全称量词与存在量词(二)量词否定

课题

S11-1.3 全称量词与存在量词（二）量词否定

课型

新授

教学目标：利用日常生活中的例子和数学的命题介绍对量词命题的否定，使学生进一步理解全称量词、存 在量词的作用. 教学重点：全称量词与存在量词命题间的转化； 教学难点：隐蔽性否定命题的确定； 课 型：新授课 教学手段：多媒体

教学过程

一、创设情境 数学命题中出现“全部”、 “所有”、 “一切”、 “任何”、 “任意”、 “每一个”等与“存在着”、 “有”、 “有些”、“某个”、“至少有一个”等的词语，在逻辑中分别称为全称量词与存在性量词 （用符号分别记为“  ”与“  ”来表示） ；由这样的量词构成的命题分别称为全称命 题与存在性命题。在全称命题与存在性命题的逻辑关系中， p  q, p  q 都容易判 断，但它们的否定形式是我们困惑的症结所在。 二、活动尝试 问题 1：指出下列命题的形式，写出下列命题的否定。 （1）所有的矩形都是平行四边形； （2）每一个素数都是奇数； （3）xR，x2-2x+1≥0 分析： （1） x  M,p(x)，否定：存在一个矩形不是平行四边形； x  M,p(x) （2） x  M,p(x)，否定：存在一个素数不是奇数； x  M,p(x) （3） x  M,p(x)，否定：xR，x2-2x+10； （2）任何三角形都不是等边三角形； （3）对于所有的四边形，它的对角线不可能互相垂直或平分； 从集合的运算观点剖析： 痧( A  B)  U

U

备课札记

A  U B , 痧( A  B)  U

U

A U B

四、数学理论 1.全称命题、存在性命题的否定 一般地，全称命题 P： xM,有 P（x）成立；其否定命题┓P 为：x∈M,使 P （x）不成立。存在性命题 P：xM，使 P（x）成立；其否定命题┓P 为： xM, 有 P（x）不成立。 用符号语言表示： P:M, p(x）否定为 P: M,  P（x） P:M, p(x）否定为 P: M,  P（x） 在具体操作中就是从命题 P 把全称性的量词改成存在性的量词，存在性的量词 改成全称性的量词，并把量词作用范围进行否定。即须遵循下面法则：否定全称得 存在，否定存在得全称，否定肯定得否定，否定否定得肯定. 2.关键量词的否定 词语 是 一定是 都是 大于 小于 且

词语的 否定 词语

不是

一定不 小于或等 大

于或等 不都是 是 于 于

或

必有一 至少有 至多有 所有 x 不 所有 x 成立 个 n个 一个 成立

词语的 一个也 至多有 至少有 存在一个 x 存在有一 否定 没有 n-1 个 两个 不成立 个成立 五、巩固运用 例 1 写出下列全称命题的否定： （1）p：所有人都晨练； （2）p：xR，x2＋x+1>0； （3）p：平行四边形的对边相等； 2 （4）p： x∈R，x －x+1＝0； 分析： （1） P：有的人不晨练； （2） x∈R，x2＋x+1≤0； （3）存在平行四边形， 2 它的的对边不相等； （4）xR，x －x+1≠0； 例 2 写出下列命题的否定。 （1） 所有自然数的平方是正数。 （2） 任何实数 x 都是方程 5x-12=0 的根。 （3） 对任意实数 x，存在实数 y，使 x+y＞0. （4） 有些质数是奇数。 解： （1）的否定：有些自然数的平方不是正数。 （2）的否定：存在实数 x 不是方程 5x-12=0 的根。 （3）的否定：存在实数 x,对所有实数 y，有 x+y≤0。 （4）的否定：所有的质数都不是奇数。 解题中会遇到省略了“所有，任何，任意”等量词的简化形式，如“若 x＞3，则 x2 ＞9”。 在求解中极易误当为简单命题处理； 这种情形下时应先将命题写成完整形式， 再依据法则来写出其否定形式。 例 3 写出下列命题的否定。 （1） 若 x2＞4 则 x＞2.。 （2） 若 m≥0,则 x2+x-m=0 有实数根。 （3） 可以被 5 整除的整数，末位是 0。 （4） 被 8 整除的数能被 4 整除。 （5） 若一个四边形是正方形，则它的四条边相等。

2 解（1）否定：存在实数 x0 ，虽然满足 x0 ＞4，但 x0 ≤2。或者说：存在小于或等于 2 2 的数 x0 ，满足 x0 ＞4。 （完整表达为对任意的实数 x, 若 x2＞4 则 x＞2） 2 （2）否定：虽然实数 m≥0,但存在一个 x0 ，使 x0 + x0 -m=0 无实数根。 （原意表达：

对任意实数 m,若 m≥0,则 x2+x-m=0 有实数根。 ） （3）否定：存在一个可以被 5 整除的整数，其末位不是 0。 （4）否定：存在一个数能被 8 整除，但不能被 4 整除.(原意表达为所有能被 8 整除 的数都能被 4 整除) （5） 否定： 存在一个四边形， 虽然它是正方形， 但四条边中至少有两条不相等。 （原 意表达为无论哪个四边形，若它是正方形，则它的四条边中任何两条都相等。 ） 例 4 写出下列命题的非命题与否命题，并判断其真假性。 （1）p：若 x＞y,则 5x＞5y； （2）p：若 x2+x﹤2,则 x2-x﹤2； （3）p：正方形的四条边相等；

（4）p：已知 a,b 为实数，若 x2+ax+b≤0 有非空实解集，则 a2-4b≥0。 解： （1） P：若 x＞y，则 5x≤5y； 假命题 否命题：若 x≤y，则 5x≤5y；真命题 （2） P：若 x2+x﹤2，则 x2-x≥2；真命题 否命题：若 x2+x≥2，则 x2-x≥2） ；假命题。 （3）

P：存在一个四边形，尽管它是正方形，然而四条边中至少有两条边不 相等；假命题。 否命题：若一个四边形不是正方形，则它的四条边不相等。假命题。 （4） P：存在两个实数 a,b，虽然满足 x2+ax+b≤0 有非空实解集，但使 a2-4b ﹤0。假命题。 否命题：已知 a,b 为实数，若 x2+ax+b≤0 没有非空实解集，则 a2-4b﹤0。真命题。 评注：命题的否定与否命题是完全不同的概念。其理由： 1．任何命题均有否定，无论是真命题还是假命题；而否命题仅针对命题“若 P 则 q” 提出来的。2．命题的否定（非）是原命题的矛盾命题，两者的真假性必然是一真 一假，一假一真；而否命题与原命题可能是同真同假，也可能是一真一假。 3． 原命题“若 P 则 q” 的形式，它的非命题“若 p，则q” ；而它的否命题为 “若 ┓p，则┓q”，既否定条件又否定结论。 六、回顾反思 在教学中，务必理清各类型命题形式结构、性质关系，才能真正准确地完整地 表达出命题的否定，才能避犯逻辑性错误，才能更好把逻辑知识负载于其它知识之 上，达到培养和发展学生的逻辑思维能力。 七、课后练习 2 1．命题 p：存在实数 m，使方程 x ＋mx＋1＝0 有实数根，则“非 p”形式的命题是 （ ） 2 A.存在实数 m，使得方程 x ＋mx＋1＝0 无实根； 2 B.不存在实数 m，使得方程 x ＋mx＋1＝0 有实根； 2 C.对任意的实数 m，使得方程 x ＋mx＋1＝0 有实根； 2 D.至多有一个实数 m，使得方程 x ＋mx＋1＝0 有实根； 2．命题“xR，x2-x+3>0”的否定是 3． “末位数字是 0 或 5 的整数能被 5 整除”的 否定形式是 否命题是 4．写出下列命题的否定，并判断其真假： 2 （1）p：m∈R，方程 x +x-m=0 必有实根； （2）q：R，使得 x2+x+1≤0； 5．写出下列命题的“非 P”命题，并判断其真假： （1）若 m>1，则方程 x2-2x+m=0 有实数根． （2）平方和为 0 的两个实数都为 0． （3）若 ABC 是锐角三角形， 则 ABC 的任何一个内角是锐角． （4）若 abc=0，则 a,b,c 中至少有一为 0． （5）若(x-1)(x-2)=0 ，则 x≠1,x≠2． 八、参考答案： 1． B 2． xR，x2-x+3≤0 3．否定形式：末位数是 0 或 5 的整数，不能被 5 整除 否命题：末位数不是 0 且不是 5 的整数，不能被 5 整除

4． （1）p：m∈R，方程 x +x-m=0 无实根；真命题。 （2）q：R，使得 x2+x+1>0；真命题。 2 5． ⑴ 若 m>1，则方程 x -2x+m=0 无实数根，(真)； ⑵平方和为 0 的两个实数不都为 0(假)； ⑶若 ABC 是锐角三角形， 则 ABC 的任何一个内角不都是锐角(假)； ⑷若 abc=0，则 a,b,c 中没有一个为 0(假)； ⑸若(x-1)(x-2)=0，则 x  1 或 x  2 ，(真)．

2