2014高考数学三角形应用题必做

例1、如图所示，已知半圆的直径AB=2，点C 在AB 的延长线上，BC=1，点P 为半圆上的一个动点，以DC 为边作等边△PCD ，且点D 与圆心O 分别在PC 的两侧，求四边形OPDC 面积的最大值.

解 设∠POB=θ，四边形面积为y ， 则在△POC 中，由余弦定理得 PC 2=OP2+OC2-2OP·OCcos θ=5-4cosθ. ∴y=S△OPC +S△PCD =

1π

×1×2sin θ

(5-4cosθ)=2sin(θ-. 23∴当θ-

ππ5π=，即θ=时，y max

. 326所以四边形OPDC 面积的最大值为

. 例2、某观测站C 在A 城的南偏西20°的方向. 由A 城出发的一条公路，走向是南偏东40°，在C 处测得公路上B 处有一人距C 为31千米正沿公路向A 城走去，走了20千米后到达D 处，此时CD 间的距离为21千米，问这人还要走多少千米才能到达A 城？ 解 设∠ACD=α，∠CDB=β. 在△BCD 中，由余弦定理得

BD 2+CD 2-CB 2

cos β=

2BD ⋅CD

202+212-3121==-，则sin β

=,

72⨯20⨯217

而sin α=sin(β-60°)=sinβcos60°-cos βsin60°

11, 2

7

在△ACD 中，由正弦定理得

21AD

=,

sin 60︒sin α

∴AD=

21sin α

sin 60︒

21⨯

=15(千米). 2

答 这个人再走15千米就可到达A 城.

例3、如图ABCD 是一块边长为100m 的正方形地皮，其中ATPN 是一半径为90m 的扇形小山，P 是弧TN 上一点，其余部分都是平地，现一开发商想在平地上建造一个有边落在BC 与CD 上的长方形停车场PQCR ，求长方形停车场PQCR 面积的最大值和最小值。

分析：矩形PQCR 的面积显然跟P 的位置有关，连AP ，延长RP 交AB 于M 。若直接设RP

22

的长度为x ，则PM=100－x, 在Rt △APM 中，AM=90-(100-x ) ，从而得PQ=MB=1002222

－90-(100-x ) ，S=（100－90-(100-x ) ）·x ，虽然可以得出函数关系，但是

求解面积的最值比较复杂。不妨以角为变量建立函数关系。

解：如上添加辅助线，设∠PAB=θ（00

t 2-1（sinθ+ cosθ）+8100 sinθcosθ。设sinθ+ cosθ=t(1

2

S=

例4、如图，一条河宽1km ，两岸各有一座城市A 和B ，A 与B 的直线距离是4km ，今需铺设一条电缆连A 与B ，已知地下电缆的修建费是2万元/km，水下电缆的修建费是4万元/km，假定河岸是平行的直线（没有弯曲），问应如何铺设方可使总施工费用达到最少？

C

810010210

t －）+950。故当t=时，S min =950(m2) ；当t=2时，S max =14050－90002(m2) 299

A 河

D

B

解：设∠CAD=θ（0

tanθ, ∴总费用为y=4 secθ－

4-

2sin θ

cos θ

问题转化为求u=

4-2sin θ

的最小值及相应的θ值，而u=－

cos θ

sin θ-2

表示点P （0，2）与点Q （cosθ,sinθ）斜率的－2倍

cos θ

1

单位圆周上运动，当直线PQ 与4

π

。即水下电缆应从6

（0

圆弧切于点Q 时，u 取到最小值。此时K PQ

=u min

θ=

距B

）km 处向A 城铺设，此时总费用达最小值

。 注：本题在求u 的最小值时，除了利用数结合的方法外，还可以利用三角函数的有界性等方法。

例5、某糖果厂为了拓宽其产品的销售市场，决定对一种半径为1的糖果的外层包装进行设计。设计时要求同时满足如下条件：

（1）外包装要呈一封闭的圆锥形状；（2）为减少包装成本，要求所用材料最省；（3）为了方便携带，包装后每个糖果的体积最小。问：这些条件能同时满足吗？如果能，如何设计这个圆锥的底面半径和高？此时所用的外包装用料是多少？体积是多少？若不能，请说明理由。

分析：要求该圆锥的全面积和体积，需要知道它的下底面半径AC 、母线PA 及高PC ，这些变量之间的关系可以通过一个“角”把它们联系起来。

解：如图，设∠OAC=θ，则OC=1，下底面半径AC=R=cotθ,母线长l=高h=Rtan2θ，θ∈（0，）。则S 全=πRl+πR2=πR(=πcot2θ(

R

，

cos 2θ

P

π4R 1

+R)=πR2(+1)

cos 2θcos 2θ

O C

B

12π

+1)=;

1-tan 2θtan 2θ⋅(1-tan 2θ) 1+tan 2θ

V=

12121112tg θ2πRh=πR ·Rtg2θ=πR3tg2θ=πctg3θ=π 22233331-tg θ3tg θ(1-tg θ)

∴当且仅当tg 2θ=1－tg 2θ,即

时，能使S 全和V 同时取到最小值，此时

h=2

，

2时能同时满足条件，外包装用料是8π，体积是π。

例6、 在一个六角形体育馆的一角 MAN 内，用长为a 的围栏设置一个运动器材储存区域

（如图所示），已知∠A =120，B 是墙角线AM 上的一点，C 是墙角线AN 上的一点． (1) 若BC =a =20, 求储存区域面积的最大值；

(2) 若AB =AC =10, 在折线MBCN 内选一点D ，使BD +DC =20，求四边形储存区域DBAC 的最大面积.

解：(1)设AB =x , AC =y , x >0, y >0.

由202=x 2+y 2-2xy cos120 ≥2xy -2xy cos120 ，

8

3

202202

. 得xy ≤= 2

2-2cos1204sin 60

11202202cos60 202

∴S =xy sin120≤⋅⋅2sin 60cos60===2

224sin 604sin 604tan 603

即四边形DBAC 面积的最大值为 x=y 时取到．

3

(2) 由DB +DC =20，知点D 在以B ，C 为焦点的椭圆上，

∵S ∆ABC =

1⨯10⨯10⨯=3，∴要使四边形DBAC 面积最大，只需∆DBC 的22

面积最大，此时点D 到BC 的距离最大, 即D

必为椭圆短轴顶点．由BC =短半轴长b =

5, S ∆BCD 面积的最大值为

1

⨯5=2

因此，四边形ACDB

面积的最大值为．

例7、如图所示，某市政府决定在以政府大楼O 为中心，正北方向和正东方向的马路为边界的扇形地域内建造一个图书馆. 为了充分利用这块土地，并考虑与周边环境协调，设计要求该图书馆底面矩形的四个顶点都要在边界上，图书馆的正面要朝市政府大楼. 设扇形的半径

OM =R ，∠MOP =45 ，OB 与OM 之间的夹角为θ.

（1）将图书馆底面矩形ABCD 的面积S 表示成θ的函数.

Q D

C B

A

P

（2）若R =45m ，求当θ为何值时，矩形ABCD 的面积S

有最大值？其最大值是多少？(精确到0.01m 2)

的中点，所以OM ⊥AD . 【解】（Ⅰ）由题意可知，点M 为PQ

设OM 于BC 的交点为F ，则BC =2R sin θ，OF =R cos θ.

AB =OF -

1

AD =R cos θ-R sin θ. 2

所以S =AB ⋅BC =2R sin θ(R cos θ-R sin θ) =R 2(2sinθcos θ-2sin 2θ)

=R 2(s i n θ2-

+1

ππ

c θo s

=2sin(2θ+) -R 2，θ∈(0, ) .

44

ππ3π

∈(, ) . 444

（Ⅱ）因为θ∈(0, ) ，则2θ+所以当 2θ+

π

4

πππ

=，即θ= 时，S 有最大值.

428

S max =-1) R 2

=-1) ⨯452=0.414⨯2025=838.35.

故当θ=

例8、一走廊拐角处的横截面如图所示，已知内壁FG 和外壁BC 都是半径为1m 的四分之一圆弧，AB ，DC 分别与圆弧BC 相切于B ，C 两点，EF ∥AB ，GH ∥CD ，且两组平行墙壁间的走廊宽度都是1m ．

（1）若水平放置的木棒MN 的两个端点M , N 分别在外壁CD 和AB 上，且木棒与内壁圆弧相切于点P ．设∠CMN =θ(rad ) ，试用θ表示木棒MN 的长度f (θ) ； （2）若一根水平放置的木棒能通过该走廊拐角处，求木棒长度的最大值．

N

π

时，矩形ABCD 的面积S 有最大值838.35m 2. 8

m

即MN min =2．

答：一根水平放置的木棒若能通过该走廊拐角处，则其长度的最大值为2．练习

1、如图所示，扇形AOB ，圆心角AOB 等于60°，半径为2，在弧AB 上有一动点P ，过P 引平行于OB 的直线和OA 交于点C ，设∠AOP=θ，求△POC 面积的最大值及此时θ的值.

解 ∵CP ∥OB ，∴∠CPO=∠POB=60°-θ，∠OCP=120°. 在△POC 中，由正弦定理得

OP CP

=，

sin ∠PCO sin θ

43

∴

2CP

=，∴CP=

sin120︒sin θ

sin θ

.

又

2OC

=，

sin(60︒-θ) sin120︒

∴

sin （60°-θ）. 因此△POC 的面积为

S(θ)=

11CP·OCsin120°=θ

（60°-θ）

22

θsin （60°-θ）

θ

(

1cos θ-sin θ)

22

=2sinθ·cos θ

sin 2θ=sin2θ

θ

π

πθ+∴θ=时，S(θ)

662、在海岸A 处，发现北偏东45°方向，距离

的B 处有一艘走私船，在A 处北偏西75°的方向，距离A 2 n mile的C 处的缉私船奉命以

n mile/h的速度追截走私船. 此时，走私船正以10 n mile/h的速度从B 处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？

解 如图所示，注意到最快追上走私船且两船所用时间相等，若在D 处相遇，则可先在△ABC 中求出BC ，再在△BCD 中求∠BCD.

设缉私船用t h在D 处追上走私船，则有

，BD=10t. 在△ABC 中，∵

，AC=2，∠BAC=120°, ∴由余弦定理，

得BC 2=AB2+AC2-2AB·AC·cos ∠

2+22-2×

2×cos120°=6, ∴

，∵∠CBD=90°+30°=120°， 在△BCD 中，由正弦定理，得 sin ∠BCD=

BD ⋅sin ∠

CBD 1

=, ∴∠BCD=30°.

CD 2即缉私船北偏东60°方向能最快追上走私船.

3、如图，在半径为30cm 的半圆形（O 为圆心）铝皮上截取一块矩形材料ABCD ，其中点A 、B 在直径上，点C 、D 在圆周上。

（1）怎样截取才能使截得的矩形ABCD 的面积最大？并求最大面积；

（2）若将所截得的矩形铝皮ABCD 卷成一个以AD 为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），应怎样截取，才能使做出的圆柱形形罐子体积最大？并求最大面积.

例4、某直角走廊的示意图如图所示，其两边走廊的宽度均为2m ． (1)过点P 的一条直线与走廊的外侧两边交于A , B 两点，且与走廊的一边的夹角为θ(0

π

2

) ，将线段AB 的长度l 表示为θ的函数；

(2)一根长度为5m 的铁棒能否水平（铁棒与地面平行）通过该直角走廊？请说明理由（铁棒的粗细忽略不计）．

解：(1) 根据图得l (θ) =BP +AP =

22π

+, θ∈(0,). sin θcos θ2

(2) 铁棒能水平通过该直角直廊，理由如下：

l '(θ) =(

22

) '+() ' sin θcos θ

0⋅sin θ-2⋅cos θ0⋅cos θ+2⋅sin θ2(sin3θ-cos 3θ) =+=.

sin 2θcos 2θsin 2θcos 2θ

令l '(θ) =0得，θ=当0

π

4

．

π

4

时，l '(θ) 0, l (θ) 为增函数； 时，l (θ

) 有最小值

π

4

π

2

所以当θ=

π

4

因为>5，所以铁棒能水平通过该直角走廊．