高中数学竞赛平面几何的几个重要定理--托勒密定理
托勒密定理:圆内接四边形中,两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积
之和).
即:定理:在四边形ABCD中,有:ABCDADBCACBD
并且当且仅当四边形ABCD内接于圆时,等式成立;
证:在四边形ABCD内取点E,使BAECAD,ABEACD
ABBE则:ABE和ACD相似ABCDACBEACCDABAE又且BACEADABC和AED相似ACAD
BCEDADBCACEDACAD
ABCDADBCAC(BEED)
ABCDADBCACBD且等号当且仅当E在BD上时成立,即当且仅当A、B、C、一、直接应用托勒密定理
例1 如图2,P是正△ABC外接圆的劣弧上任一点(不与B、C重合), 求证:PA=PB+PC.
分析:此题证法甚多,一般是截长、补短,构造全等三角形,均为
繁冗.若借助托勒密定理论证,则有PA·BC=PB·AC+PC·AB,
∵AB=BC=AC. ∴PA=PB+PC.
二、完善图形 借助托勒密定理
例2 证明“勾股定理”:在Rt△ABC中,∠B=90°,求证:AC2=AB2+BC2 证明:如图,作以Rt△ABC的斜边AC为一对角线的矩形ABCD,显然ABCD是圆内接四边形.
由托勒密定理,有 AC·BD=AB·CD+AD·BC. ①
又∵ABCD是矩形,∴AB=CD,AD=BC,AC=BD. ②
把②代人①,得AC2=AB2+BC2.
例3 如图,在△ABC中,∠A的平分 线交外接∠圆于D,连结BD,
求证:AD·BC=BD(AB+AC).
证明:连结CD,依托勒密定理,有AD·BC=AB·CD+AC·BD.
∵∠1=∠2,∴ BD=CD.
故 AD·BC=AB·BD+AC·BD=BD(AB+AC).
三、构造图形 借助托勒密定理
例4 若a、b、x、y是实数,且a2+b2=1,x2+y2=1.求证:ax+by≤1.
证明:如图作直径AB=1的圆,在AB两边任作Rt△ACB和Rt△ADB,
使AC=a,
BC=b
,
BD=x,AD=y.
由勾股定理知a、b、x、y是满足题设条件的.
据托勒密定理,有AC·BD+BC·AD=AB·CD.
∵CD≤AB=1,∴ax+by≤1.
四、巧变原式 妙构图形,借助托勒密定理
例5 已知a、b、c是△ABC的三边,且a2=b(b+c),求证:∠A=2∠B.
分析:将a2=b(b+c)变形为a·a=b·b+bc,从而联想到托勒密定理,进而构造一个等腰梯形,使两腰为b,两对角线为a,一底边为c.
证明:如图 ,作△ABC的外接圆,以 A为圆心,BC为半径作弧交圆于D,连结BD、DC、DA.∵AD=BC,ACDBDC∴∠ABD=∠BAC.
又∵∠BDA=∠ACB(对同弧),∴∠1=∠2.
依托勒密定理,有BC·AD=AB·CD+BD·AC. ①
而已知a2=b(b+c),即a·a=b·c+b2. ②
∴∠BAC=2∠ABC.
五、巧变形 妙引线 借肋托勒密定理
例6 在△ABC中,已知∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶4,
分析:将结论变形为AC·BC+AB·BC=AB·AC,把三角形和圆联
系起来,可联想到托勒密定理,进而构造圆内接四边形.
如图,作△ABC的外接圆,作弦BD=BC,边结AD、CD.
在圆内接四边形ADBC中,由托勒密定理,
有AC·BD+BC·AD=AB·CD
易证AB=AD,CD=AC,∴AC·BC+BC·AB=AB·AC,
1.已知△ABC中,∠B=2∠C。求证:AC=AB+AB·BC。
【分析】过A作BC的平行线交△ABC的外接圆于D,连结BD。
则CD=DA=AB,AC=BD。由托勒密定理,AC·BD=AD·BC+CD·AB。
2.由ABC外接圆的弧BC上一点P分别向边BC、AC与AB作垂线PK、PL和PN,22
BCACABPKPLPM
证:连接PA、
PB、PC,对于四边形ABPC利用托勒密定理有:
BCAPACBPABCP
BCACABAPPKBPPLCPPMPKPLPM
由KBPLAP可知RtKBP和RtLAP相似
PKPBAPPKBPPLPLPA
同理可得:BPPLCPPM
BCACAB由APPKBPPLCPPM可得:PKPLPM
BCACABPKPLPM