线面垂直判定及性质知识清单
2017-2018学年高二数学知识清单定时训练
空间中直线、平面垂直的判定及其性质
考试时间:45分钟 满分:100分 命题人:郭建军
知识梳理(每空1分)
1.直线与平面垂直
(1)定义:如果直线l 与平面α内的________________直线都________,就说直线l 与平面α互相垂直,记作________.直线l 叫做平面α的________,平面α叫做直线l 的________.
(2)判定定理
文字表述:一条直线与一个平面内的________________________都垂直,则该直线与此平面垂直.
符号表述:
l ⊥a l ⊥b
⎫⎪ ⇒l ⊥α.
2.直线与平面所成的角
(1)
定义:平面的一条斜线和它在平面上的________所成的________,叫做这条直线和这个平面所成的角.
如图所示,________就是斜线AP 与平面α所成的角. (2)当直线AP 与平面垂直时,它们所成的角的度数是90°;
当直线与平面平行或在平面内时,它们所成的角的度数是________; 线面角θ的范围:________.
3.二面角:从一条直线出发的________________所组成的图形叫做二面
角.________________叫做二面角的棱.________________________叫做二面角的面. 4.二面角的平面角
如图:在二面角α-l -β的棱l 上任取一点O ,以点O 为________,在半平面α和β内分别作垂直于棱l 的射线OA 和OB ,则射线OA 和OB 构成的________叫做二面角的平面角.
5.平面与平面的垂直
(1)定义:如果两个平面相交,且它们所成的二面角是________________,就说这两个平面互相垂直.
(2)面面垂直的判定定理
⎫⎪⎬⇒文字语言:一个平面过另一个平面的________,则这两个平面垂直.符号表示:
⎪
a ⊥β
α⊥β.
6.
7的直线与另一个平面垂直.
用符号表示为:α⊥β,α∩β=l ,a ⊂α,a ⊥l ⇒________. 8.两个重要结论:
(1)如果两个平面互相垂直,那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在________________________.
图形表示为:
符号表示为:α⊥β,A ∈α,A ∈a ,a ⊥β⇒________.
(2) 已知平面α⊥平面β,a ⊄α,a ⊥β,那么________(a 与α的位置关系) .
基础自测题:(选择填空每题5分,解答题每题8分)
1.从平面外一点向平面引一条垂线和三条斜线,斜足分别为A ,B ,C ,如果这些斜线与平面成等角,有如下命题:
①△ABC 是正三角形;②垂足是△ABC 的内心; ③垂足是△ABC 的外心;④垂足是△ABC 的垂心. 其中正确命题的个数是( )
A .1 B .2 C .3 D .4 2.下列命题:
①两个相交平面组成的图形叫做二面角;
②异面直线a 、b 分别和一个二面角的两个面垂直,则a 、b 组成的角与这个二面角的平面角相等或互补;
③二面角的平面角是从棱上一点出发,分别在两个面内作射线所成角的最小角; ④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系. 其中正确的是( )
A .①③ B .②④ C .③④ D .①②
3.在正四面体P -ABC 中,D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点,下面四个结论中不成立的是( )
A .BC ∥面PDF B .DF ⊥面P AE C .面PDF ⊥面ABC D .面P AE ⊥面ABC
4.若M 、n 表示直线,α表示平面,则下列命题中,正确命题的个数为( )
m ∥n ⎫m ⊥α⎫⎪⎪
⎬⇒n ⊥α; ②⎬⇒M ∥n ; ①
⎪m ⊥α⎪n ⊥α⎭⎭
m ⊥α⎫m ∥α⎫⎪⎪
⎬⇒M ⊥n; ④⎬⇒n ⊥α. ③
⎪⎪n ∥α⎭m ⊥n ⎭
A .1 B .2 C .3 D .4
5.已知两个平面互相垂直,那么下列说法中正确的个数是( ) ①一个平面内的直线必垂直于另一个平面内的无数条直线
②一个平面内垂直于这两个平面交线的直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线 ③过一个平面内一点垂直于另一个平面的直线,垂足必落在交线上
④过一个平面内的任意一点作交线的垂线,则此直线必垂直于另一个平面 A .4 B .3 C .2 D .1
ππ
6.如图所示,平面α⊥平面β,A ∈α,B ∈β,AB 与两平面α、β所成的角分别为.过A 、
46
B 分别作两平面交线的垂线,垂足分别为A ′、B ′,则AB ∶A ′B ′等于(
)
A .2∶1 B .3∶1 C .3∶2 D .4∶3 7.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,
(1)直线A 1B 与平面ABCD 所成的角是________; (2) 直线A 1B 与平面ABC 1D 1所成的角是________; (3)直线A 1B 与平面AB 1C 1D 所成的角是________.
8.如图所示,在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,M 、N 分别是棱AA 1和AB 上的点,若∠B 1MN 是直角,则∠C 1MN =________.
9.如图所示,在四棱锥P —ABCD 中,底面ABCD 是矩形,侧棱P A 垂直于底面,E 、F 分别是AB ,PC 的中点,P A =AD .
求证:(1)CD ⊥PD ;(2)EF ⊥平面PCD .
10.如图所示,在空间四边形ABCD 中,AB =BC ,CD =DA ,E 、F 、G 分别为CD 、DA 和对角线AC 的中点.
求证:平面BEF ⊥平面BGD .
11.如图所示,在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,M 是AB 上一点,N 是A 1C 的中点,MN ⊥平面A 1DC
.
求证:(1)MN ∥AD 1;(2)M 是AB 的中点.
12.如图所示,P 是四边形ABCD 所在平面外的一点,四边形ABCD 是∠DAB =60°且边长为a 的菱形.侧面P AD 为正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD .
(1)若G
为AD 边的中点,求证:BG ⊥平面P AD ;(2)求证:AD ⊥PB .
答案与解析
1.A [PO⊥面ABC .则由已知可得,△PAO 、△PBO 、△PCO 全等,OA =OB =OC , O 为△ABC 外心.只有③正确.]
2.B [①不符合二面角定义,③从运动的角度演示可知,二面角的平面角不是最小角.] 3.C
[
如图所示,∵BC ∥DF ,∴BC ∥平面PDF .∴A 正确.
由BC ⊥PE ,BC ⊥AE ,∴BC ⊥平面PAE .∴DF ⊥平面PAE .∴B 正确. ∴平面ABC ⊥平面PAE(BC⊥平面PAE) .∴D 正确.]
4.C [①②③正确,④中n 与面α可能有:n ⊂α或n ∥α或相交(包括n ⊥α).]
11
5.B ON ,∴AM =AB ,∴M 是AB 的中点
22
6.
A
[如图:
ππ
由已知得AA ′⊥面β,∠ABA ′=BB ′⊥面α,∠BAB ′=,
64
321AB 2
设AB =a ,则BA ′=,BB ′=,在Rt △BA ′B ′中,A ′B ′=a ,∴.]
222A ′B ′1
7.(1)45° (2)30° (3)90° 8.90°
解析 ∵B 1C 1⊥面ABB 1A 1,∴B 1C 1⊥MN . 又∵MN ⊥B 1M ,∴MN ⊥面C 1B 1M , ∴MN ⊥C 1M .∴∠C 1MN =90°.
9.证明 (1)∵PA ⊥底面ABCD ,∴CD ⊥PA .
又矩形ABCD 中,CD ⊥AD ,且AD ∩PA =A ,∴CD ⊥平面PAD ,∴CD ⊥
PD .
(2)取PD 的中点G ,连接AG ,FG . 又∵G 、F 分别是PD ,PC 的中点,
1
∴GF 綊CD ,∴GF 綊AE ,
2
∴四边形AEFG 是平行四边形, ∴AG ∥EF .
∵PA =AD ,G 是PD 的中点, ∴AG ⊥PD ,∴EF ⊥PD ,
∵CD ⊥平面PAD ,AG ⊂平面PAD . ∴CD ⊥AG .∴EF ⊥CD .
∵PD ∩CD =D ,∴EF ⊥平面PCD
10.证明 ∵AB =BC ,CD =AD ,G 是AC 的中点, ∴BG ⊥AC ,DG ⊥AC , ∴AC ⊥平面BGD .
又EF ∥AC ,∴EF ⊥平面BGD .
∵EF ⊂平面BEF ,∴平面BEF ⊥平面BGD .
11.证明 (1)∵ADD 1A 1为正方形,∴AD 1⊥A 1D .
又∵CD ⊥平面ADD 1A 1,∴CD ⊥AD 1.∵A 1D ∩CD =D ,∴AD 1⊥平面A 1DC . 又∵MN ⊥平面A 1DC ,∴MN ∥AD 1.
11
(2)连接ON ,在△A 1DC 中,A 1O =OD ,A 1N =NC .∴ON CD 綊,∴ON ∥AM .
22
又∵MN ∥OA ,∴四边形AMNO 为平行四边形,∴ON =AM . 12.证明
(1)连接PG ,由题知△PAD 为正三角形,G 是AD 的中点,
∴PG ⊥AD .又平面PAD ⊥平面ABCD ,∴PG ⊥平面ABCD ,∴PG ⊥BG . 又∵四边形ABCD 是菱形且∠DAB =60°,∴BG ⊥AD .又AD ∩PG =G ,∴BG ⊥平面PAD . (2)由(1)可知BG ⊥AD ,PG ⊥AD .所以AD ⊥平面PBG ,所以AD ⊥PB