尔施特拉斯给出了函数连续性的现代定义:
如果对任意给定ε>0的, 总存在δ>0, 使当|x -x 0|
δ这种静态的有限量刻划了动态的无限量, 既排除了无穷小这个有争议的概念, 又消除了波尔魏尔施特拉斯用ε、
察诺定义中的小于任意给定的量的说法的含糊性。
波尔察诺1824年觉察到了连续函数和可微性的区别, 明确地以几何形式(1830年) 给出了区别连续性和可微性的例子, 但没有发表。1872年魏尔施特拉斯在柏林科学院的一次讲演中, 通过一致收敛级数, 用分析式给出了历史上第一个处处连续而处处不可微函数的经典例子。
n πx ) 其中α为奇整数, b ∈(0, 1) , ab >1+f (x ) =ρb n cos (αn =0∞2
魏尔施特拉斯的这个发现以及后来许多病态函数的例子, 充分
说明了直观及几何的思考不可靠, 而必须诉诸严格的概念及推理。
连续性与可微性差异的重大发现, 标志着人类对函数认识的进一步
深化。
图1
收稿日期:2009-10-26
作者简介:曹媛(1983-) , 女, 天津市人, 天津海运职业学院助教, 主要从事数学教学。
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二、典型函数的连续性
1. 狄利克雷函数
D (x ) =1 x ∈Q
0 x |Q , x ∈R
由函数极限的定义很容易看出狄里克雷函数在实数域上每一点左右极限都不存在, 即处处无极限。所以狄里克雷函数在实数域上每一点都不连续, 不可微, 每一点都属于第二类间断点。
2. 黎曼函数
定义在区间[0, 1]上的函数R (x ) =(
p , q ∈N +, 为既约真分数) x =q q p 称作黎曼函数。
0 x =0, 1或x ∈(0, 1) , x |Q
, , , …, , , (q >1, q ∈N +) , , 其下界234q 由定义可知, 黎曼函数值域M =0,
为0, 上界为。对任何正整数q >1, 满足∈(0, 1) , , , , 则最2q q q q q
(i 1, , -与x , 所以黎曼函数在有理点的图像关于直线x q 多有q -1个, 且R
=q =对称, 2。2
图2
根据函数极限定义可证明黎曼函数在[0, 1]上0, 1, 及无理数点处连续, 在(0, 1) 内有理数点处不连续, 而且都是可去间断点。
上述“病态函数”破坏了古典数学的优美, 但法国数学家勒贝格提出点集测度和可测函数的概念, 在此基础上建立了勒贝格积分, 发展了牛顿—莱布尼兹公式。
三、初等函数的连续性
在高等数学的各类教材中, 对于一元函数的连续性有如下结论:基本初等函数在其定义域内连续, 初等函数在其定义区间内连续。为什么基本初等函数与初等函数的连续性有定义域和定义区间的区别, 很多细心的学生都注意到了这个问题。教材对此并未做出进一步的说明, 教师在解答时往往语焉不详地解释为一些初等函数的定义域是一些离散的点, 没有给出直观的例子, 事实上这样的例子不胜枚举。
例1函数f (x ) =x -1
π+由于|sin x |Φ1, 所以只有x =2k
上连续。
例2函数f (x ) =1-x ) cos 2x π2) 时函数才有定义, 显然, 函数不可能在这些离散的点集, (k =0, ±1, ±2…
π+其定义域为区间(-∞, 1) 及离散点集, x =k
π+点集x =k 2π2) 函数在其定义区间(-∞, 1) 内连续, 而在离散, (k =0, 1, 2…) , 任一点处, 函数虽然有定义, 但都是不连续的。, (k =0, 1, 2…
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类似的例子还可举出很多, 如函数y =x +-sin x , y =π, k =0, ±1, ±2, x -1定义域均为{x |x =k
…}, 函数在这些孤立可数点的空心邻域都没有定义, 这些孤立点必为不连续点, 函数在其定义域上处处不连续。
由此可见初等函数的连续性只能定义为在其定义区间内连续。
参考文献:
[1]华东师范大学数学系. 数学分析[M ].北京:高等教育出版社. 2001.
[1]莫里斯・克莱因. 古今数学思想[M ].上海:上海科学技术出版社. 1982.
[2]金友良. 关于一元函数连续性的几个问题[J ].成都大学学报, 2007, (6) .
Several Pr oble ms a bout Function Conti nuity
CAO yuan
(Tianj in M aritime V ocational I , Tianj in )
A b s t r a c t :The continuity and f concepts of Differ 2ential and Integral uses quantity like ε, δto describe the dynamic infinite p definition of f unction continuity and gives the first classi 2cal example is continuous but non differentiable everywhere. The typical f unction like Dirichlet Function is discontinuous on every point of the real number field while another f unction like Ri 2emann Function is continuous on every irrational point but discontinuous on every rational p oint. There are differences f rom the domain and the interval between the continuity of basic elementary f unctions and elementary f unctions. The domains of some elementary f unctions are some discrete point , theref ore , elementary f unctions is continuous only in its defined intervals.
Ke y w o r d s :f unction ; continuity ; differentiability ; typical f unction ; domain ; defined interval (上接第77页)
Deduction of B er noulli Equation at Consta nt V elocity R otation Syste m
TIAN Bao -zhong
(Tianj in S ino -Germany V ocational Technical College , Tianj in 300191China )
A b s t r a c t :For a constant velocity rotation system , when an ideal fluid flows in the steady state , the Bernoulli Equation f or an arbitrarily selected section of flow tube is :2ν+ρ(gy -x 2ω2) +p =22
Constant. One can use it to solve p roblems concerning fluid flowing with constant angular velocity easi 2ty.
Ke y w o r d s :Physics ; Fluid Mechanics ; constant velocity rotation ; Bernoulli Equation
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