放宽二胎政策

是否應該放寬二胎政策

摘要：為控制人口的過快增長，我國在上世紀七十年代在全國範圍內推行計劃生育，在1982年將計劃生育定為了基本國策。人口問題的本質是人口眾多所帶來的社會經濟壓力，為緩解社會經濟壓力而推行計劃生育在上世紀七十年代是必須的。但是隨著時代的發展，由於計劃生育而出現的各種社會問題也日趨嚴重。例如性別比例嚴重失衡，人口結構老齡化，獨生子女的養老壓力過大等等。因此計劃生育政策應當合理做出調整，例如放寬二胎政策，允許一個家庭生育兩個孩子，具有較高的現實意義和實踐意義。

對於問題（1），我們考慮從1990年到2010年對全國人口的出生率用MATLAB進行擬合，得出ft的函數值，控制相關變數，由（1.17）式用MATLAB計算可得人口密度函數pr,t，對人口密度函數進行積分可得人口分佈函數Fr,t，對此函數取極限（即令rrmax）可得式 （1.19）。再由式（1.20）、（1.21）可得人口老齡化指數（1.22）。我們現行計劃生育政策下育齡女性平均生育胎次t的值為1.5，令放寬二胎政策後的t的值為2 。對比不同的人口老齡化指數，我們藉以說明放寬二胎政策是有利於控制未來中國人口老齡化程度的。

關於問題（2），我們建立指數模型對未來人口走勢進行分析和預測，在此模型中，我們只考慮了人口總數和總的增長率對人口數目的影響，該模型是為了說明在放寬二胎政策的條件下人口總數人在一定範圍內，未超過環境的最大容納量，繼而說明此模型是合理的。

計算時帶入的資料來自中國人口統計年鑒，資料真實可信，計算結果準確。

關鍵字：放寬二胎政策 微分方程模型 人口老齡化指數 指數模型 擬合

1、問題重述

我國是一個人口大國，人口是制約發展的關鍵因素之一，現行的計劃生育政策雖在一定程度上控制了人口的過快增長，但也帶來了一些難以解決的社會問題。如果繼續現行的計劃生育政策，在不久的將來，人口結構嚴重老齡化會是社會難以承擔的重擔，人口比例的嚴重失調也會對社會的穩定產生難以預料的影響，還有獨生子女家庭的養老壓力過大等等一系列的社會問題。我們考慮這樣兩個問題：

問題⑴：在滿足下列條件的基礎上，我們考慮對比在現行計劃生育政策基礎上構建微分方程模型預測2020年中國人口的的老齡化指數和實行放寬二胎政策的基礎上的出的2020年中國人口的老齡化指數，從而說明放寬二胎政策是有利於改變中國人口結構在未來的嚴重老齡化趨勢的。

①當人口總數很大時，F(r,t)是r，t的連續函數且有一階偏導數。 ②考慮在沒有戰爭和嚴重傳染病影響下人口大量死亡的的影響。 ③沒有大規模的人口遷移對人口增長率產生影響。 ④我們令h(r,t)=1.3,t=2,取r1,r2=18,50。

問題⑵：在不考慮戰爭、天災人禍以及遷移率的情況下用Logistic人口模型列出人口數目增長的指數函數，再通過1990到2010年的總人口數目擬合出人口數目x(t)。

模型（1）說明了放寬二胎政策有利於改善計劃生育產生的一些弊端，模型（2）說明放寬二胎政策並不違背計劃生育的初衷，實行放寬二胎的生育政策仍能使人口總數在一定的範

圍內，並未引起人口數目的大幅度增長。

2、模型的假設

1.把研究的中國人口當作一個整體，作為一個系統考慮。

2.在短時間內沒有戰爭、嚴重傳染病使得人口大量死亡。

3.不考慮醫療水準、科學技術對人的死亡率造成的影響。

4.生育模式不隨時間變化。

5.人口的遷出率等於遷出率，即遷移率不對人口數量造成影響。

3、符號說明

模型⑴

1.t——時間；

2.r——年齡；

3.rm——人類能活到的平均最大年齡； 4.N(t)——t時刻人口總數；

5.R(t)——平均年齡；

6.S（t）——平均壽命；

7.(t)——生育率（即女性一生生育的胎次）；

8.f(t)——嬰兒出生率；

9.h(r,t)——年齡為r的女性的生育加權因數，即生育方式；

10.F（r,t）——人口分佈函數；

11.p(r,t)——人口密度函數；

12.u(r,t)——t時刻年齡為r歲的人的死亡率；

13.k(r,t)——女性性別比函數； 14.rt,Nt——t時刻人口增長率； 15.r1,r2——女性育齡區間；

16.ur,tpr,tdr——表示t時刻年齡在r,rdr內死亡的人數。

模型（2）

1.t——時間（t0代表1990年）； 2.x(t)——人口數目； 3.xm——最大人口數量； 4.r(x)——年增長率；

5.x0——當t0，即1990年的人口數目。

4、問題分析

宏觀上，引起人口數量變化的因素很多，包括人口的基數、人口的自然增長率和各種擾動因素。自然增長率取決於自然死亡率和自然出生率。擾動因素諸如人口遷移、自然災害、戰爭、環境、社會，經濟發展等。我們在建立模型是不可能考慮到所有的影響因素，因此在下面兩個模型中，我們將人口作為一個整體系統來考慮，將人口增長率的變化主要取決於出生率和死亡率的變化。

針對問題（1），我們,固定在現行計劃生育政策下每個育齡女性的生育胎數為1.5，即

(t)1.5；假設在放寬二胎政策後每個育齡女性的生育胎次為2，即2(t)2，分別帶入模

1

型（1）中計算，如果後者得出的人口老齡化指數低於前者，我們則可以相信放寬二胎政策有利於緩解未來中國的人口老齡化程度。

針對問題（2），我們借用Logistic人口模型建立人口預測函數，通過擬合1990年2010年的全國人口總人數可得出人口增長的最佳曲線方程。

5、模型建立

5.1模型一：人口老齡化指數模型

根據已知的函數性質，我們可以得到以下式子： 當r=0時： F0,t0

Frm,tF,t

N(t)

Fr,tp,td

r

Ntp,td

rm

我們考慮在t時刻年齡在r,rdr的人數為

pr,tdr （1.11）

到tt時刻活著的人的年齡區間在

rdr1,rdrdr1 的人數為

prdr1,tdtdrdr1dt 在t時間內死去的人數為

ur,tpr,tdrdt 由已知文獻可知（1.11），（1.12），（1.13）三者之間關係為

（1.11）-（1.12）=（1.13）

由此可得以下等式

prdr1,tdtdrpr,tdtdrpr,tdtdrpr,tdrur,tpr,tdrdt

等號兩邊同時除以drdt，取極限可得

pr,tpr,tr

t

ur,tpr,t

我們設定初值條件為



t=0时，pr,0p0rrrmax时，prmax,t0

r0时，p0,tft 由此，我們可得如下微分方程

1.12）

1.13）

1.14）

1.15）

1.16） （ （ （ （ （

r,tpr,t

ur,tpr,t

tr

pr,0p0r （1.17） 

p0,tftr2

ftthrkr,tpr,tdr

r1

通過對1990年到2010年間全國人口出生率的曲線擬合，可以得出1990+t年的出生率，即ft，然後通過MATLAB計算可得出人口密度函數pr,t，然後對pr,t關於r進行積分,可得出人口分佈函數Fr,t，即

Fr,tpr,tdr （1.18）

r1r2

當我們取rrmax時，則人口分佈函數近似等於人口總數，即

Fr,tNt （1.19）

根據人口總數可計算總人口的平均年齡為

Rt

Nt01

rm

rpr,tdr （1.20）

又因為人的平均壽命為

St



t

e0



t

ur,tdr

d （1.21）

綜上我們可得人口老齡化指數

t

RtSt （1.22）

5.2模型二：人口增長指數模型

我們考慮經典的Logistic人口模型，由1990年到2010年的年增長率可知年增長率是相

k

對增長率，設為1r，其中k為環境的容納量，則有

x

1dxx

r1 （2.11） xdtk

解得

xt

kx0

（2.12） rt

kxex00

假設我國可容納人口總數k=20億，則（2.12）可變形為

1111rt

e （2.13） xkx0k

令等號右邊部分為eabt，則

11

eabt （2.14） xk

1

（2.15） xtabt

ek1

通過1990到2010年全國總人口數擬合可得出人口增長的最佳曲線方程。

6、模型求解

6.1模型一求解：

根據模型假設假設和中國人口統計年鑒上所查找的各類資料，見表1：

表1：1990～2010年全國人口自然增長率

統計可得從1990年到2010年每年全國人口的自然出生率，用MATLAB程式設計擬合可得出生率ft的函數，程式見附錄中的程式1如圖1所示：

出生率的運算式為

ft7.6556108x54.1578106x47.9884105x36.658910

4

x

2

0.0029x0.0233

由中國人口統計年鑒可得女性的性別比例統計，見表2：

表2：1990～2010年女性所占總人口的比例表

根據此表資料，我們運用MATLAB軟體繪製出女性占總人口比例的變化趨勢圖，見下圖2：

由此圖我們可知女性的人口比例可以假定為一個常數，我們用MATLAB可計算出kr,t=0.489817。我們令年齡為r的女性的生育加權因數hr,t=1.3。由已知數據我們可以代入（1.17）用MATLAB算出人口密度函數pr,t。按照模型（1）中（1.18）—（1.22）的步驟可解出t的取值不同時，所得出的人口老齡化指數不同。

當t=1.5時所得人口老齡化指數大於當t=2.0時所求的的人口老齡化指數，這從理論上保證了放寬二胎政策對於減緩未來人口老齡化程度的積極作用。

部分資料參考表3：

表3：1996～2010全國各年齡段人口所占比例

6.2 模型二求解

由統計資料可得從1990年到2010年的年增長率如表3所示：

表3：1990～2010年全國人口自然增長率表

由上表我們用MATLAB軟體畫出1990～2010年中國人口自然增長率變化趨勢的散點圖，圖3：

由已知的從1990年到2010年的人口總數進行擬合可得如圖3所示：

計算出（2.15）中參數a、b分別為2.4351、0.0094，即：

xt

1

e2.4351x0.0094201

由此公式可得，2020年中國人口的總數，因為在2010年中國人口的總數小於15億，故實行二胎政策符合可持續發展的要求，並未給社會帶來過大的負擔。

7、模型評價

模型（1）

該模型通過對現行的計劃生育政策的調整（即放寬二胎政策），使得嬰兒出生率發生變化，從而影響人口密度函數pr,t。再對密度函數進行積分，求出人口分佈函數Fr,t。當我們取年齡rrm（即r等於人類最大壽命）時，算出人口總數Nr,t，由此得出平均年齡、平均壽命，最後得出老齡化指數。該模型考慮了諸多因素，控制對人口數量變化影響影響較小的部分因素，再不能考慮所有因素的條件下，該模型是合理的。缺點是該模型簡化了不同年齡段的人口分佈女性生育模式，對比實際情況會顯得不太精確。

模型（2）

該模型是通過建立指數函數模型對人口未來走勢進行分析和預測，進而研究控制人口增長和老齡化的生育策略，我們只考慮人口總數和總的增長率，不涉及年齡結構，在一定程度上簡化了問題，但是同樣降低了結果的精確度。事實上，在人口預測中人口按年齡分佈狀況是很重要的。

8、模型改進

我們建立模型（1）時把女性生育加權因數hr,t令為1.3，其實這是不準確的，hr,t服從

rr1

n2

n12

e

rr12

n2

2

這個卡方分佈。該模型中未考慮生育女性的年齡組分佈以及人口年齡分佈狀況。我們可以在這三點上對模型進行改進，應該會得到相對準備的結果。

模型（2）中未考慮人口年齡結構分佈，其中假設的環境容納量為20億也有待精確，故可以從這兩點上對模型進行改進。

參考文獻

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附錄

程式1（模型（1）的MATLAB程式）：

syms t r y a b c d e f t=[1:1:21];

r=[0.02106 0.01968 0.01824 0.01809 0.01770 0.01712 0.01698 0.01657 0.01603 0.01523 0.01138 0.01338 0.01286 0.01241 0.01229 0.01240 0.01209 0.01210 0.01214 0.01213 0.0119]; axis([0 22 0.01 0.022]); aa=polyfit(t,r,5); a=aa(1) b=aa(2) c=aa(3) d=aa(4) e=aa(5) f=aa(6)

y=polyval(aa,t); hold on

plot(t,r,'k+',t,y,'r--') grid

程式2（模型（1）的MATLAB程式）： 程式syms t k

t=[1990:1:2010];

k=[48.48 48.66 48.95 48.98 48.90 48.97 49.98 48.93 49.02 49.02 48.37 48.47 48.53 48.95 49.15 49.46 49.33 49.3 49.23 49.2 48.73];

plot(t,k,'r--') grid

程式3（模型（2）的MATLAB程式）：

plot(t,N1,'g-','linewidth',3) grid;x=[1990:1:2010];

y=[114333 115823 117171 118517 119850 121121 122389 123626 124810 125909 129533 127627 128453 129227 129988 130756 131448 132129 132802 133474 134100]; plot(x,y,'r*','markersize',10);

axis([1990 2010 113000 135000]) p=polyfit(x,y,3); p1=polyfit(x,y,6); t=1990:1:2010; s=polyval(p,t); s1=polyval(p1,t); hold on

plot(t,s,'k-','linewidth',2) plot(t,s1,'g--','linewidth',2) grid

t=[1990:1:2010];

N=[114333 115823 117171 118517 119850 121121 122389 123626 124810 125909 129533 127627 128453 129227 129988 130756 131448 132129 132802 133474 134100]; n=21;

a=sum(t(1:n));

b=sum(t(1:n).*t(1:n)); c=sum(log(N(1:n)));

d=sum(t(1:n).*log(N(1:n))); A=[b a;a n];B=[c;d]; p=inv(A)*B t=1990:1:2020; k=1/20;

N1=1./(k+exp(p(1)+p(2).*t));