巧用变量换元法--求解圆锥曲线型无理函数的值域
2014年3月解法探究
教学参谋
巧用变量换元法，求解圆锥曲线型无理函数的值域
筅浙江省余姚市第八中学
马化花
对无理函数的值域求法通常有判别式法、三角换元法、构造平面向量法、构造截距法、构造点到直线的距离法等（文［1］［2］［3］）.但最直接的思想就是将无理函数的值域问题转化为有理函数的值域问题.本文就通过变量换元法将无理函数y=dx+e+姨的值域问题转化为有理函数的值域问题，思路新颖别致，甄别传统的方法，望能对读者起到抛砖引玉的作用.
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二、变量换元法在求无理函数值域中的应用
下面通过一些实例说明上述变量换元的功效.例1［1］
求函数y=2x+姨的值域.
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解：设y=姨x≥0，从而有，x-）
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3
-2--y=1
4
2
2
一、构造变量换元思想的根源
1.巧引斜率作为变量进行变量换元
如果三项式ax2+bx+c有相异实根λ，μ，即ax2+bx+（1）c=a（x-λ）（x-μ），则可令姨=t）.其几何意义（x-λ
是：如果三项式ax2+bx+c有相异实根λ，μ，则二次曲线y=（λ，0），（μ，0）.过其中一点例姨与x轴交于两点如（λ，0）的割线为y=t（x-λ）.对于斜率t取定值，二次曲线与它的割线有另一个交点.显然，当t在某一范围内连续变动时，这些交点（x，y）描出二次曲线y=姨.为将姨=t）两边平方得（x-λ借助参数t表示坐标x，22到t（）但点（λ，0）在二次曲线上，因而x-λ=ax2+bx+c，
22
aλ2+bλ+c=0.故t（））（x+λ）+b（x-λ），两边约x-λ=a（x-λ
2
去非零因式x-λ，得t（）=a（x+λ）+b，这是关于x的一x-λ次方程，因而x可表示为t的有理函数，进而所求函数就可以表示为t的有理函数，而这正是我们所期望实现的.显然，令姨=t（x-μ）也可同样达到目的.
（2）类似地，如果c>0，则二次曲线y=姨与y
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（y≥0）.因此，y=姨（x≥0）表示中心在，0-的双曲线在x轴上方的部分，且渐近线方程为y=3
2
33x--±-.作代换姨=x--t①，由折线y=
2231x-0∈-t与曲线y=姨.要相交易知，t∈-x≥0）
22
131+4t0-，t∈-对①式两边平方后得x-=.于是原
228t
33
x-x--其定义域为（-∞，+3+%-t-，函数变为y=2-22
%
%
2
1］∪［2，+∞）.
情形1：当x≥2时，y=3x-3
1
42t+
t
∪∪∪∪∪∪∪∪∪
∪∪∪∪∪∪∪∪∪
--
31+4t2
-t+3=-t+3=3
28t
3
14
易知在t∈0时+3，由对勾函数y=t+
2t
姨∈
∪∪∪∪∪∪∪∪∪
±姨.于是可作代换姨=轴有两个交点（0，
%%
3
14
函数y=t+是单调递减的，故y=
t21
2
∪∪∪∪∪∪∪∪∪
34t+t
+3≥
其中t是过点（0，的割线的斜率.并且作代tx+姨，姨换姨=tx-姨也可达到目的.2.巧引截距作为变量进行变量换元
如果a>0，此时曲线y=姨为双曲线的一部
b%%
，分，其渐近线为y=±姨x+于是可作代换姨2a
%
%
%
%%
31+×2-+3=4，当且仅当t=时取到等号.1242
31+4tx--当x≤1时，y=姨-t+3=-t+3=-情形2：
28t
2
%
姨姨
%
-
113130+t-+3，由对勾函数y=+t易知，在t∈姨8t28t22姨1131+t是单调递减，在t∈%
8t22姨2
高中版
=t-姨x，其中t是一条渐近线的平行线y=t-姨x在y轴作变换姨=t+姨x同样有效.上的截距.显然，
%
%%
时函数y=
∈
∈
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教学参谋
解法探究2014年3月
1313+t+3≤时函数y=+t是单调递增的，故y=-8t28t2-2号.
因为分段函数值域是每一段值域的并集，所以原函［4+∞）.数y=2x+姨的值域为-∞，-姨+3∪
2
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