8.4.2 向量内积的直角坐标运算
向量内积的直角坐标运算
【教材分析】
本课是在平面向量坐标运算、内积定义基础上学习的,主要知识是平面向量内积的坐标运算与平面内两点间的距离公式,是后面学习曲线方程的重要公式和推导依据,是进一步学习相关数学知识的重要基础。 【教学目标】
1. 掌握平面向量内积的坐标表示,会应用平面向量内积的知识解决平面内有关长度、两向量的夹角和垂直的问题.
2. 能够根据平面向量的坐标,判断两向量是否垂直,求两向量的夹角等。
3. 通过学习平面向量的坐标表示,使学生进一步了解数学知识的相同性,培养学生辩证思维能力.提高学生数学知识的应用能力。 【教学重点】
平面向量内积的坐标公式式,平面向量垂直的充要条件,平面内两点间距离公式的应用. 【教学难点】
平面向量内积的坐标公式的推导和应用。 【教学方法】
本节课采用问题启发式教学和讲练结合的教学方法. 【教学过程】
已知e 1,e 2 是直角坐标平面上的基向量,如 果=(a1,a 2) ,
学生讨论并回答,
=(b1,b 2) ,你能推导出 的坐标公式吗?教师再提出 探究过程
·=(a1e 1+a 2e 2) ·(b1e 1+b 2e 2) 新
的下列问题:
=a 1b 1e 1·e 1+a 1b 2e 1·e 2+a 2b 1e 1·e 2+(1)(a1e 1+
a 2e 2) ·(b1e 1+b 2e 2)) 是怎样进行运算的?
a ·b =a 1b 1+a 2b 2.
课 a 2b 2e 2·e 2, 知 又因为 识 讲 所以 解
e 1·e 1=1,e 2·e 2=1,e 1·e 2=0,
(2)
定理 在直角坐标平面xoy 中,如果=(a1,e 1·e 1,a 2) ,=(b1,b 2) 则
·=a 1b 1+a 2b 2.
e 2·e 2 ,e 1e 2的内积
即:两个向量的内积等于它们对应坐标的是怎样计算乘积的和.
因此可以推出两向量垂直的充要条件为
⊥ a 1 b1+a 2 b2=0;
的?
教师给出向量内积
问题:(1)若已知=(a1,a 2) ,你能用上面的的直角坐标定理求出| | 吗?
解 因为
| |2=·=(a1,a 2) ·(a1,a 2)
运算公式.并引导学生用文字叙述.
【设计理念】
数学学习是一个知识理解、迁移、转化的过程,因此要实现教学的有效性,必须知识点的迁移、转化,引导学生充分利用自己已有的知识与经验,通过对问题的探究与解决,实现数学知识的转化,从而实现数学知识的归纳和应用,达成教学目标。