高考椭圆题型总结有答案

椭圆题型总结

一、 椭圆的定义和方程问题

(一) 定义:

1. 命题甲:动点P 到两点A , B 的距离之

2. 和+=2a (a >0, 常数); 命题乙: P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆，则命题甲是命题乙的 ( B )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件

3. 已知F 1、F 2是两个定点，且F 1F 2=4, 若动点P 满足PF 1+PF 2=4则动点P 的轨迹是（ D ）

A. 椭圆 B. 圆 C. 直线 D. 线段

Q F P Q F F 4. 已知1、2是椭圆的两个焦点, P 是椭圆上的一个动点, 如果延长1到, 使得PQ =PF 2, 那么动点的轨迹

是( B )

A. 椭圆 B. 圆 C. 直线 D. 点

x 2y 2

O 是椭圆的中心，+=1上一点M 到焦点F 1的距离为2，N 为MF 1的中点，5. 椭圆则ON 的值是 259

x 2y 2

+=1的左焦点，P 在椭圆上运动，定点A （1，1）6. 选做：F 1是椭圆，求|PA |+|PF 1|的最小值。 95

解：|PA |+|PF 1|=|PA |+2a -|PF 2|≥2a -|AF 2|=6-2

(二) 标准方程求参数范围

x 2y 21. 试讨论k 的取值范围，使方程（略） +=1表示圆，椭圆，双曲线。5-k k -3

mx +ny =1表示焦点在y 轴上的椭圆”的2. “m >n >0”是“方程( C )

A. 充分而不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件

3. 若方程x sin α+y cos α=1表示焦点在y 轴上的椭圆，α所在的象限是（ A ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

4. 方程x =-3y 所表示的曲线是

5. 已知方程x 2+ky 2=2表示焦点在X 轴上的椭圆, 则实数k 的范围是

1. 根据下列条件求椭圆的标准方程：

（1）两个焦点的坐标分别为（0，5）和（0，－5），椭圆上一点P 到两焦点的距离之和为26； 22222(三) 待定系数法求椭圆的标准方程

y 2x 2

+=1 169144

（2）长轴是短轴的2倍，且过点（2，－6）；

y 2x 2x 2y 2

+=1, 或+=1 521314837

, 求椭圆方程. （3）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P 1(6, 1), P 2(-, -2)

x 2y 2

9

+3=1

2. 简单几何性质

26e =3； （2）过（3，0）点，离心率为3。 1． 求下列椭圆的标准方程（1）

y 2x 2x 2y 2y 2x 2x 2y 2

+=1, 或+=1 +=1, 或+=1 [**************]c =8, e =

（3）椭圆的对称轴为坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆的最近距离是。 y 2x 2x 2y 2

+=1, 或+=1 912912

（4）椭圆短轴的一个端点到一个焦点的距离为5，焦点到椭圆中心的距离为3，则椭圆的标准方程为

y 2x 2x 2y 2

+=1, 或+=1 16251625

（5）已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为

圆的一个焦点。 42和，过P 作长轴的垂线恰好过椭33

y 23x 2x 23y 2

+=1, 或+=1 510510

x 2y 2

3．过椭圆2+2=1(a >b >0) 的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2=60︒，则椭圆a b

________________ 的离心率为_____3

（四）椭圆系————共焦点，相同离心率

1． 椭圆x 2y 2+=1259与x 2y 2+=1(0

的关系为（ A ）

A ．相同的焦点 B 。有相同的准线 C 。有相等的长、短轴 D 。有相等的焦距

x 2y 2

+=1有相同焦点，且经过点(3，2、求与椭圆-2)的椭圆标准方程。 94

x 2y 2

+=1 1510

（五）焦点三角形4a

x 2y 2

1. 已知F 1、F 2为椭圆+=1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点。若F 2A +F 2B =12，则AB = 259

8 。

x 2y 2

2. 已知F 1、F 2为椭圆+=1的两个焦点，过F 2且斜率不为0的直线交椭圆于A 、B 两点，则∆ABF 1的周长259

是 20 。

x 2

3. 已知∆AB C 的顶点B 、C 在椭圆+y 2=1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，3

则∆

AB C

（六）焦点三角形的面积： x 2

1. 已知点P 是椭圆，求点P 到x 轴的距离。 +y 2=1上的一点，F 1、F 2为焦点，1∙PF 2=04

⎧x 2+y 2=3⎪x 轴的距离为|y |= 解：设P (x , y ) 则⎨x 2解得，所以求点到P |y |=233⎪+y =1⎩4

πx 2y 2

2. 设M 是椭圆+=1上的一点，F 1、F 2为焦点，∠F 1MF 2=，求∆F 1MF 2的面积。 62516

|PF 1|2+|PF 2|2-|F 1F 2|2(|PF 1|+|PF 2|)2-2|PF 1|⋅|PF 2|-4c 2

cos θ==2|PF 1|⋅|PF 2|2|PF 1|⋅|PF 2|解：4b -2|PF 1|⋅|PF 2|

2|PF 1|⋅|PF 2|

π当∠F 1MF 2=，S=1|PF |⋅|PF |sin π=16(2-) 12626=

2 1x 2y 2=3. 已知点P 是椭圆 ，则∆

PF +=1上的一点，F 1、F

21F 22259

x 2y 2

4. 已知AB 为经过椭圆2+2=1(a >b >0) 的中心的弦，F(c,0)为椭圆的右焦点， 则△AFB 的面积的最大值为 cb 。a

b

（七）焦点三角形

1.

2.

3.

4. x 2y 2 设椭圆+=1的两焦点分别为F 1和F 2，P 为椭圆上一点，求PF 1∙PF 2的最大值，并求此时P 点的坐标。94x 2y 2O 椭圆则PF 2=；∠F 1PF 2=+=1的焦点为F 1、F 2，点P 在椭圆上，若PF 1=4，92x 2y 2椭圆+=1的焦点为F 1、F 2，P 为其上一动点，当∠F 1PF 2为钝角时，点P 的横坐标的取值范围为94 1x 2y 2

MO =5-PF 1；F 2分别是椭圆的左、F 1、P 为椭圆右焦点。（1）若PF 的中点是，M +=1上一点，122516

（2）若∠F 1PF 2=60︒，求PF 1∙PF 2的值。

111|PF 2|=(2a -|PF 1|)=5-|PF 1| 222解：（1）MO 为三角形PF 1F 2的中位线，|MO |=

（2）PF 1∙PF 2=64 3

（八）与椭圆相关的轨迹方程

定义法：

1. 点M(x,y)满足x 2+(y +3) 2+x 2+(y -3) 2=10，求点M 的轨迹方程。

y 2x 2

（+=1） 2516

2. 已知动圆P 过定点A (-3, 0) ，并且在定圆B :(x -3) 2+y 2=64的内部与其相内切，求动圆圆心P 的轨迹方程.

x 2y 2

+=1 167

3. 已知圆C 1:(x +3) 2+y 2=4, 圆C 2:(x -3) 2+y 2=100，动圆P 与C 1外切，与C 2内切，求动圆圆心P 的轨迹方程.

解：由题|PC 1|+|PC 2|=r +2+10-r =12

x 2y 2

所以点P 的轨迹是：以C 1，C 2为焦点的距离之和为12的椭圆。c =3, a =6，方程为+=1 3627

4. 已知A (-1, 0) ，是圆F :(x -1) 2+y 2=4（为圆心）上一动点, 线段B F AB 的垂直平分线交BF 于P , 则动点P 2

4y 22 的轨迹方程为 x +3=12

x 2y 2

5. 已知A(0,-1),B(0,1), △ABC 的周长为6，则△ABC 的顶点C 的轨迹方程是 3+4=1 直接法

6. 若∆ABC 的两个顶点坐标分别是B (0, 6) 和C (0, -6) ，另两边AB 、AC 的斜率的乘积是-4，顶点A 的轨迹方程9

x 2y 2

+=1 为 8136

相关点法

7. 已知圆x 2+y 2=9，从这个圆上任意一点P 向x 轴引垂线段PP ' ，垂足为P ' ，点M 在PP ' 上，并且=2' ，

求点M 的轨迹。

x 2

+y 2=1 9

8. 已知圆x 2+y 2=1， 从这个圆上任意一点P 向X 轴引垂线段PP ’，则线段PP ’的中点M 的轨迹方程是22x 2y 2

9. 已知椭圆2+2=1，A 、B 分别是长轴的左右两个端点，P 为椭圆上一个动点，求AP 中点的轨迹方程。 54

(2x +5) 2y 2

+=1 254

10. 一条线段AB 的长为2a ，两端点分别在x 轴、y 轴上滑动 ，, 求点M 的点M 在线段AB 上，且AM :MB =1:2

轨迹方程.

9x 2

+9y 2=1 4

二、 直线和椭圆的位置关系

(一) 判断位置关系

1． 当m 为何值时, 直线l :y =x +m 和椭圆9x 2+16y 2=144 (1)相交；(2)相切；(3)相离。

⎧y =x +m 解：由⎨2消去y 得25x 2+32mx +16m 2-144=0，判别式：∆=576(25-m 2) 2⎩9x +16y =144

所以，当-55时直线与椭圆相离。 2． 若直线y =kx +2与椭圆2x 2+3y 2=6有两个公共点，则实数k 的取值范围为。k 33

(二) 弦长问题

x 2y 2

1. 设椭圆C :2+2=1(a >b >0) 的左右两个焦点分别为F 1、F 2，过右焦点F 2且与x 轴垂直的直线l 与椭圆C a b

相交，其中一个交点为M (2, 1) 。

x 2y 2

（1） 求椭圆的方程；+=1 42

（2） 设椭圆C 的一个顶点为B （0，-b ），直线BF 2交椭圆C 于另一点N ，求∆F 1BN 的面积。

解：由（1）点B （0，-2），F 2(2, 0) ，直线BF 2的方程为：x -y =2

⎧x -y =2⎪242 消去y 得：3x 2-42x =0，解得x =0或x =⎨x y 2

3=1⎪+42⎩

所以点N 的坐标为（

所以S ∆F BN 1422，） 3318=S ∆F 1F 2B +S ∆F 1F 2N =⋅22(+2) = 233

(三) 点差法

1. 已知一直线与椭圆 4x +9y =36相交于A 、B 两点, 弦AB 的中点坐标为(1, 1) ，求直线AB 的方程. 22

⎧x 1+x 2=1⎧22⎪⎪2⎪4x 1+9y 1=36 (1) 解：设交点A (x 1, y 1) B (x 2, y 2) ，则有⎨，⎨22y +y ⎪2⎪1⎩4x 2+9y 2=36 (2) =1⎪⎩2

（2）-（1）得4(x 2-x 1)(x 2+x 1) +9(y 2-y 1)(y 2+y 1) =0 (y 2-y 1) 4=-=k ，又直线AB 过点（1，1） (x 2-x 1) 9

4所以直线AB 的方程为：y -1=-(x -1) 9即

2. 椭圆C 以坐标轴为对称轴，并与直线l:x+2y=7相交于P 、Q 两点，点R 的坐标为（2，5），若∆PQR 为等腰三角形，

∠PQR =90︒，求椭圆C 的方程。

解：设椭圆C :Ax 2+By 2=1(A >0, B >0) ，交点P (x 1, y 1), Q (x 2, y 2) ，

∆PQR 为等腰三角形，∠PQR =90︒，则

⎧x 2+2y 2=7⎪解得Q （1，3）。所以A +9B =1„„（1） ⎨y 2-5=2⎪x -2⎩2

又QR =(1, 2) 则QP =(2, -1) 或（-2，1） 当QP =(2, -1) =（x 1-1, y 1-3），则有P (3, 2) ，则9A +4B =1„„（2）

585x 28y 2

, B =由（1）（2）得A =，椭圆的方程为+=1 77777777

当当=(-2, 1) =（x 1-1, y 1-3），则有P (-1, 4) ，则A +16B =1„„（3）

由（1）（3）得B=0（舍去）

(四) 定值、定点问题

7x 2y 2

+=1相交于A 、B 两点, 已知点 M (-,0) ， 求证：MA ⋅MB 为定1、已知动直线y =k (x +1) 与椭圆C :535

3

值.

证明：设交点A (x 1, y 1), B (x 2, y 2) ⎧y =k (x +1) 2222由⎨2消去y 得(1+3k ) x +6k x +3k -5=0 2⎩x +3y =5

-6k 23k 2-5, x 1x 2=则有x 1+x 2= 221+3k 1+3k

77=(x 1+, y 1), =(x 2+, y 2) 33 777494222⋅=(x 1+)(x 2+) +y 1y 2=(1+k ) x 1x 2+(+k )(x 1+x 2) ++k =所以MA ⋅MB 为定值 33399

(五) 取值范围问题

已知椭圆的一个顶点为A (0,-1) ，焦点在x 轴上.

若右焦点到直线x -y +0的距 离为3. （1）求椭圆的方程.

（2）设直线y =kx +m (k ≠0) 与椭圆相交于不同的两点M , N . 当|AM |=|AN |时，求m 的 取值范围 x 2y 2

解：设椭圆的方程为2+2=1，右焦点F 2(c , 0) （c>0），椭圆的下顶点A （0，-1），所以b =1，

a b

|c -0+22|又右焦点到直线x -y +0的距离=3得c =2 2

x 2y 2

222+=1 所以a =b +c =3，椭圆的方程为31