2016高三物理专题:动量守恒定律的应用

2016高三物理专题：动量守恒定律的应用

一、动量守恒条件的扩展应用 1．动量守恒定律成立的条件：

(1)系统不受外力或所受外力的合力为零； (2)系统的内力远大于外力．

(3)系统在某一方向上不受外力或所受外力的合力为0；

2．动量守恒定律的研究对象是系统．研究多个物体组成的系统时，必须合理选择系统，分清系统的内力与外力，然后判断所选系统是否符合动量守恒的条件．

例1 如图1所示，一辆砂车的总质量为M ，静止于光滑的水平面上．一个质量为m 的物体A 以速度v 落入砂车中，v 与水平方向成θ角，求物体落入砂车后车的速度v ′

.

图1

解析 物体和车作用时总动量不守恒，而水平面光滑，系统在水平方向上动量守恒，即m v cos θ＝(M

m v cos θ

＋m ) v ′，得v ′＝，方向与v 的水平分量方向相同．

M ＋m

m v cos θ答案 v 的水平分量方向相同．

M ＋m 例2 一弹丸在飞行到距离地面5m 高时仅有水平速度v ＝2m/s，爆炸成为甲、乙两块水平飞出，甲、乙的质量比为3∶1. 不计质量损失，取重力加速度g ＝10 m/s2. 则下列图中两块弹片飞行的轨迹可能正确的是(

)

解析 弹丸爆炸瞬间爆炸力远大于外力，故爆炸瞬间动量守恒．因两弹片均水平飞出，飞行时间t

x 1s ，取向右为正方向，由水平速度v ＝知，选项A 中，v 甲＝2.5m/s，v 乙＝－0.5 m/s；选

g t 项B 中，v 甲＝2.5m/s，v 乙＝0.5 m/s；选项C 中，v 甲＝1m/s，v 乙＝2 m/s；选项D 中，v 甲＝－1m/s，

31

v 乙＝2 m/s.因爆炸瞬间动量守恒，故m v ＝m 甲v 甲＋m 乙v 乙，其中m 甲＝，m 乙＝，v ＝2m/s，代

44

入数值计算知选项B 正确． 答案 B

二、多物体、多过程动量守恒定律的应用 求解这类问题时应注意：

(1)正确分析作用过程中各物体状态的变化情况；

(2)分清作用过程中的不同阶段，并按作用关系将系统内的物体分成几个小系统． (3)对不同阶段、不同的小系统准确选取初、末状态，分别列动量守恒方程．

例3 如图2所示，A 、B 两个木块质量分别为2kg 与0.9kg ，A 、B 与水平地面间接触光滑，上表面粗糙，质量为0.1kg 的铁块以10m/s的速度从A 的左端向右滑动，最后铁块与B 的共同速度大小为0.5 m/s，求：

(1)A 的最终速度大小；

(2)铁块刚滑上B 时的速度大小．

图2

解析 (1)选铁块和木块A 、B 为一系统，取水平向右为正方向， 由系统总动量守恒得：m v ＝(M B ＋m ) v B ＋M A v A 可求得：v A ＝0.25m/s

(2)设铁块刚滑上B 时的速度为u ，此时A 、B 的速度均为v A ＝0.25m/s. 由系统动量守恒得：m v ＝mu ＋(M A ＋M B ) v A 可求得u ＝2.75m/s

答案 (1)0.25m/s (2)2.75 m/s

针对训练 如图3所示，光滑水平面上有三个木块A 、B 、C ，质量分别为m A ＝m C ＝2m 、m B ＝m . A 、B 用细绳连接，中间有一压缩的弹簧(弹簧与木块不栓接) ．开始时A 、B 以共同速度v 0运动，C 静止．某时刻细绳突然断开，A 、B 被弹开，然后B 又与C 发生碰撞并粘在一起，最终三木块速度恰好相同，求B 与C 碰撞前B 的速度．

图3

9答案 0

5

解析 细绳断开后，在弹簧弹力的作用下，A 做减速运动，B 做加速运动，最终三者以共同速度向

右运动，设共同速度为v ，A 和B 分开后，B 的速度为v B ，对三个木块组成的系统，整个过程总动量守恒，取v 0的方向为正方向，则有(m A ＋m B ) v 0＝(m A ＋m B ＋m C ) v 对A 、B 两个木块，分开过程满足动量守恒，则有 (m A ＋m B ) v 0＝m A v ＋m B v B

联立以上两式可得：B 与C 碰撞前B 的速度为

9v B ＝v 0.

5三、动量守恒定律应用中的临界问题分析

分析临界问题的关键是寻找临界状态，在动量守恒定律的应用中，常常出现相互作用的两物体相距最近、避免相碰和物体开始反向等临界状态，其临界条件常常表现为两物体的相对速度关系与相对位移关系，这些特定关系的判断是求解这类问题的关键．

例4 如图4所示，甲、乙两小孩各乘一辆冰车在水平冰面上游戏．甲和他的冰车总质量共为M ＝30kg ，乙和他的冰车总质量也是30kg. 游戏时，甲推着一个质量为m ＝15kg 的箱子和他一起以v 0＝2m/s的速度滑行，乙以同样大小的速度迎面滑来．为了避免相撞，甲突然将箱子沿冰面推给乙，箱子滑到乙处，乙迅速抓住．若不计冰面摩擦．

图4

(1)若甲将箱子以速度v 推出，甲的速度变为多少？(用字母表示) ．

(2)设乙抓住迎面滑来的速度为v 的箱子后返向运动，乙抓住箱子后的速度变为多少？(用字母表示) (3)若甲、乙最后不相撞，则箱子被推出的速度至少多大？

解析 (1)甲将箱子推出的过程，甲和箱子组成的系统动量守恒，以v 0的方向为正方向，由动量守恒定律得：(M ＋m ) v 0＝m v ＋M v 1①

(M ＋m )v 0－m v

解得v 1＝②

M

(2)箱子和乙作用的过程动量守恒，以箱子的速度方向为正方向，由动量守恒定律得： m v －M v 0＝(m ＋M ) v 2③

m v －M v 解得v 2＝

m ＋M

(3)甲、乙不相撞的条件是v 1≤v 2⑤ 其中v 1＝v 2为甲、乙恰好不相撞的条件． 联立②④⑤三式，并代入数据得 v ≥5.2m/s.

(M ＋m )v 0－m v m v

－M v 0

答案

(1) (2) (3)5.2m/s

M m ＋M

1．系统动量守

合外力为零⎧⎪

恒的条件⎨内力远大于外力

⎪⎩某方向上合外力为零，该方向动量守恒2．合理选取研究对象和研究过程 3．临界问题的分析

1．(动量守恒条件的扩展应用) 如图5所示，在光滑的水平面上有一静止的斜面，斜面光滑，现有一个小球从斜面顶端由静止释放，在小球下滑的过程中，以下说法正确的是( )

图5

A ．斜面和小球组成的系统动量守恒

B ．斜面和小球组成的系统仅在水平方向上动量守恒 C ．斜面向右运动 D ．斜面静止不动 答案 BC

解析 斜面受到的重力、地面对它的支持力以及球受到的重力，这三个力的合力不为零(球有竖直向下的加速度) ，故斜面和小球组成的系统动量不守恒，A 选项错误．但在水平方向上斜面和小球组成的系统不受外力，故水平方向动量守恒，B 选项正确．由水平方向动量守恒知斜面向右运动，C 选项正确，D 选项错误．

2．(动量守恒条件的扩展应用) 如图6所示，小车放在光滑的水平面上，将系着绳的小球拉开到一定的角度，然后同时放开小球和小车，那么在以后的过程中( )

图6

A ．小球向左摆动时，小车也向左运动，且系统动量守恒

B ．小球向左摆动时，小车向右运动，且系统在水平方向上动量守恒 C ．小球向左摆到最高点，小球的速度为零而小车的速度不为零

D ．在任意时刻，小球和小车在水平方向上的动量一定大小相等、方向相反 答案 BD

解析 以小球和小车组成的系统为研究对象，在水平方向上不受外力的作用，所以系统在水平方向上动量守恒．由于初始状态小车与小球均静止，所以小球与小车在水平方向上的动量要么都为零，要么大小相等、方向相反，所以A 、C 错，B 、D 对．

3．(多过程动量守恒定律的应用) 如图7所示，质量为M 的盒子放在光滑的水平面上，盒子内表面不光滑，盒内放有一块质量为m 的物体．从某一时刻起给m 一个水平向右的初速度v 0，那么在物块与盒子前后壁多次往复碰撞后(

)

图7

A ．两者的速度均为零 B ．两者的速度总不会相等 C ．物体的最终速度为m v 0/M ，向右 D ．物体的最终速度为m v 0/(M ＋m ) ，向右 答案 D

解析 物体与盒子组成的系统所受合外力为零，物体与盒子前后壁多次往复碰撞后，以速度v 共同运动，由动量守恒定律得：

m v 0＝(M ＋m ) v ，故v ＝m v 0/(M ＋m ) ，向右，D 项对．

3

4．(临界值问题) 如图8所示，滑块A 、C 的质量均为m ，滑块B 的质量为m . 开始时A 、B 分别以v 1、

2v 2的速度沿光滑水平轨道向固定在右侧的挡板运动，现将C 无初速度

地放在A 上，并与A 粘合不再分开，此时A 与B 相距较近，B 与挡板相距足够远．若B 与挡板碰撞将以原速率反弹，A 与B 碰撞将粘合在一起．为使B 能与挡板碰撞两次，v 1、v 2应满足什么关系？

图8

12

答案 1.5v 2

23

解析 设向右为正方向，A 与C 粘合在一起的共同速度为v ′，由动量守恒定律得m v 1＝2m v ′① 为保证B 碰挡板前A 未能追上B ，应满足v ′≤v 2②

设A 与B 碰后的共同速度为v ″，由动量守恒定律得

37

2m v ′－m v 2＝m v ″③

2

2为使B 能与挡板再次碰撞应满足v ″>0④

12

联立①②③④式得1.5v 2

23

题组一

动量守恒条件的扩展应用

1．在匀速行驶的船上，当船上的人相对于船竖直向上抛出一个物体时，船的速度将(水的阻力不变)( ) A ．变大B ．变小 C ．不变D ．无法判定 答案 C

解析 相对于船竖直向上抛出物体时，由于惯性，物体水平方向的速度和船的速度相同，船和物体组成的系统水平方向动量守恒，故船的速度不变．

2．如图1所示，A 、B 两木块紧靠在一起且静止于光滑水平面上，物块C 以一定的初速度v 0从A 的左端开始向右滑行，最后停在B 木块的右端，对此过程，下列叙述正确的是( )

图1

A ．当C 在A 上滑行时，A 、C 组成的系统动量守恒 B ．当C 在B 上滑行时，B 、C 组成的系统动量守恒

C ．无论C 是在A 上滑行还是在B 上滑行，A 、B 、C 组成的系统动量都守恒 D ．当C 在B 上滑行时，A 、B 、C 组成的系统动量不守恒 答案 BC

解析 当C 在A 上滑行时，对A 、C 组成的系统，B 对A 的作用力为外力，不等于0，故系统动量不守恒，选项A 错误；当C 在B 上滑行时，A 、B 已分离，对B 、C 组成的系统，沿水平方向不受外力作用，故系统动量守恒，选项B 正确；若将A 、B 、C 视为一个系统，则沿水平方向无外力作用，系统动量守恒，选项C 正确，选项D 错误．

3．质量为M 和m 0的滑块用轻弹簧连接，以恒定速度v 沿光滑水平面运动，与位于正对面的质量为m 的静止滑块发生碰撞，如图2所示，碰撞时间极短，在此过程中，下列情况可能发生的是( )

图2

A ．M 、m 0、m 速度均发生变化，碰后分别为v 1、v 2、v 3，且满足(M ＋m 0) v ＝M v 1＋m v 2＋m 0v 3 B ．m 0的速度不变，M 和m 的速度变为v 1和v 2，且满足M v ＝M v 1＋m v 2 C ．m 0的速度不变，M 和m 的速度都变为v ′，且满足M v ＝(M ＋m ) v ′

D ．M 、m 0、m 速度均发生变化，M 和m 0的速度都变为v 1，m 的速度变为v 2，且满足(M ＋m 0) v ＝(M ＋m 0) v 1＋m v 2 答案 BC

解析 M 和m 碰撞时间极短，在极短的时间内弹簧形变极小，可忽略不计，因而m 0在水平方向上没有受到外力作用，动量不变(速度不变) ，可以认为碰撞过程中m 0没有参与，只涉及M 和m ，由于水平面光滑，弹簧形变极小，所以M 和m 组成的系统水平方向动量守恒，两者碰撞后可能具有共同速度，也可能分开，所以只有B 、C 正确． 题组二 多物体、多过程动量守恒定律的应用

4．如图3所示，小车放在光滑水平面上，A 、B 两人站在小车的两端，这两人同时开始相向行走，发现小车向左运动，分析小车运动的原因可能是(

)

图3

A ．A 、B 质量相等，但A 比B 速率大 B ．A 、B 质量相等，但A 比B 速率小 C ．A 、B 速率相等，但A 比B 的质量大 D ．A 、B 速率相等，但A 比B 的质量小 答案 AC

解析 A 、B 两人及小车组成的系统动量守恒，则m A v A －m B v B －m C v C ＝0，得m A v A －m B v B >0.所以A 、C 正确．

5．质量为M 的木块在光滑水平面上以速度v 1向右运动，质量为m 的子弹以速度v 2水平向左射入木块，要使木块停下来，必须使发射子弹的数目为(子弹留在木块中不穿出)( ) (M －m )v 1M v 1A. m v 2(M ＋m )v 2M v m v C. m v 2M v 2

答案 C

解析 设发射子弹的数目为n ，选择n 颗子弹和木块M 组成的系统为研究对象．系统在水平方向所受的合外力为零，满足动量守恒的条件．设木块M 以v 1向右运动，连同n 颗子弹在射入前向左运动为系统的初状态，子弹射入木块后停下来为系统的末状态．选子弹运动的方向为正方向，由动量守恒定律有：

M v 1

nm v 2－M v 1＝0，得n ＝m v 2所以选项C 正确．

M 20

6．如图4所示，一玩具小车携带若干质量为m 的弹丸，车和弹丸的总质量为M () ，在半径为

m 1R 的水平光滑轨道上以速度v 0做匀速圆周运动，若小车每转一周便沿运动方向相对地面以恒定速度v 01

v () 发射一颗弹丸，则小车发射第几颗弹丸时静止(

)

5

图4

A ．4B ．5C ．8D ．10 答案 A

解析 假设小车发射第n 颗弹丸时静止，则由动量守恒定律可得：M v 0＝nm v .

v 01M

把＝20，代入上式，可得n ＝4. m 5

7．质量相等的五个物块在一光滑水平面上排成一条直线，且彼此隔开一定的距离，具有初速度v 0的第5号物块向左运动，依次与其余四个静止物块发生碰撞，如图5所示，最后这五个物块粘成一个整体，求它们最后的速度为

________.

图5

1答案 0

5

1

解析 由五个物块组成的系统，沿水平方向不受外力作用，故系统动量守恒，m v 0＝5m v ，v ＝v 0，

5

1

即它们最后的速度为0.

58．在如图6所示的光滑水平面上，小明站在静止的小车上用力向右推静止的木箱，木箱最终以速度v 向右匀速运动．已知木箱的质量为m ，人与车的质量为2m ，木箱运动一段时间后与竖直墙壁发生

无能量损失的碰撞，反弹回来后被小明接住．求：

图6

(1)推出木箱后小明和小车一起运动的速度v 1的大小； (2)小明接住木箱后三者一起运动的速度v 2的大小．

12

答案 (1) (2)

23解析 (1)由动量守恒定律 2m v 1－m v ＝0 1

解得v 1＝v

2

(2)小明接木箱的过程中动量守恒 2m v 1＋m v ＝(2m ＋m ) v 2

2

解得v 2＝v

3题组三 综合应用

9．如图7所示，质量分别为m 1和m 2的两个等半径小球，在光滑的水平面上分别以速度v 1、v 2向右运动，并发生对心正碰，之后m 2与墙碰撞被墙弹回，与墙碰撞过程中无能量损失，m 2返回后又与m 1相向碰撞，碰后两球都静止，求第一次碰后m 1球的速度．

图7

答案

m 1v 1＋m 2v 2

方向向右

2m 1

解析 设m 1、m 2第一次碰后的速度大小分别为v 1′、v 2′，以向右为正方向，则由动量守恒定律知 m 1v 1＋m 2v 2＝m 1v 1′＋m 2v 2′ m 1v 1′－m 2v 2′＝0

m 1v 1＋m 2v 2

解得v 1′＝

2m 1

10．如图8所示，甲车质量m 1＝20kg ，车上有质量M ＝50kg 的人，甲车(连同车上的人) 以v ＝3m/s的速度向右滑行，此时质量m 2＝50 kg的乙车正以v 0＝1.8 m/s的速度迎面滑来，为了避免两车相撞，当两车相距适当距离时，人从甲车跳到乙车上，求人跳出甲车的水平速度(相对地面) 应当在什么范围以内才能避免两车相撞？不计地面和小车的摩擦，且乙车足够长．

图8

答案 大于等于3.8m/s

解析 人跳到乙车上后，如果两车同向，甲车的速度小于或等于乙车的速度就可以避免两车相撞． 以人、甲车、乙车组成的系统为研究对象， 由水平方向动量守恒得：

(m 1＋M ) v －m 2v 0＝(m 1＋m 2＋M ) v ′，解得v ′＝1m/s.

以人与甲车为一系统，人跳离甲车过程水平方向动量守恒，得：(m 1＋M ) v ＝m 1v 1′＋Mu 解得u ＝3.8m/s.

因此，只要人跳离甲车的速度u ≥3.8m/s， 就可避免两车相撞．

11．如图9所示，光滑水平轨道上有三个木块A 、B 、C ，质量分别为m A ＝3m 、m B ＝m C ＝m ，开始时B 、C 均静止，A 以初速度v 0向右运动，A 与B 碰撞后分开，B 又与C 发生碰撞并粘在一起，此后A 与B 间的距离保持不变．求B 与C 碰撞前B 的速度大小．

图9

6答案 0

5

解析 设A 与B 碰撞后，A 的速度为v A ，B 与C 碰撞前B 的速度为v B ，B 与C 碰撞后粘在一起的速度为v ，以v 0的方向为正方向， 由动量守恒定律得

对A 、B 木块：m A v 0＝m A v A ＋m B v B 对B 、C 木块：m B v B ＝(m B ＋m C ) v 由A 与B 间的距离保持不变可知

6

v A ＝v ，联立代入数据解得v B ＝0

5

12．如图10所示，光滑水平轨道上放置长板A (上表面粗糙) 和滑块C ，滑块B 置于A 的左端，三者质量分别为m A ＝2kg 、m B ＝1kg 、m C ＝2kg. 开始时C 静止．A 、B 一起以v 0＝5m/s的速度匀速向右运动，A 与C 发生碰撞(时间极短) 后C 向右运动，经过一段时间，A 、B 再次达到共同速度一起向右运动，且恰好不再与C 发生碰撞．求A 与C 碰撞后瞬间A 的速度大小．

图10

答案 2m/s

解析 因碰撞时间极短，A 与C 碰撞过程动量守恒，设碰后瞬间A 的速度为v A ，C 的速度为v C ，以向右为正方向，由动量守恒定律得

m A v 0＝m A v A ＋m C v C ①

A 与B 在摩擦力作用下达到共同速度，设共同速度为v AB ，由动量守恒定律得 m A v A ＋m B v 0＝(m A ＋m B ) v AB ②

A 与B 达到共同速度后恰好不再与C 碰撞，应满足

v AB ＝v C ③

联立①②③式，代入数据得

v A ＝2m/s