高中函数及其性质

高中函数及其性质

一、函数的基本性质：

1. 函数图像的对称性

（1） 奇函数与偶函数：奇函数图像关于坐标原点对称，对于任意x ∈D ，都有f (-x ) =-f (x ) 成立；

偶函数的图像关于y 轴对称，对于任意x ∈D ，都有f (-x ) =f (x ) 成立。

（2） 原函数与其反函数：原函数与其反函数的图像关于直线y =x 对称。 若某一函数与其反函数表

示同一函数时，那么此函数的图像就关于直线y =x 对称。

（3） 若函数满足f (x ) =f (2a -x ) ，则f (x ) 的图像就关于直线x =a 对称；若函数满足

f (x ) =-f (2a -x ) ，则f (x ) 的图像就关于点(a ,0) 对称。

（4） 互对称知识：函数y =f (x -a ) 与y =f (a -x ) 的图像关于直线x =a 对称。 2．函数的单调性

函数的单调性是针对其定义域的某个子区间而言的。判断一个函数的单调性一般采用定义法、导

数法或借助其他函数结合单调性的性质（如复合函数的单调性）

特别提示：函数y =x +3．函数的周期性

对于函数y =f (x ) ，若存在一个非零常数T ，使得当x 为定义域中的每一个值时，都有

a

(a >0) 的图像和单调区间。 x

f (x +T ) =f (x ) 成立，则称y =f (x ) 是周期函数，T 称为该函数的一个周期。若在所有的周期中

存在一个最小的正数，就称其为最小正周期。

（1） 若T 是y =f (x ) 的周期，那么nT (n ∈Z ) 也是它的周期。

T

的周期函数。 a

（3） 若函数y =f (x ) 的图像关于直线x =a 和x =b 对称，则y =f (x ) 是周期为2(a -b ) 的函数。

（2） 若y =f (x ) 是周期为T 的函数，则y =f (ax +b ) (a ≠0) 是周期为

（4） 若函数y =f (x ) 满足f (x +a ) =-f (x ) (a ≠0) ，则y =f (x ) 是周期为2a 的函数。 4. 函数的最值：

常规求法：配方法、判别式法、不等式法、换元法、构造法 5．Gauss(高斯) 函数

对于任意实数x ，我们记不超过x 的最大整数为[x ]，通常称函数y =[x ]为取整函数。又称高斯函数。又记{x }=x -[x ]，则函数y ={x }称为小数部分函数，它表示的是x 的小数部分。

高斯函数的常用性质：

（1） 对任意x ∈R , 均有x -1

（4） 若n ∈Z , x ∈R , 则有[x +n ]=n +[x ], {n +x }={x }，后一个式子表明y ={x }是周期为1的函数。

*

（5） 若x , y ∈R , 则[x ]+[y ]≤[x +y ]≤[x ]+[y ]+1 （6） 若n ∈N , x ∈R , 则[nx ]≥n [x ]

二、应用举例：

例1．已知f (x ) 是一次函数，且f 10(x ) =1024x +1023．求f (x ) 的解析式．

例2．已知f (x ) =

bx +11k

(a , b 是常数，ab ≠2), 且f (x ) f () =k .(1) 求k ; (2) 若f (f (1)) =, 求a , b . 2x +a x 2

n ≥1000⎧n -3

例3．函数f (n ) =⎨，求f (84)

f (f (n +5)), n

函数迭代中的”穿脱”技巧

设函数y=f(x),并记f n (x)=f(f(f„(fx)„), 其中n 是正整数, f n (x)叫做函数f(x)的n 次迭代, 函数迭代是一种特殊的函数复合形式, 在现代数学中占有很重要的地位, 尤其是近年来在国内外数学竞赛屡次出现, 成为热点问题之一, 以引起广在数学爱好者的关注. 由f(x)(或f n (x)的表达式”穿上”或”脱去”n-1个函数符号得出f n (x)(或f(x))的函数迭代问题, 这里我们对数学竞赛中穿脱问题的解题技巧作简单介绍和粗浅的探索. 1程序化穿脱

“穿”,”脱”函数符号是一种有序的过程, 由内至外一层层穿上f, 或从外至内一层层脱

去f, 往往是一种程序化的模式,

例 已知f(x)=

x +x

2

, 求f n (x).

2实验法穿脱

许多情况下, 求解穿脱问题并非只是一种程序化的操作, 还需要用敏锐的思维和眼光去发现穿脱过程所蕴含的规律性, 实验是发现的源泉, 是发现规律的金钥匙.

例函数定义在整数集上, 且满足 f(n)= n-3 (n≥1000)

f[f(n+5)](n＜1000求f(84)

例21 对任意的正整数k, 令f 1(k)定义为k 的各位数字和的平方. 对于n ≥2令f n (k)=f1(fn-1(k)),求f 1988(11). 3周期性穿脱

在求解函数迭代问题时我们经常要借助于函数的周期性, 利用周期性穿脱要能达到进退自如, 做到需穿插则穿, 需脱则脱, 从而优化解题过程. 例定义域为正整数的函数, 满足: f(n)= n-3 (n≥1000)

f[f(n+7)](n＜1000. 试求f(90) 练习

1. 设n 是自然数,f(n)为n 2+1(十进制) 的数字之和,f 1(n)=f(n),求的f 100(1990)值.

2. 已知f(x)=

例4．求函数y =x +

2x -1

. 设f 35(x)=f5(x),求f 28(x). x +1

x 2-3x +2的值域。

y =x +x 2-3x +2⇒x 2-3x +2=y -x ≥0

3y 2-2

两边平方得(2y -3) x =y -2，从而y ≠且x =。

22y -3

2

y 2-2y 2-3y +23

由y -x =y -≥0⇒≥0⇒1≤y

2y -32y -32y 2-2

任取y ≥2，由x =，易知x ≥2，于是x 2-3x +2≥0。

2y -3

3y 2-2

任取1≤y

22y -3

于是x 2-3x +2≥0。

因此，所求函数的值域为[1, ) [2, +∞) 。

3

⎧(x -1) =-1⎪(x -1) +2004

例5（1）设x,y 是实数，且满足⎨，求x+y的值 3

⎪(y -1) =1⎩(y -1) +2004

32

（2） 若方程x -2a sin(cosx ) +a =0有唯一解，求a

例6：解方程、不等式：（1）x +log 2(2x -31) =5 （2）(x＋8) 2007＋x 2007＋2x ＋8＝0 （3）(x 2-20x +38) 3+4x 2+152

Ex1.

求y =(3x -1) +(2x -1) 的图象与x 轴交点坐

标。

解：y =(3x -1) +(2x -1)

22

令f (t ) =t 1) ，可知f (t ) 是奇函数，且严格单调，所以

y =f (3x -1) +f (2x -3) ，当y =0时，f (3x -1) =-f (2x -3) =f (3-2x ) ，

所以3x -1=3-2x ，故x =

44，即图象和x 轴交点坐标为(,0) 55

若函数f (x ) 为单调的奇函数，且f (x 1) +f (x 2) =0，则x 1+x 2=0。若遇两个式子结构相同，不妨依此构造函数，若刚好函数能满足上述性质，则可解之。

Ex2. 设函数f (x ) =x 3+log 2(x +

x 2+1) ，则对任意实数a,b, a +b ≥0是

f (a ) +f (b ) ≥0的（ ）

A ．充分必要条件 B．充分不必要条件

C ．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件

探求讨论函数的有关性质，历年来都是数学竞赛的命题热点之一，例如探求函数的周期性，函数的不等式证明，以及解反函数的不等式等问题。而解决这类问题 的办法就是要“穿脱”函数符号“f ”，下面我们从具体的例子谈一谈“穿脱”的技巧与方法. 1. 单调性穿脱法

对于特殊函数的单调性, 我们可以根据函数值相等或函数的单调性对函数“f ”进行“穿脱”, 进而达到化简的目的, 由此使问题获得解答.

已知函数f(x)在区间(-∞,+∞) 上是增函数,a 和b 是实数. 试证: ⑴证明命题:如果a+b≥0那么f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b). ⑵判断⑴中的逆命题是否正确, 并证明你的结论. 2 反函数穿脱法

灵活自如地处理原函数f(x)与反函数f-1(x),并能熟练地运用 f-1 (f(x))=x,f(f-1(x))=x进行穿脱函数符号“f ”，这是极为常用而又重要的方法. 引理 若f(x),g(x)互为反函数, 且f(a+b)=f(a) f(b),则g(mn)=g(m)+g(n)

1

例 已知函数f(x)满足:①f(2)=1;②函数的值域为[-1,1];③严格递减; ④f(xy)= f(x)+f(y).

1

11

试求:⑴求证: 4不在f(x)的定义域内⑵求不等式f -1(x)f-1() ≤的解集

1-x 2

3定义探求法

在求解有关函数方程的问题时, 我们经常会遇到要证明某函数为周期性函数, 此时我们一

般采用周期函数的定义来求解, 探求函数的有关性质.

例 设a>0, f(x)是定义在实数集上的一个实值函数, 且对每一实数x, 有

1

f(x+a)=2+

f (x ) -[f (x )]2

⑴证明: f(x)是周期函数;

⑵对a=1,具体给出一个这样的非常数的函数f(x)

例7．设a >1，a , θ均为实数，试求当θ变化时，函数y =

例8．设f (x ) 是定义在Z 上的一个实值函数，f (x ) 满足⎨求证：f (x ) 是周期为4的周期函数。

例9．已知函数f(x)对任意实数x, 都有f(x＋m) ＝－ 三、练习

(a +sin θ)(4+sin θ)

的最小值。

1+sin θ

⎧f (x +y ) +f (x -y ) =2f (x ) f (y ) ⎩f (1)=0

①，②

1-f (x )

, 求证f(x)是周期函数

1+f (x )

1．集合M 由满足如下条件的函数f (x )组成：当x 1, x 2∈[-1, 1 ]时，有

f (x 1)-f (x 2)≤4x 1-x 2，对于两个函数f 1(x )=x 2-2x +5, f 2(

x )=

中成立的是（ ）

A . f 1∈M , f 2∈M ; B . f 1∉M , f 2∉M ; C . f 1∉M , f 2∈M ; D . f 1∈M , f 2∉M ;

2．设f (x ) ＝

1+x

，记f 1(x )=f (x )，若f n +1(x ) =f (f n (x )) ， 则f 2006(x ) ＝（ ） 1-x

11+x x -1

A 、x B 、- C 、 D 、

x 1-x x +1

-y

3．若(log 23) x -(log 53) x ≥(log 23)

-(log 53)

-y

，则( )

(A ) x -y ≥0 (B ) x +y ≥0 (C ) x -y ≤0 (D ) x +y ≤0

4．定义在实数集上的函数f(x)，对一切实数x 都有f(x＋1) ＝f(2－x) 成立，若f(x)＝0仅有101个不同的实数根，那么所有实数根的和为( ) A.150 B.

303305

C.152 D. 22

5．已知f (x ) =a sin x +b x +4（a 、b ；实数）且f (lglog 310) =5，则f (lglg 3) 的值是 （ ）

（A ） -5 （B ） -3 （C ） 3 （D ） 随a 、b 取不同值而取不同值

lg(1-x 2)

6．函数f (x ) =的奇偶性是:

|x -2|-2

A. 奇函数 B. 偶函数 C. 既是奇函数又是偶函数 D. 不是奇函数又不是偶函数

2

7．已知函数f (x )=l o g a ax -x +

⎛

⎝1⎫

⎪在[1,2]上恒正，则实数a 的取值范围是 2⎭

( )

（A ）

⎛15⎫, ⎪ ⎝28⎭⎛1⎝2

⎫⎭

（B ） , +∞⎪ （C ） , ⎪ , +∞⎪

⎛3⎝2⎫⎭⎛15⎫⎝28⎭⎛3⎝2⎫⎭

（D ） , +∞⎪

8．函数f (

x )=

的值域为（ ）

B . ⎡1, C. ⎡1, 3⎤ D. [1, 2] A . ⎡1, ⎢⎣⎣⎣2⎥⎦

9．给定实数x ，定义[x ]为不大于x 的最大整数，则下列结论中不正确的序号是 （ ）

①x -[x ]≥0②x -[x ]

3

③f (x ) =x -[x ]是周期函数④f (x ) =x -[x ]是偶函数

10．函数f (x ) =x +x -10sin x +3, (x ∈[-10, 10])，则f min (x ) +f max (x ) = 11。实数x ，y 满足x 2＝2xsin(xy)－1，则x 2006＋6sin 5y ＝______________ 12．方程ln(x 2+1＋x) ＋ln(4x 2+1＋2x) ＋3x ＝0的解集是3

⎧⎪x +sin x -2a =0

13．. 已知x , y ∈[-, ],a ∈R , 且⎨3，则cos(x +2y ) =

44⎪⎩4y +sin y cos y +a =0

ππ

14．下列说法正确的是

（1）函数y =f (a +x ) 与y =f (a -x ) 关于直线x =a 对称； （2）函数y =f (a +x ) 与y =f (a -x ) 关于y 轴对称；

（3）若函数f (x ) 满足f (a +x ) =f (a -x ) ，则f (x ) 关于直线x =a 对称； （4）若函数f (x ) 满足f (a +x ) =f (a -x ) ，则f (x ) 关于y 轴对称 15．若函数

f (x ) 的定义域为R ，且对于x 的任意值都有

f (x +2005) =f (x +2004) +f (x +2006) ，

则函数f (x ) 的周期为__________。

16．设方程log 3x +x -3=0的根为x 1, 方程3+x -3=0的根为x 2, 则x 1+x 2 17．函数f (x ) =min{4x +1, x +2, -2x +4}，则f max (x ) = 18．设x >1, y >1, S ={logx 2,log 2y ,log y (8x 2)}则S 的最大值为19．设函数f 0(x ) =x , f 1(x ) =f 0(x ) -, f 2(x ) =f 1(x ) -2，求函数y =f 2(x ) 的图象与x 轴所围成的封闭部分的面积．

20．k 为何实数时，方程x 2-2x +3=k 有四个互不相等的实数根．

21．(1)若函数满足f (a +x ) =f (a -x ) ，求证f (x ) 的图像就关于直线x =a 对称

(2)函数f (x ) =x 4+2x 3+4x 2+cx 的图像关于某条垂直于x 轴的直线对称，求实数c 的值 ⎧x +1, 0≤x ≤1

⎪，定义22．已知f (x ) =⎨f n (x ) =f (f ( f (x ) )) , n ∈N *

⎪2(1-x ), 1

2⎩

（１）求f 2001(2) （２）设B ={x |f 15(x ) =x , x ∈[0, 1]}，求证：B 中至少含有9个元素．

函数f (x ) 的定义域关于原点对称，但不包括数0，对定义域中的任何实数x ，在定义域中存在x 1, x 2，使得x =x 1-x 2, f (x 1) ≠f (x 2) ，且满足以下三个条件：（１）x 1, x 2是定义域中的

x

数，

f (x 1) ≠f (x 2) 或0

f (x 1) f (x 2) +1

；（２）f (a ) =1（a 是一

21个正常数）；（３）当00．求证：（１）f (x ) 是奇函数；（２）f (x ) 是周期函数，并求出其周期；（３）f (x ) 在(0, 4a ) 内为减函数．