多元函数分析性质之间的关系
多元函数分析性质之间的关系
本文主要介绍了二元函数连续性,偏导性存在及可微性的基础知识,对它们分别进行了总结证明和进一步的讨论,总结出这三个概念之间的关系,并举出例子加以论证支撑。由浅入深,从简单开始,逐步深入,做深入探究多元函数连续性,偏导数及可微性之间的关系。
一、二元函数的连续、偏导数及可微三个概念的定义
(一)二元函数的连续性
定义 1 设f 为定义在点集D ⊂R 2上的二元函数,P 0∈D (它或者是D 的聚点,或者是D 的孤立点)。对于任给的正数ε,总存在相应的正数δ,只要P ∈U (P 0; δ) D , 就有 f (P ) -f (P 0)
则称f 在D 上任何点都关于集合D 连续,在不误解的情况下,也称f 在点P 0连续。
若f 在D 上任何点都关于集合D 连续,则称f 在点P 0连续。
由上述定义知道:若P 0是D 的孤立点,则P 0必定是f 关于D 的连续点;若P 0是D 聚点,则f 关于D 在P 0连续等价于
lim f (P ) =f (P 0)
P →P 0P ∈D
(二)二元函数的可微性
定义2 设函数z
于U (p 0) 中的点
量∆z 表示为∆z 对=f (x , y ) 在点p 0(x 0, y 0) 的某领域U (p 0) 内有定义,在点p 0处的全增p (x , y )=(x 0+∆x , y 0+∆y ) ,若函数f =f (x 0+∆x , y 0+∆y ) -f (x , y ) =A ∆x +B ∆y +o (ρ) ,
=∆x 2+∆y 2,o (ρ) 是较ρ高其中A , B 是仅与点P 0有关的常数,ρ
阶的无穷小量,则称函数f 在点P 0处可微,并称上式中关于∆x ,∆y 的线性函
数A ∆x +B ∆y 为函数f 在点P 0的全微分,记作
df (x 0, y 0) =A ∆x +B ∆y d z |p 0=
由上可知dz 是∆z 的线性主部,特别当|∆x |,|∆y |充分小时,全微分dz 可作为全增量∆z 的近似值,即
有时也把
写成如f (x , y ) ≈f (x 0, y 0) +A (x -x 0)+B (y -y 0) ∆z =f (x 0+∆x , y 0+∆y ) -f (x , y ) =A ∆x +B ∆y +o (ρ) 下形式∆z =A ∆x +B ∆x +α∆x +β∆y ,这里(∆x , ∆y ) →(0, 0) l i m α=(∆x , ∆y ) →(0, 0) l i m β=0
(三)二元函数的偏导数
由一元函数微分学知道:若f (x 0+∆x ) -f (x 0) =A ∆x +o (∆x ), 其中A =f ' (x 0) 。同样,若二元函数f 在点(x 0, y 0) 可微,则f 在(x 0, y 0) 处的全增量可由∆z =f (x 0+∆x , y 0+∆y ) -f (x 0, y 0) =A ∆x +B ∆y +o (ρ) 表示。现在讨论其中A 、B 的值与函数f 的关系。为此,在式子∆z =A ∆x +B ∆y +α∆x +β∆y 中令∆y =0(∆x ≠0) ,这时得到∆z 关于x 的偏增量∆x z ,且有∆x z =A ∆x +α∆x 或者∆x z =A +α ∆x
现让∆x →0,由上式得A 的一个极限表达式 ∆x z f (x 0+∆x , y 0) -f (x 0, y 0) =lim A =lim ∆x →0∆x ∆x →0∆x
容易看出,上式右边的极限正是关于x 的一元函数
类似地,
令∆x =0(∆y
由∆z f (x , y 0) 在x =x 0处的导数。≠0) , =A ∆x +B ∆y +α∆x +β∆y 又得到
f (x 0, y 0+∆y ) -f (x 0, y 0) ,它是关于y 的一元B =lim =lim ∆x →0∆y ∆y →0∆y
函数∆y z f (x 0, y ) 在y =y 0处的导数。
=f (x , y ) 在点(x 0, y 0) 处对x 的偏导数,实际上是综上所述,可知函数z
把x 固定在x 0,让y 有增量∆y ,如果极限存在,那么次极限称为函数z =f (x , y ) 在(x 0, y 0) 点处对y 的偏导数,记作f y (x 0, y 0) 。
因此,二元函数当固定其中一个自变量时,它对另一个自变量的导数称为偏导数,可定义如下:
定义 3 设函数z =f (x , y ), (x , y ) ∈D . 若(x 0, y 0) ∈D , 且f (x , y 0) 在x 0的某一领域内有定义,则当极限 ∆x f (x 0, y 0) f (x 0+∆x , y 0) -f (x 0, y 0) =lim lim 存在时,称∆x →0∆x →0∆x ∆x
这个极限为函数f 在点(x 0, y 0) 关于x 的偏导数,记作f x (x 0, y 0)或∂f ∂x (x 0, y 0)
注意 1 这里符号
仿,但没有差别。
注意 2 在上述定义中,
少在(x , y )
定义。
若函数z ∂∂d 专用于偏导数算符,与一元函数的导数符号相∂x ∂y dx f 在点(x 0, y 0) 存在关于x (或y ) 的偏导数,f 至{(或{(x , y ) x =x 0, y -y 0
导数),记作
=f (x , y ) 在区域D 上对x (或对y )的偏导函数(也简称偏∂f (x , y ) ⎫∂f (x , y ) ⎛ f y (x , y ) 或⎪f x (x , y ) 或 ⎪∂y ⎭∂x ⎝
也可简单的写作∂f ⎛∂f ⎫ f y , z y 或⎪f z , z x 或 ⎪∂x ⎝∂y ⎭
二、二元函数三个概念的结论及证明
(一)二元函数连续性的结论总结及证明
一元函数若在某点存在左导数和右导数,则这个一元函数必在这点连续,但对于二元函数f (x , y ) 来说,即使它在某点P 0(x 0, y 0) 即存在关于x 的偏导数f x (x 0, y 0) ,又存在关于y 的偏导数f y (x 0, y 0) ,f (x , y ) 也未必在点P 0(x 0, y 0) 连续,如下定理有:
定理 1 设函数z 内有定义,若=f (x , y ) 在点P (0)0x 0, y 0) 的某邻域U (P
f (x 0, y ) 作为y 的一元函数在点y =y 0连续,f x (x , y ) 在U (P 0) 内有界,则f (x , y ) 在点P 0(x , y ) 连续。
证明:任取(x 0+∆x , y 0+∆y ) ∈U (P 0) , 则
f (x 0+∆x , y 0+∆y ) -f (x 0, y 0)
=f (x 0+∆x , y 0+∆y ) -f (x 0, y 0+∆y ) +f (x 0, y 0+∆y ) -f (x 0, y 0)
(1)
由于f x (x , y ) 在U (P 0) 存在,故对于取定的y 0
为x 的一元函数在以x 0和x 0+∆y ,f (x , y 0+∆y ) 作+∆x 为端点的闭区间上可导。从而据一元函数微分学中的拉格朗日中值定理,存在θ∈,使 (0, 1)
f (x 0+∆x , y 0+∆y ) -f (x 0, y 0+∆y ) =f x (x 0+θ∆x , y 0+∆y ) ∆x 将它代入(1)式,得
=f x (x 0
由于(x 0f (x 0+∆x , y 0+∆y ) -f (x 0, y 0) +θ∆x , y +∆y ) ∆x +f (x 0, y 0+∆y ) -f (x 0, y 0) (2) +θ∆x , y 0+∆y ) ∈U (P 0) , 故f x (x 0+θ∆x , y 0+∆y ) 有界,因而当(x 0, ∆y ) →(0, 0) 时有
f (x 0+∆x , y 0+∆y ). ∆x →0
=y 0连续,故当(∆x , ∆y ) →(0, 0) 时,又据定理的条件知,f (x 0, y ) 在y
又有 f (x 0, x 0+∆y ) -f (x 0, y 0) →0.
所以,由(2)知,有
∆x →0∆y →0lim [f (x 0+∆x , y 0+∆y ) -f (x 0, y 0) ]=0.
这说明f (x , y ) 在点P 0(x 0, y 0) 连续。
若=f (x , y ) 在点P 0(x 0, y 0) 的某邻域U (p 0) 内有定义,推论 1 设函数z
f (x 0, y ) 作为y 的一元函数在点y =y 0连续,f x (x , y ) 在点P 0(x 0, y 0) 连续,则f (x , y ) 在点P 0(x 0, y 0) 连续。
证明 由于f x (x , y ) 在点P 0(x 0, y 0) 连续,故f x (x , y ) 必在点P 0(x 0, y 0) 的某邻域内有界,因而据定理1,
推论 2 设函数z f (x , y ) 在点P 0(x 0, y 0) 连续。 =f (x , y ) 在点P 0(x 0, y 0) 的某邻域U (P 0) 内有定义,若
f x (x , y ) 在U (P 0) 有界,f y (x 0, y 0) 存在,则f (x , y ) 在点P 0(x 0, y 0) 连续。
证明:由于f y (x 0, y 0) 存在,故
续,从而据定理1可得,f (x 0, y ) 作为y 的一元函数在点y =y 0连f (x , y ) 在点P 0(x 0, y 0) 连续。
同理可证如下的定理2及其推论。
定理2 设函数z =f (x , y ) 在点P 0(x 0, y 0) 的某邻域U (P 0) 有定义,f y (x , y ) 在U (p 0) 内有界,f (x , y 0) 作为x 的一元函数在点x =x 0连续,则f (x , y ) 在点P 0(x 0, y 0) 连续。
推论 1 设函数z 有定义,=f (x , y ) 在点P 0(x 0, y 0) 的某邻域内U (P 0)
则f (x , y ) 在点P f y (x , y ) 在点U (P 0) 内有界,f x (x , y ) 存在,0(x 0, y 0) 连续。
推论2 设函数z =f (x , y ) 在点P 0(x 0, y 0) 的某邻域U (P 0) 有定义,
f y (x , y ) 在点P 0(x 0, y 0) 连续,f x (x 0, y 0) 存在,则f (x , y ) 在点P 0(x 0, y 0) 连续。
(二)二元函数可微性的结论总结及证明
众所周知,一元函数中,可微性与可导是一回事,但在二元函数中情况就不同了。
定理3 函数f (x , y ) 在点P (x 0, y 0) 科委的充分必要条件是f (x , y ) 在点
∀ε>0,∃δ>0,当P (x 0, y 0) 的两个偏导数都存在,且对
f (x , y ) -f (x 0, y ) -f (x , y 0) +f (x 0, y 0) ≤ε(x -x 0+y -y 0). 证明 必要性 已知f (x , y ) 在点P (x 0, y 0) 可微,故f x (x 0, y 0) 与f y (x 0, y 0) 存在,且
∆z =f (x , y ) -f (x 0, y 0) =f x (x 0, y 0)(x -x 0) +f y (x 0, y 0)(y -y 0) +o (ρ) 其中ρ=x -x 0) +(y -y 0) .
即
f (x , y ) -f (x 0, y ) -f (x , y 0) +f (x 0, y 0)
=f (x , y )(x -x ) -f (x , y ) -f (x , y ) +x 000000 f (x , y ) +f (x , y )(y -y ) -f (x , y ) -f (x , y ) +o (ρ) y 00y 000000[[]]
于是,当(x , y ) ≠(x 0, y 0) 时,有 f (x , y ) -f (x 0, y ) -f (x , y 0) +f (x 0, y 0)
x -x 0+y -y 0 ≤
f (x 0, y ) -f (x 0, y 0) f x (x 0, y 0) -x -x 0x -x 0ρ f y (x 0, y 0) -
+
f (x 0, y ) -f (x 0, y 0) ⋅y -y 0y -y 0ρ+o (ρ) ρ
f (x , y ) -f (x , y ) ≤f x (x 0, y 0) - x -x 0
+
从而当ρf y (x 0, y 0) -f (x 0, y ) -f (x 0, y 0) o (ρ) +→0(ρ→0) y -y 0ρ→0(即(x , y ) →(x 0, y 0) )时, f (x , y ) -f (x 0, y ) -f (x , y 0) +f (x 0, y 0) →0 x -x 0+y -y 0
与 即∀ε>0, ∃δ>0,当x -x 0
∀ε所以,
有 >0. ∃δ>0,当x -x 00,∃δ>0,当x -x 0
令ρf (x , y ) -f (x 0, y 0) -f (x , y 0) +f (x 0, y 0) ≤ε(x -x 0+y -y 0) =x -x 0) +(y -y 0) ,则当ρ→0时,有 f (x , y ) -f (x 0, y ) -f (x , y 0) +f (x 0, y 0)
ρ→0
于是当(x , y ) ≠(x 0, y 0) 时,有
+ ∆z -f x (x 0, y 0)(x -x 0)f y (x 0, y 0) f y (y -y 0)
[f (x , y ) -f (x 0, y ) -f (x , y 0) +f (x 0, y 0) ]+⎢f (x 0, y ) -f (x 0, y 0) ⎥(x -x 0) ⎣x -x 0⎦
⎡f (x 0, y ) -f (x 0, y 0) ⎤ +⎢ -f y (x 0, y 0) ⎥(y -y 0)y -y 0⎣⎦
从而有 ⎡⎤
∆z -f x (x 0, y 0)(x -x 0) +f y (x 0, y 0) f y (y -y 0)
ρ
f (x , y )-f (x 0, y ) -f (x , y 0) +f (x 0, y 0) = ρ+ ⎡f (x 0, y ) -f (x 0, y 0) ⎤x -x 0 ⎢-f x (x 0, y 0) ⎥(+ x -x 0⎣⎦ρ
⎡f (x 0, y ) -f (x 0, y 0) ⎤y -y 0) ⎢-f x (x 0, y 0) ⎥(→0(ρ→0) x -x 0ρ⎣⎦
所以,函数f (x , y ) 在点P (x 0, y 0) 可微,证毕。
定理 4 若函数z =f (x , y ) 在点(x 0, y 0) 点处,f x (x , y ) 连续f y (x 0, y 0)
=f (x , y ) 在点(x 0, y 0) 存在(或f x (x 0, y 0) 存在,f y (x , y ) 连续),则函数z
处可微。
由此定理的条件扔有对一个偏导数(二元)连续性的要求。因而用来判断函数的可微性仍有较大的局限性。例如:对于函数 1⎧222x sin , x +y ≠0⎪22 f (x , y ) =⎨, x +y ⎪0, x 2+y 2=0⎩
12x 3122f x (x , y ) =2x sin 2-cos (x +y ≠0) 222222x +y (x +y ) x +y
2x 2y 122f y (x , y ) =-2cos (x +y ≠0) 2222(x +y ) x +y 有
从而 121f x (x , 0) =2x sin 2-cos 2(x ≠0) x x x
11cos 2(x ≠0) 2x 2x
x →0 f y (x , 0) =-由于lim x →0f x (x , 0) 和lim f y (x , x ) 都不存在,因而f x (x , y ) 和f y (x , y ) 在
点(0, 0) 都不连续,关于f (x , y ) 在点(0, 0) 的可微性,无论是根据教材中所介
绍的定理。还是根据上述定理都不能给出肯定的结论。
本文给出另一个可微的充分条件,它完全放弃对两个偏导数(二元)连续性的要求,因而对某些函数可微性的判定有独到的作用。为了叙述方便,引入如下概念。
定义 如果对于函数z =f (x , y ) 存在η>0时,使得当∆y
f (x 0+∆x , y 0+∆y ) -f (x 0, y 0+∆y ) ⎧⎪-f x (x 0, y 0+∆y )(∆x ≠0) α(∆x , ∆y ) =⎨∆x ⎪0(∆x =0) ⎩
关于∆y 一直趋向于0,即对任意的ε
对任意∆y (>0,存在δ>0,当0
(三)二元函数偏导数的结论总结
二元函数f (x , y ) 在点(x 0, y 0) 的两个偏导数有明显的几何意义:设M 0(x 0, y 0, f (x 0, y 0)) 为曲面z =f (x , y ) 上的一点,过M 0做平面y =y 0,截此曲面得一曲线,此曲线的平面y =y 0上的方程为z =f (x , y 0) ,则导致d ,即偏导数f x (x 0, y 0) ,就是这曲线在点M 0处的切线f (x , y 0) dx x →x 0
M 0T X 对x 轴的斜率。同样,偏导数f x (x 0, y 0) 的几何意义是曲面被平面x =x 0所截得的曲线在点M 0处的切线M 0T 0对y 轴的斜率。
我们已经知道,如果一元函数在某点具有导数,则它在该点必定连续,但对于二元函数来说,即使各偏导数在某点存在,也不能保证函数在该点连续,这是因为哥偏导数存在只能保证点P 沿着平行于坐标轴的方向趋于P 0时,函数值f (p ) 趋于f (p 0) ,但不能保证点P 按任何方式趋于P 0时,函数值f (p ) 都趋于f (p 0) 。
三、二元函数三个概念之间的关系的总结
对一元函数来说,可导必连续。但对于二元函数来说,即使f x ,f y 存在但f 也不一定连续。事实上,对于二元函数来说,函数在一点处的偏导数存在和函数在该点处连续是没有必然联系的,下面加以说明这个问题。 (一)二元函数连续,但偏导不一定存在的举例证明
例 1 讨论函数g (x , y ) =
存在?
解: 由 x 2+y 2在点(0, 0) 处的连续性和偏导数是否(x , y ) →(0, 0) lim
0 g (x , y ) =(x , y ) →(0, 0) lim x 2+y 2 =
=g (0, 0)
x 2+y 2在点连续。 (0, 0) 可知函数g (x , y ) =
而由偏导数定义: g (0+∆x , 0) -g (0, 0) f x (0, 0) =lim ∆x →0∆x
=∆x →0lim ∆x ⎧1∆x >0∆x 2=lim =⎨ ∆x →0∆x ∆x ⎩-1∆x
(0,0) 所以函数g (x , y ) 在点点的偏导数不存在。
由此说明,二元函数在一点连续,偏导数未必存在。
(二)二元函数偏导存在,但不一定连续的举例证明
例2 函数⎧x 2+y 2f (x , y ) =⎨⎩1xy =0xy ≠0在点(0, 0)处f x (0, 0), f y (0, 0) 存在,但不连续。
证明:由偏导数定义:
f x (0, 0)
=lim
∆x →0
f (0+∆x , 0) -f (0, 0)
∆x
= =
∆x →0
lim ∆x
=0
同理可求得f y (0, 0) 因为
(x , y ) →(0, 0)
lim
f (x , y ) =
(x , y ) →(0, 0)
lim
(x 2+y 2) =0≠f (0, 0) =1
⎧x 2+y 2
故函数f (x , y ) =⎨
⎩1
综上所述,对于二元函数两者之间没有必然的联系,即该点是否连续无关。
xy =0xy ≠0
(0,0)在点处不连续。
f (x , y ) 在某点(x 0, y 0) 的连续性与偏导数存在,f (x , y ) 在某点(x 0, y 0) 偏导数存在与否,与其在
(三)可微性与偏导数存在关系的举例证明 定理5 (可微的必要条件)若二元函数z
=f (x , y ) 在其定义域内一点
P (0x 0, y 0) 处可微,则f
d (x 0, y 0)
在该点关于每个自变量的偏导数都存在,且
,
=f x (x 0, y 0) dx +f x (x 0, y 0) dx , A =f x (x 0, y 0)
B =f y (x 0, y 0)
证明 由于 ∆z
f (x , y ) 在点P 0(x 0, y 0) 可微,则
=f (x 0+∆x , y 0+∆y ) -f (x 0, y 0) =A ∆x +B ∆y +o (ρ)
其中∆x , ∆y 为自变量x , y 的该变量,A , B 仅与点P 0(x 0, y 0) 有关,而与
∆x , ∆y 无关,ρ=∆x 2+∆y 2
∆z =A ∆x +o (∆x ) ,可见
。若令y
=y 0即∆y =0,于是ρ=∆x ,故
o (∆x ) ∆z ∂z =A + ,f x (x 0, y 0) =∆z ∆x ∂x (x
即f x (x 0, y 0) =
, y 0)
o (∆x )
=lim (A +) =A , ∆x →0∆x
A ,类似可证f y (x 0, y 0) =B .
=f (x , y ) 可微分的必要条件。
可见,对于二元函数,偏导数的存在是函数z
但是偏导数的存在不是函数可微分的充要条件。事实上,当一个二元函数处的偏导数z =f (x , y ) 在点(x , y )
∂z ∂z
,都存在时,尽管形式上可以写成∂x ∂y
∂z ∂z ∆x +∆y ,但是它与∆z 之间可以不是ρ=∆x 2+∆y 2的高阶无式子∂x ∂y
穷小,因而由定义,此时函数z
=f (x , y ) 在点(x , y ) 处的是不可微的。
f (x , y ) 在点P (0x 0, y 0) 处的偏导
注:定理5的逆命题不成立,即二元函数数即使存在也不一定可微。
⎧xy
⎪2
例 3 证明函数f (x , y ) =⎨x +y 2
⎪⎩0
在,但不可微。
证明 由偏导数的定义:
f x (0, 0)
x 2+y 2≠0x 2+y 2=0
在原点两个偏导数存
=lim
∆x →0
f (0+∆x , 0) -f (0, 0)
∆x
0-0
=lim =0
∆x →0∆x
同理可证f y (0, 0)
=0,即在原点关于x 与y 的偏导数存在。
下面利用可微的定义来证明其不可微 用反证法: 若函数 ∆f =
f
在原点可微,则
-df =[f (0+∆x , 0+∆y ) -f (0, 0) ]-f 0(0, 0) dx +f y (0, 0) dy
[]
∆x ∆y ∆x +∆y
2
2
应是较ρ
=∆x 2+∆y 2
ρ→0
的高阶无穷小量,为此考察极限
lim
∆f -df
ρ
=lim
∆x ∆y
22ρ→0∆x +∆y
当动点(x , y ) 沿直线y =mx 趋于时, (0, 0)
xy m m
则 lim =lim =(x , y ) →(0, 0) x 2+y 2(x , y ) →(0, 0) 1+m 21+m
这一结果说明动点沿不同斜率m 的直线趋于原点时,对应的极限值也不同,因此所讨论的极限不存在,故函数
f
在原点不可微。
(四)偏导连续与可微关系的举例证明
定理7 (科委的充分条件)若二元函数z 的某邻域内存在且f x 与
=f (x , y ) 的偏导在点P 0(x 0, y 0)
f y 在点P 0(x 0, y 0) 处连续,则函数f (x , y ) 在点
P 0(x 0, y 0) 可微。
可微的充分条件可以改进: 如果函数z
=f (x , y ) 满足以下条件:
1. f x (x , y ) 在点(x 0, y 0) 处存在;
2. f y (x , y ) 在点(x 0, y 0) 的某个邻域内存在; 3. f y (x , y ) 在点(x 0, y 0) 处连续; 则
f (x , y ) 在点(x 0, y 0) 处可微。
证明:由于f x (x 0, y 0) 存在,即有: 即: 则
∆x →0
lim
f (x 0+∆x , y 0) -f (x 0, y 0)
=f x (x 0, y 0)
∆x
f (x 0+∆x , y 0) -f (x 0, y 0)
=f x (x , y ) +α(其中lim α=0)
∆x →0∆x
f (x 0+∆x , y 0) -f (x 0, y 0) =f x (x 0, y 0) ⋅∆x +α⋅∆x
由于f x (x , y ) 在点(x 0, y 0) 的某个邻域内存在,不妨设f y (x , y ) 在
{x , y ) x -x 0
设g (y ) =f (x 0+∆x , y ) 并规定∆x
ω2⎫⎧
则g (y ) 在⎨y y -y 0≤⎬上没一点都存在,从而g (y ) 在
2⎭⎩ω2⎫ω⎧
y y -y ≤ 上每一点都连续,规定: ∆y ≤⎨⎬0
2⎭2⎩
则根据中值定理存在y 1,使得:g (y 0+∆y ) -g (y 0) =g (y 1) ∆y (其中y 1-y 0≤∆y )
当∆x 2+∆y 2→0且∆y →0 从而有x 0+∆x →x 0,y 1→y 0
又因为f y (x 0+∆x , y 1) =f y (x 0, y 0) 在点(x 0, y 0) 处连续 f y (x 0+∆x , y 1) =f y (x 0, y 0) +β 其中
2
lim
∆x +∆y →0
2
β=0
则
f (x 0+∆x , y 0+∆y ) -f (x 0+∆x , y 0) =f y (x 0, y 0) ⋅∆y +β⋅∆y 综上所述有:
f (x 0+∆x , y 0+∆y ) -f (x 0,y 0)
=[f (x 0+∆x , y 0+∆y ) -f (x 0, y 0) ]+[f (x 0+∆x , y 0+∆y ) -f (x 0, y 0) ] =f x (x 0, y 0) ∆x +α⋅∆x +f y (x 0, y 0) ∆y +β⋅∆y 又因为
2
∆x +∆y →0
2
α⋅∆x +β⋅∆y
∆x +∆y
2
2
=0
故f (x , y ) 在点(x 0, y 0) 点可微,证毕。
例4 求证
1⎧x 2
⎪e y sin
f (x , y ) =⎨y
⎪0⎩
y ≠0y =0
(0,0)在点可微。
证明:因为
∂f f (x +∆x , y ) -f (x , y ) (x , y ) =lim
∆x →0∂x ∆x
x +∆x
2
11x 2
e y sin -e y sin
y y
=lim
∆x →0∆x
1∆x x 2
e y sin (e -1)
y
=lim
∆x →0∆x
1x 2
=e y sin (y ≠0)
y
∂f f (x , y +∆y )
(x , y ) =lim
∆y →0∂x ∆y
11x 2
e (y +∆y ) sin -e y sin
y +∆y y
=lim
∆y →0∆y
x
2
=
2e x y sin
1111
-e x cos =e x (2y sin -cos ).(y ≠0) y y y y
∂f f (x +∆x , 0) -f (x , 0) 0-0
(x , 0) =lim =lim =0
∆x →0∆x →0∂x ∆x ∆x
同理即
∂f
(0, y ) =0 ∂y
1⎧x 2
∂f ⎪e y sin
(x , y ) =⎨y
∂x ⎪0⎩
y ≠0y =0
11⎧x
∂f ⎪e (2y sin -cos )
(x , y ) =⎨y y
∂x ⎪0⎩
于是f x (0, 0)
x 2
y ≠0y =0
=f y (0, 0) =0
1
又lim e y sin =0 ∆x →0y
∆y →0
所以f x (x , y ) 在点连续。 (0, 0)但
∆x →0xy →0
lim e x (2y sin
11
-cos ) 不存在,即f y (x , y ) 在点不连续。 (0, 0)y y
四、多元函数连续性,偏导数存在及可微性关系的总结:
如果函数∆z 定成立。 如果函数∆z
=f (x , y ) 在点(x , y ) 可微分,则函数在该点必连续,反之不一=f (x , y ) 在点(x , y ) 可微分,则函数在该点的偏导数必存在,=f (x , y ) 在点(x , y ) 连续,则偏导不一定存在。 =f (x , y ) 在点(x , y ) 偏导存在,则不一定连续。
=f (x , y ) 在点(x , y ) 偏导连续,则函数在该点必可微,反之不
反之一定成立。 如果函数∆z 如果函数∆z 如果函数∆z 一定成立。