同济大学_概率统计-期中试题
2008年秋季学期《概率统计》期中试卷 卷面总分：100分 答题时间：120分钟 年级 _________专业 姓名 学号
一 选择题（本大题共4小题，每小题2分，共8分）
1. 对于任意两事件A 与B ，若A ⋃B =B ，则（ ）
(a ) B ⊂A (b ) ⊃ (c ) B =φ (d ) P (B |A ) =1 2. 设随机变量X ~N (0, σ2) , 则( )
(a ) P (-2σP (-σ
(d ) 无法确定P (-2σ
3. 设X 和Y 相互独立, 且X ~N (0, 1) , Y ~N (1, 4) , 则有( ) (a ) P (X +Y ≤0) = (c ) P (X -Y ≤0) =
1212
(b ) P (X +Y ≤1) = (b ) P (X -Y ≤1) =
1212
4. 下列关于数字特征的运算律, 正确的是( ) (a ) E (XY ) =E (X ) E (Y ) (b ) D (aX ) =aD (X ) (c ) D (X ±Y ) =D (X ) ±D (Y ) (c ) E (X ±Y ) =E (X ) ±E (Y )
二 填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分）
1. 设在一次试验中，事件A 出现的概率为0. 3，则在三次独立试验中, 事件A 至
少出现1次的概率为 ；
2. 已知P (A ) =0. 5, P (B ) =0. 6, P (B |A ) =0. 8, 则P (A ⋃B ) = ； 3. 设随机变量X 服从参数为1的泊松分布，则P (X >1) = ； 4. 设随机变量X 的方差为2，则根据切比雪夫不等式，有
P (|X -E (X ) |≥2) ≤ ；
三 解答题（本大题共7小题，共84分）
1.(10分) 设有两个实数, 满足条件0
13
的概率。
2.(12分) 已知甲袋中装有6只红球，4只白球；乙袋中装有8只红球，7只白球，丙袋中装有10只红球，20只白球，求：
（1）随机地取一只袋，再从该袋中随机地取一只球，该球是红球的概率； （2）已知取到的是红球，求该球是从乙袋中取出的概率。
3.(12分) 设随机变量X ~R (2, 5) ，现对X 进行三次独立观测，试求至少有两次观测值大于3的概率。
4.(12分) 设随机变量X 的密度函数为f (x ) =
1A (1+x )
2
, -∞
⑴系数A 的值； ⑵X 的分布函数； ⑶概率P (0
试求：
⑴关于X 和Y 的边缘分布律，并判断X 和Y 是否独立； ⑵X 2，Y 2及XY 的分布律；
⑶E (X ) ，E (Y ) ，E (X 2) ，E (Y 2) ，E (XY ) ； ⑷D (X ) ，D (Y ) ，cov(X , Y ) ，ρX , Y 。 6.(14分) 设二维随机变量(X , Y ) 的联合密度函数为
⎧2e -(x +2y ) ,
f (x , y ) =⎨
0, ⎩
x >0, y >0other
试求：⑴关于X 和Y 的边缘密度函数；
⑵判断X 和Y 是否独立； ⑶Z =X +Y 的概率密度； ⑷概率P (X +Y ≤1) 。
7.(10分) 一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的。假设每箱平均重量50千克, 标准差为5千克。若用最大载重量为5吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保证不超载的概率大于0.977。（Φ(2) =0. 779
，其中Φ(x ) 是标准正态分布函数）
2007年秋季学期《概率统计》期中测试参考答案 卷面总分：100分 答题时间：120分钟
专业 姓名 学号
一 选择题（本大题共4小题，每小题2分，共8分）
1. d；由A ⋃B =B 知B ⊃A ，所以⊂，B =B -A =φ，P (A |B ) =1；
2. b；由X ~N (0, σ2) 知，P (-σ
P (-2σ
X -0
X -0
σ
σ
3. b ；由条件知X +Y ~N (1, 5) ，又根据正态分布密度函数关于x =μ对称得知答案。
4. d；查书即得。
二 填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 1. 设所求事件为B , 则
P(B) =1–P(B )= 1-(1-0.3)3=0.657 2. P (A ) =0. 5, P (B ) =0. 6, P (B |A ) =0. 8, 则 P (A B ) =P (A ) P (=0.8 B ⨯0.5=0.4 ;
P (A ⋃B ) =P (A ) +P (B ) -P (AB )
=0.5+0.6-0.4=0.7
3.
P (X >1) =1-P (X ≤1)
=1-P (X =0) -P (X =1) =1-0.367879-0.367879=0.264242
4. 据切比雪夫不等式，有P (|X -E (X ) |≥2) ≤
D (X ) 2
2
=
22
2
=
12
.
三 解答题（本大题共7小题，共84分）
1.(10分) 设有两个实数, 满足条件0 解：这是个几何概型 , 设所求事件设为A .
这一问题相当于将一点M 随机的投到 xoy 平面内的区域
Ω={(x , y ) |0
13
的概率。
1⎫
这点M 落在 Ω 的子区域A =⎧⎨(x , y ) |(x , y ) ∈Ω, 且xy >⎬
⎩
3⎭
|Ω|=1⨯1=1 ;
S B =
⎰
113
13x
X
=13
13
(in x
13
|1)
3
1
=
13
in 3 .
S A =(1-
13
) ⨯1-in 3=(2-in 3)
1
P (A ) =
S A |Ω|
=(2-in 3) 1
=
13
(2-in 3)
2. 解：
设取甲，乙，丙袋为事件A , A 2, A 3, 且设取红球的事件为B.
1
则：B =A 1B ⋃A 2B ⋃A 3B .
(1)
据全概率公式==13⨯+
6+46
1⨯3
P B (=) P A 1(）P(B A 1|+P ) A ）(P(B A 28+8
1+⨯73
10+10
20
2
|+P ) A ）P((B A 3
3
|)
2245
(2)
据贝叶斯公式
P (A 2|B ) =
1=3
⨯
P (A 2) ⋅P (B |A 2)
P (A 1）P(B |A 1) +P (A 2）P(B |A 2) +P (A 3）P(B |A 3) 88+7
2245
=411
3.(12分)
解：设所求事件为A.
机变量X ~R (2, 5) ， X 的密度函数为
⎧1
1⎪
f (x ) =⎨5-2=，
3⎪0，其他⎩
P (X >3) =
当2
⎰
53
13
x =
23
220222323
P (A ) =C 3() (1-) +C 3() (1-)
3333
=3⨯=2027
427+827
4.(12分) 解：
随机变量X 的密度函数为f (x ) =
1A (1+x )
2
, -∞
⑴ 据密度函数的性质可得：
⎰
+∞-∞
f (x ) d x =⎰
+∞-∞
1A (1+x )
2
d =x
1A
a r c t a n
+∞
-∞
x =|
1π
-[-A 2
π
(=2
π
=]A
1
因此A =π
⑵ 设X 的分布函数为F(x) ,则： F (x ) =
⑶ 据密度函数有：
P (0
⎰
x -∞
f t (dt ) =⎰
x -∞
1
π(1+x
2
1
dt =) π
(a r c t a x n -∞=|
x
1
π
)
(a r x c +n
2
π
)
⎰
10
（f x)dx=⎰
10
1
π(1+x )
2
=
1
π
arctan x
|0=
1
14
.
或者据分布函数有：
P (0
1
π
(arctanx +
π
2
) |0=
1
14
.
5. (14分) 二维随机变量(X , Y ) 的联合分布律为
⑴ X 和Y 的边缘分布律为：
P
11=0.2≠P 1. P .1=0.4⨯0.3=0.12
因此 X 与 Y 不独立。 ⑵ X 2及XY 的分布律分别为
⑶E (X ) =1⨯0.4+2⨯0.6 E (Y ) = -1⨯0.3+0⨯0.4+1⨯0.3 =1.6 =0
E (X ) =1⨯0.4+4⨯0.6;
=
2.8
2
E (
Y
) =
0.4⨯0+1⨯0.6
＝0.6
2
E (X Y ) =(-2⨯0. 1+) -(⨯1
=0. 1
0. +2) ⨯00+. 4⨯1+0. ⨯1
⑷
D (X ) ＝E (X ) -(E (X )) ;
2
2
D (Y ) ＝E (Y ) -(E (Y ))
=0.6-0=0.6
2
22
=2.8-1.6=0.24
2
cov(X , Y ) =E (X Y ) -E (X ) E (Y );
ρX , Y =
=
=
12
=0.1-1.6⨯0
=0.1
6.(14分) 二维随机变量(X , Y ) 的联合密度函数为
⎧2e -(x +2y ) ,
f (x , y ) =⎨
0, ⎩
x >0, y >0other
⑴X 和Y 的边缘密度函数分别为：
f X (x ) =
⎰
+∞-∞
f (x , y ) dy ;
2y
f Y (y ) =
x >0, x ≤0
⎰
+∞-∞
f (x , y ) dx
y 2
⎧+∞2e -(x +
⎪=⎨⎰0
⎪0, ⎩⎧e -x , =⎨⎩0,
dy ,
)
(⎧+∞2e -x +
⎪⎰=⎨0⎪0, ⎩
dx ,
)
y >0, y ≤0
x >0, x ≤0
⎧2e -2y , =⎨⎩0,
y >0, y ≤0
⑵ 显然有 f (x , y ) =f X (x ) f Y (y )
所以X 和Y 是独立； ⑶
F (z ) =P Z (≤z )
=P (X +Y ≤z )
⎧z dx z -x 2e -(x +
⎪⎰0=⎨⎰0
⎪0, ⎩
⎧z e -x (1-e -2⎪=⎨⎰0
⎪0, ⎩
2y
dy ,
)
z >0
⎧z e -x dx z -x 2e -y 2dy ,
⎪⎰0=⎨⎰0
z ≤0⎪0, ⎩
z >0z ≤0
(z +x
) dy ,
)
z >0
⎧1-2e -z +e -2z ,
=⎨
0, z ≤0⎩
z >0z ≤0
⎧2(e -z -e -2z ),
所以Z =X +Y 的概率密度函数f (z ) =F (z ) =⎨
0, ⎩
'
z >0z ≤0
(4)P (X +Y ≤1) =P (Z ≤1)
=F (1)=1-2e
-1
+e
-2
或者
P (X +Y ≤1) =P (Z ≤1)
=
10
10
⎰
f (z ) dz =
⎰
2(e
-z
-e
-2z
) dz =1-2e
-1
+e
-2
7.(10分) 设 X i 为第 i 箱的重量, i= 1, 2, …,n, 由题意知X 1, X 2, ..., X n 独立同分布,
且E (X i ) =50, 求, 由题意有:
k
=5(i =1, 2,..., n ) , 又设汽车可以装k 符合要
P (∑X i ≤5000) ≥0.977
1
k
k
而
E (∑X i ) =
1
k
∑
1
E (X i ) =50k
k
2
D (∑X i ) =
1
∑
1
D (X i ) =5k
由独立同分布的中心极限定理, 有
k
∑X
i
-50k
.
k
k
故
P (∑
X i ≤5000) =P 1
∑
X i -50k ≤
=Φ≥2
又由得
Φ≥0.977; 解得
Φ(2)=0.977.
10由
k ≥0k ≤98.0199
≤得
≤
10
故每辆车最多可以装98箱，才能保证不超载的概率大于0.977。