角平分线.线段的垂直平分线定理专题复习

角平分线定理、线段垂直平分线定理专题复习

一、知识梳理：

（一）线段垂直平分线的性质： 1、（1定理的数学表示：如图1，已知直线m与线段AB垂直相交于点D，且AD＝BD， 若点C在直线m上，则AC＝BC. 定理的作用：证明两条线段相等 （2）线段关于它的垂直平分线对称.

2、线段垂直平分线性质定理的逆定理

（1）线段垂直平分线的逆定理：

到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.

定理的数学表示：如图2，已知直线m与线段AB垂直相交于点D，

且AD＝BD，若AC＝BC，则点C在直线m上.

定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上.

3、关于三角形三边垂直平分线的定理 图2

（1）关于三角形三边垂直平分线的定理：

三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.

定理的数学表示：如图3，若直线i,j,k分别是△ABC三边AB、BC、CA

图1

直平分线，则直线i,j,k相交于一点O，且OA＝OB＝OC. 定理的作用：证明三角形内的线段相等.

（2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：

若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部.反之，三角形三边垂直平分线的交点在三角形内部，则该三角形是锐角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形的边上，则该三角形是直角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形外部，则该三角形是钝角三角形.

（二）角平分线的性质定理： 1、角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 定理的数学表示：如图4，已知OE是∠AOB的平分线，F是OE上一点， 若CF⊥OA于点C，DF⊥OB于点D，则CF＝DF. 定理的作用：①证明两条线段相等；②用于几何作图问题；

图4角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线.

2、角平分线性质定理的逆定理：

角平分线性质定理的逆定理：在角的内部，且到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上.

定理的数学表示：如图5，已知点P在∠AOB的内部，且PC⊥OA于C，PD若PC＝PD，则点P在∠AOB的平分线上.

定理的作用：用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线

注意：角平分线的性质定理与逆定理的区别和联系.

3、关于三角形三条角平分线的定理：

（1）关于三角形三条角平分线交点的定理：

三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等.

定理的数学表示：如图6，如果AP、BQ、CR分别是△ABC的内角∠BAC、∠ABC、∠ACB的平分线，

（1）会作已知线段的垂直平分线； （2）会作已知角的角平分线； （3）会作与线段垂直平分线和角平分线有关的简单综合问题的图形.

二、典型例题：

例1、如图1，在△ABC中，BC＝8cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交边 AC于点E，△BCE的周长等于18cm，则AC的长等于（ ） A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm

及时练习：

（1）如图，AB=AC=14cm,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E， 如果△EBC的周长是24cm，那么BC=_________;

（2）如图，AB=AC=14cm,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E， 如果BC=8cm，那么△EBC的周长是______;

（3）如图，AB=AC,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E， 如果∠A=28度，那么∠EBC=___. 例2、已知： AB=AC，DB=DC，E是AD上一点，求证：BE=CE.

及时练习：

已知：在△ABC中，ON是AB的垂直平分线,OA=OC. 求证：点O在BC的垂直平分线.

例3、在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与边AC所在的直线相交所成锐角为50°，△C ABC的底角∠B的大小为_______________。

及时练习：

在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在直线相交所得的锐角为40°，则底角B的大小为________________。

例4、如图8，已知AD是△ABC的BC边上的高，且∠C＝2∠B，求证：BD＝AC＋CD.

例5、已知：如图，点B、C在∠A的两边上，且AB=AC，P为∠A，垂足分别是E、F。求证：PE=PF

及时练习：

已知： PA、PC分别是△ABC外角∠MAC和∠NCA平分线，它们交于P，PD⊥BM于D，PF⊥BN于F，求证：BP为∠MBN的平分线。

例6、如图10，已知在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，E为BC中点，连接AE、DE，DE平分∠ADC，求证：AE平分∠BAD.

及时练习：

如图所示，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：DE=DF。

例7、如图11，已知在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，且∠BAD与∠BCD互补， 求证：AD＝CD.

三、课堂练习：

1.如图，AC=AD，BC=BD，则（ ）

A. CD垂直平分AD B. AB垂直平分CD C. CD平分∠ACB D. 以上结论均不对

2.如果三角形三条边的中垂线的交点在三角形的外部，那么，这个三角形是（ ） A.直角三角形B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形

3. △ABC中，AB的垂直平分线交AC于D，如果AC=5 cm，BC=4cm，那么△DBC的周长是（ ） A.6 cm B.7 cm C.8 cm D.9 cm

4. 如图所示，AB//CD，O为∠A、∠C的平分线的交点，OE⊥AC于E， 且OE=2，则AB与CD之间的距离等于______________。

5. 已知，如图，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC， 求证：AO⊥BC.

6. 如图7，在△ABC中，AC＝23，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，△ACE的周长为50，求BC边的长.

7. 已知：如图所示，∠ACB，∠ADB都是直角，且AC=AD，P是AB上任意一点，求证：CP=DP.

8. 如图，AD⊥DC，BC⊥DC，E是DC上一点，AE平分∠DAB．

(1)如果BE平分∠ABC，求证：点E是DC

的中点； (2)如果E是DC的中点，求证：BE平分∠ABC．

D

9. 如图，在△ABC中，AB=BC=AC，AD⊥BC于D，E、F分别为AB、AC中点．求证：DA平分∠EDF．

10. 如图，在直线MN上找一点P，使点P到直线AB和射线OC的距离相等．

四、课外作业：

1.下列命题中正确的命题有（ ）

①线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等；

②线段上任一点到垂直平分线两端距离相等；③经过线段中点的直线只有一条；

④点P在线段AB外且PA=PB，过P作直线MN，则MN是线段AB的垂直平分线； ⑤过线段上任一点可以作这条线段的中垂线. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

2. △ABC中，AB=AC，AC的中垂线交AB于E，△EBC的周长为20cm，AB=2BC，则腰长为________________。

3. 如图所示，直线l1，l2，l3表示三条互相交叉的公路，现在要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ） A. 一处 B. 二处 C. 三处

D. 四处

4.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，AB的垂直平分线MN分别交BC、AB于点M、N. 求证：CM=2BM.

5. 如右图，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于点D，若BD=CD.求证：AD平分∠BAC.

6. 如图，△ABC中，∠ABC=1000，∠ACB的平分线交AB于E，在AC上取一点D，使∠CBD=200，连结DE．求∠CED的度数．