一元二次方程的解法专题训练

一元二次方程的解法专题训练

1、因式分解法 ①移项：使方程右边为0

②因式分解：将方程左边因式分解；

方法：一提，二套，三十字，四分组

③由A ∙B=0，则A=0或B=0，解两个一元一次方程

2、开平方法 x 2=a (a ≥0)

2

x 1=a x 2=-a

(x +b )=a (a ≥0x +b =±a 解两个一元一次方程

3、配方法 ①移项：左边只留二次项和一次项，右边为常数项 （移项要变号） ．．．．．

②同除：方程两边同除二次项系（每项都要除） ．．．．．

③配方：方程两边加上一次项系数一半的平方 ．．．．．．．

④开平方：注意别忘根号和正负 ⑤解方程：解两个一元一次方程

4、公式法

① 将方程化为一般式 ② 写出a 、b 、c ③ 求出b 2-4ac ， ④ 若b 2-4ac ＜0，则原方程无实数解 ⑤ 若b 2-4ac ＞0

，则原方程有两个不相等的实数根，代入公式

-b 求解 x=

2a

⑥ 若b 2-4ac ＝0，则原方程有两个相等的实数根，代入公式

b x =-求解。

2a

例1、利用因式分解法解下列方程

=3x + 3(x－2) 2＝(2x-3)2 x 2-4x =0 3x (x +1)

x 2

(x -5)-8(x -5)+16=0

2

例2、利用开平方法解下列方程

11

(2y -1) 2=25 4（x-3）2=25 (3x +2) 2=24

例3、利用配方法解下列方程

2

x 2-+2=0 3x -6x -12=0

7x=4x2+2 x 2-7x +10=0

x 2-2x -399=0

例4、利用公式法解下列方程

－3x 2＋22x －24＝0 2x （x －3）=x－3． 3x 2+5(2x+1)=0

解一元二次方程（因式分解法） 练习

（一）基础测试：（每题3分，共18分）

2

1．x -5x 因式分解结果为 ，2x (x -3) -5(x -3) 因式分解结果为 ．

22

2．x +20x -96因式分解结果为 ，x +20x -96=0的根为 ．

3．一元二次方程x (x -1) =x 的解是 ．

4．小华在解一元二次方程x 2－4x=0时．只得出一个根是x=4,则被他漏掉的一个根是x=____．

2

5．若关于x 的方程x -5x +k =0的一个根是0，则另一个根是 ．

22

6．经计算整式x +1与x -4的积为x -3x -4, 则x -3x -4=0的所有根为（ ）

A ．x 1=-1, x 2=-4 B ．x 1=-1, x 2=4C ．x 1=1, x 2=4 D ．x 1=1, x 2=-4 （二）能力测试：（7，8，9，10题每题3分，11题每个方程7分，共47分）

2

7．三角形一边长为10，另两边长是方程x -14x +48=0的两实根，则这是一个 2

8．三角形的每条边的长都是方程x -6x +8=0的根，则三角形的周长是 ．

9．关于x 的一元二次方程（m －1）x 2＋x ＋m 2－1＝0有一根为0，则m 的值为（ ）．

1A ． 1 B ． －1 C ． 1或－1 D ． 2

a b

10．将4个数a ，b ，c ，d 排成2行、2列，两边各 加一条竖直线记成c d ，定义a b x +1x -1

c d =ad -bc ，上述记号就叫做2阶行列式．若1-x x +1=6，则x =．

11．用因式分解法解下列方程：

222(3x -1) -4=03(2x -3) -2(2x -3) =0 x -12x +35=0（1）（2）（3）

（4）9(x +2) =16(2x -5) （5）(x +3) -5(x +3) +6=0

222

（三）拓展测试：（12，13，14每题5分，15，16每题10分，共35分）

22

12．若(a +b )(a +b -3) -4=0，则a +b =．

2222

2

13．关于x 的一元二次方程x -5x +p =0的两实根都是整数，则整数p 的取值可以有（ ）

A ．2个 B ．4个 C ．6个 D ．无数个

14．若关于x 的多项式x 2－px －6含有因式x －3，则实数p 的值为（ ） A ．－5 B ．5 C ．－1 D ．1

22

15．如果方程ax -bx -6=0与方程ax +2bx -15=0有一个公共根是3，求a , b 的值，并分别求出两个方程的另一个根．

16．如图所示，在长和宽分别是a 、b 的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为x 的正方形．

（1）用a ，b ，x 表示纸片剩余部分的面积；

（2）当a =6，b =4，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求正方形的边长．

解一元二次方程(配方法) 练习

1．用适当的数填空：

①、x 2=（2； ②、x 2－5x+ =（x － ）2； ③、x 2（）2； ④、x 2－9x+ =（x － ）2 2．将二次三项式2x 2-3x-5进行配方，其结果为_________． 3．已知4x 2-ax+1可变为（2x-b ）2的形式，则ab=_______．

4．将一元二次方程x 2-2x-4=0用配方法化成（x+a）2=b的形式为_______，•所以方程的根为_________．

5．若x 2+6x+m2是一个完全平方式，则m 的值是（ ） A ．3 B ．-3 C ．±3 D ．以上都不对 6．用配方法将二次三项式a 2-4a+5变形，结果是（ ）

A ．（a-2）2+1 B ．（a+2）2-1 C ．（a+2）2+1 D ．（a-2）2-1 7．把方程x+3=4x配方，得（ ）

A ．（x-2）2=7 B ．（x+2）2=21 C ．（x-2）2=1 D ．（x+2）2

=2

8．用配方法解方程x 2+4x=10的根为（ ）

A ．2

± B ．-2

C ．

D ．

9．不论x 、y 为什么实数，代数式x 2+y2+2x-4y+7的值（ ）

A ．总不小于2 B ．总不小于7 C ．可为任何实数 D ．可能为负数 10．用配方法解下列方程：

1

（1）3x 2-5x=2． （2）x 2+8x=9（3）x 2+12x-15=0 （4 x 2-x-4=0

4

11. 用配方法求解下列问题

（1）求2x 2-7x+2的最小值 ； （2）求-3x 2+5x+1的最大值。

一元二次方程的解法（公式法） 练习

一 选择题（每小题5分，共25分） 1一元二次方程ax 2

+bx +c =0(a ≠0) 求根公式是（ ）

2

2

b -4ac ≥0)

2 方程x -3x =1的判别式b

2

-4ac =（ ）

A 5 B 13 C -13 D -5 3关于x 的方程ax

2

-(2a +1) x +(a +1) =0的根的情况下面说法正确的是（ ）

A 有两个不相等的实数根 B 没有实数根，C 有两个相等的实数根 D 当a=0时，方程有一个

实数根，当a ≠0时，方程有两个不相等的实数根。 4 解一元二次方程x +x +1=0最合适的方法是（ ）

A 直接开平方法 B 因式分解法 C 配方法 D 公式法 5若2x+1与x-2互为倒数，则实数x=( )

A

2

3±

3-

3

3± B C D 2224

二 填空题（每小题5分，共25分）

6 已知

y=2008x 2+(2a 2+3a -1) , 当x=0时，y=0,则a=_____; 7 x为_____时，分式

x -1

没有意义； 2

3x +5x +2

8 已知关于x 的方程(2-m )x 2+(2m +1)x +1=0有两个相等的实数解，则m=______; 9 2(x +y )-3x -3y -2=0, 则x+y=_______

10 点P 在函数y=2x -3x -4的图象上，且P 的纵坐标为1 ，那么P 点的横坐标为_____ 三 解答题（第11题20分，12题9分，13题5分，14、15各8分） 11 用公式法解下列方程

（1） -4x +12x =9 （2）（x-1）(2x+1)=2

(3) 3x +-5=0 (4)

12 用适当的方法解下列方程

（1）25(x -1)=36 (2) x +2x =255 (3) 3x +7x =1

2

2

22

2

2

2

32

x +x =1 2

22

13 已知a 、b 、c 是△ABC 的三边长，且方程a 1+x +2bx -c 1-x =0有相等的两个实

()()

数根，试判断△ABC 的形状。

14 一个人拿一根竹竿前行，横放比门长3m, 竖放比门高2m ，沿门对角线斜放还长1m, 那么这根竹竿有多长，门的宽和高分别为多少？

15在一副长为60cm ，宽为80cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使挂图的面积为6300cm ，求金色纸边的宽。

2

参考答案

1．x (x -50),(x -3)(2x -50) 2．(x +24)(x -4), x 1=-24, x 2=4 3．x 1=0, x 2=1 4．0 5．5 6．S 7．直角1 8．6或10或12 9．B 10．±2

11．（1）x 1=5, x 2=7（2）

x =1, x =-

1

3

(3) x 32, x 1126141=

2=6(4) x =5, x =11

(5) x 1=0, x 2=-1

12．4 13．D 14．C 15．a =b =1, 另一根为－5．

16．（1）a b －4x 2；（2）正方形的边长为

用配方法解一元二次方程练习题答案:

1．①9，3 ②2.52，2.5 ③0.52，0.5 ④4.52，4.5

2．2（x-34）2-49

8

3．4 4．（x-1）2=5，1

5．C 6．A 7．9．A

10．（1）方程两边同时除以3，得 x 2-52

3x=3

，

配方，得 x 2-5x+（56）2=25

3+（6

）23，

即 （x-56）2=4936，x-5757

6=±6，x=6±6．

所以 x 1=56+76=2，x 2=571

6-6=-3

．

所以 x 1=2，x 2=-1

3

．

（2）x 1=1，x 2=-9（3）x 1

x 2

11．（1）∵2x 2-7x+2=2（x 2-773333

2x ）+2=2（x-4）2-8≥-8

，

∴最小值为-33

8

，

C 8．B •

5373737

（2）-3x 2+5x+1=-3（x-）2+≤，•∴最大值为．

6121212

公式法 参考答案

1 C 2 B 3 D 4 D 5 D

7 -2或-3

531 9 2或- 10 11 （1）x 1=x 2= （2）

22211-7 12 (1) x 1=2, x 2= - (2) x 1=15,x

2= -17 (3)

5536

2

(3)

13把已知方程整理得：（a+c）x +2bx+(a+c)=0,因为方程有两个相等的实数根，所以，

(2b )

2

-4(a +c )(a -c )=0，化简得: a 2=b 2+c 2, 所以，△ABC 是直角三角形

2

2

2

14 设竹竿长x 米，则：(x -1)=(x -3)+(x -2) 解得：x 1=2（不合题意，舍去）, x 2= 6答：竹竿长6米

15 设金色纸边的宽为xcm, 依题意得：（60+2x）(80+2x)=6300,解得：x=5,答：金色纸边的宽为5cm.