高中数学中集合的概念与运算的解题归纳

§1.1 集合的概念与运算

一、知识导学

1. 集合：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合.

2. 元素：集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元.

3. 子集：如果集合A 的任意一个元素都是集合B 的元素（若a ∉A 则a ∈B ），则称 集合A 为集合B 的子集，记为A ⊆B 或B ⊇A ；如果A ⊆B ，并且A ≠B ，这时集合A 称为集合B 的真子集，记为A B 或B A.

4. 集合的相等：如果集合A 、B 同时满足A ⊆B 、B ⊇A ，则A=B.

5. 补集：设A ⊆S ，由S 中不属于A 的所有元素组成的集合称为S 的子集A 的补集，记 为 C s A .

6. 全集：如果集合S 包含所要研究的各个集合，这时S 可以看做一个全集，全集通常 记作U.

7. 交集：一般地，由所有属于集合A 且属于B 的元素构成的集合，称为A 与B 的交集， 记作A ⋂B.

8. 并集：一般地，由所有属于集合A 或者属于B 的元素构成的集合，称为A 与B 的并 集，记作A ⋃B.

9. 空集：不含任何元素的集合称为空集，记作Φ.

10. 有限集：含有有限个元素的集合称为有限集.

11. 无限集：含有无限个元素的集合称为无限集.

12. 集合的常用表示方法：列举法、描述法、图示法（Venn 图）.

13. 常用数集的记法：自然数集记作N ，正整数集记作N +或N ，整数集记作Z ，有理数集记作Q ，实数集记作R .

二、疑难知识导析

1. 符号⊆，，⊇，，=，表示集合与集合之间的关系，其中“⊆”包括“”和“=”*两种情况，同样“⊇”包括“”和“=”两种情况. 符号∈，∉表示元素与集合之间的关系. 要注意两类不同符号的区别.

2. 在判断给定对象能否构成集合时，特别要注意它的“确定性”，在表示一个集合时，要特别注意它的“互异性”、“无序性”.

3. 在集合运算中必须注意组成集合的元素应具备的性质.

4. 对由条件给出的集合要明白它所表示的意义，即元素指什么，是什么范围．用集合表示不等式（组）的解集时，要注意分辨是交集还是并集，结合数轴或文氏图的直观性帮助思维判断．空集是任何集合的子集，但因为不好用文氏图形表示，容易被忽视，如在关系式

中，B =Φ易漏掉的情况.

5. 若集合中的元素是用坐标形式表示的，要注意满足条件的点构成的图形是什么，用数形结合法解之.

6. 若集合中含有参数，须对参数进行分类讨论，讨论时既不重复又不遗漏.

7. 在集合运算过程中要借助数轴、直角坐标平面、Venn 图等将有关集合直观地表示出来.

8. 要注意集合与方程、函数、不等式、三角、几何等知识的密切联系与综合使用.

9.含有n 个元素的集合的所有子集个数为：2，所有真子集个数为：2-1 n n

三、经典例题导讲

2[例1] 已知集合M={y |y =x ＋1,x∈R },N={y|y =x ＋1,x∈R }，则M∩N=（ ）

A ．（0，1），（1，2） B．{（0，1），（1，2）}

C ．{y|y=1,或y=2} D．{y|y≥1}

⎧y =x 2+1⎧x =0⎧x =1错解：求M∩N及解方程组⎨ 得⎨ 或 ⎨ ∴选B

⎩y =x +1⎩y =1⎩y =2

错因：在集合概念的理解上，仅注意了构成集合元素的共同属性，而忽视了集合的元素是什么．事实上M 、N 的元素是数而不是实数对(x,y ) ，因此M 、N 是数集而不是点集,

2M 、N 分别表示函数y =x ＋1(x∈R ) ，y =x ＋1(x∈R ) 的值域，求M∩N即求两函数值域的交集．

2正解：M={y |y =x ＋1,x∈R }={y |y ≥1}， N={y|y=x＋1,x∈R }={y|y∈R }．

∴M∩N={y |y ≥1}∩{y|(y∈R)}={y |y ≥1}, ∴应选D ．

22注：集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分{x |y =x ＋1}、{y |y =x

2＋1, x ∈R }、{(x , y )|y =x ＋1, x ∈R }，这三个集合是不同的．

[例2] 已知A={x |x 2－3x ＋2=0},B={x |ax －2=0}且A∪B=A，求实数a 组成的集合C ． 错解：由x 2－3x ＋2=0得x =1或2．

当x =1时，a =2， 当x =2时，a=1．

错因：上述解答只注意了B 为非空集合，实际上，B=时，仍满足A∪B=A.

当a =0时，B=，符合题设，应补上，故正确答案为C={0，1，2}．

正解：∵A∪B=A ∴B A 又A={x |x 2－3x ＋2=0}={1，2}

∴B=或{}1或{2} ∴C={0，1，2}

[例3]已知m ∈A, n ∈B, 且集合A={x |x =2a , a ∈Z }，B={x |x =2a +1, a ∈Z }，又C={x |x =4a +1, a ∈Z }，则有： （ ）

A ．m +n ∈A B. m +n ∈B C.m +n ∈C D. m +n 不属于A ，B ，C 中任意一个

错解：∵m ∈A ，∴m =2a , a ∈Z , 同理n =2a +1,a ∈Z, ∴m +n =4a +1,故选C

错因是上述解法缩小了m +n 的取值范围.

正解：∵m ∈A, ∴设m =2a 1, a 1∈Z , 又∵n ∈B , ∴n =2a 2+1,a 2∈ Z ,

∴m +n =2(a 1+a 2)+1,而a 1+a 2∈ Z , ∴m +n∈B, 故选B.

[例4］ 已知集合A={x|x2－3x －10≤0}，集合B={x|p＋1≤x≤2p－1}．若B

数p 的取值范围． A ，求实

错解：由x 2－3x －10≤0得－2≤x≤5．

欲使B A ，只须⎨⎧-2≤p +1⇒-3≤p ≤3

⎩2p -1≤5

∴ p的取值范围是－3≤p≤3.

错因：上述解答忽略了" 空集是任何集合的子集" 这一结论，即B=时，符合题设． 正解：①当B≠时，即p ＋1≤2p－1p≥2.

由B A 得：－2≤p＋1且2p －1≤5.

由－3≤p≤3.

∴ 2≤p≤3

②当B=时，即p ＋1>2p－1p ＜2.

由①、②得：p≤3.

点评：从以上解答应看到：解决有关A∩B=、A∪B=，A B 等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解，这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题．

2[例5] 已知集合A={a,a＋b,a ＋2b}，B={a,ac,ac}．若A=B，求c 的值．

分析：要解决c 的求值问题，关键是要有方程的数学思想，此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性，无序性建立关系式．

解：分两种情况进行讨论．

22（1）若a ＋b=ac且a ＋2b=ac，消去b 得：a ＋ac －2ac=0，

a=0时，集合B 中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故a≠0．

2∴c －2c ＋1=0，即c=1，但c=1时，B 中的三元素又相同，此时无解．

22（2）若a ＋b=ac且a ＋2b=ac，消去b 得：2ac －ac －a=0，

2∵a≠0，∴2c－c －1=0，

即(c－1)(2c＋1)=0，又c≠1，故c=－1． 2

1∈A ，a ≠1且1∉A. 1-a 点评：解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验. [例6] 设A 是实数集，满足若a∈A，则

⑴若2∈A，则A 中至少还有几个元素？求出这几个元素.

⑵A能否为单元素集合？请说明理由.

⑶若a∈A，证明：1－1∈A. a

⑷求证：集合A 中至少含有三个不同的元素.

1∈A ⇒ 2∈A 2

1∴ A中至少还有两个元素：－1和 2

1⑵如果A 为单元素集合，则a ＝ 1-a 解：⑴2∈A ⇒ －1∈A ⇒

即a -a +1＝0

该方程无实数解，故在实数范围内，A 不可能是单元素集 2

⑶a∈A ⇒ 1∈A ⇒ 1-a 11-1

1-a ∈A⇒1-a ∈1A ，即1－∈A a 1-a -1

1111∈A， 1－∈A . 现在证明a,1－, 三数互不相等. a a 1-a 1-a

11①若a=, 即a2-a+1=0 ，方程无解，∴a ≠ 1-a 1-a

112②若a=1－，即a -a+1=0，方程无解∴a ≠1－ a a

1111 ③若1－ =，即a2-a+1=0，方程无解∴1－≠. a 1-a a 1-a ⑷由⑶知a∈A时，

综上所述，集合A 中至少有三个不同的元素.

点评：⑷的证明中要说明三个数互不相等，否则证明欠严谨.

[例7] 设集合A={a |a =n +1, n ∈N}，集合B={b |b =k -4k +5, k ∈N}，试证：++22

A B ．

证明：任设a ∈A，

则a =n +1=(n ＋2) －4(n ＋2) ＋5 (n ∈N), 2+2

∵ n∈N*，∴ n＋2∈N*

∴ a∈B故 ①

显然，1∈A =a |a =n 2+1, n ∈N *，而由

B={b |b =k -4k +5, k ∈N}={b |b =(k -2) 2+1，k ∈N}知1∈B，于是A≠B ++{}2

②

由①、② 得A B ．

点评：（1）判定集合间的关系，其基本方法是归结为判定元素与集合之间关系．

（2）判定两集合相等，主要是根据集合相等的定义．

四、典型习题导练

1．集合A={x|x－3x －10≤0，x ∈Z}，B={x|2x－x －6＞0， x∈ Z}，则A ∩B 的非空真子集的个数为（ ）

A．16 B．14 C．15 D．32

2．数集{1，2，x －3}中的x 不能取的数值的集合是（ ）

A ．{2，-2 } B．{－2，－5 } C．{±2，± } D．{5，－}

3. 若P={y|y=x2,x∈R}，Q={y|y=x2＋1,x∈R}，则P∩Q等于（ ）

A ．P B ．Q C． D ．不知道

4. 若P={y|y=x2,x∈R}，Q={(x，y)|y=x2,x∈R}，则必有（ ）

A ．P∩Q= B．P Q C．P=Q D ．P

Q 222

5．若集合M ＝｛x |1

A ．{x |-1

C ．{x |-1

6. 已知集合A={x|x2＋(m＋2)x ＋1=0,x∈R }，若A∩R＋=，则实数m 的取值范围是_________．

7. （06高考全国II 卷）设a ∈R ，函数f (x ) =ax 2-2x -2a . 若f (x ) >0的解集为A ，B ={x |1

8. 已知集合A=x |x 2+ax +12b =0和B=x |x 2-ax +b =0满足 {}{}

C I A ∩B={2}，A ∩C I B={4}，I=R ，求实数a,b 的值.