4.向量组的线性相关性
一、选择题
1.设α1=[1,2,1]T , α2=[0,5,3]T , α3=[2,4,2]T ,则向量组α1, α2, α3的秩是( )
A .0 B.1 C.2 D.3
2.若向量组α1=(1,t+1,0),α2=(1,2,0),α3=(0,0,t +1)的秩为2,则实数t=( )
A .0 B.1 C.2 D.3
3.设α1, , αs 为n 维向量组,且秩(α1, , αs ) =r ,则( ).
A .任意r 个向量线性无关 B.任意r+1 个向量线性相关
C. 该向量组存在唯一的最大无关组 D.该向量组在s>r时,有若干个最大无关组
4.设A 为m ⨯n 矩阵,则齐次线性方程组AX
A .m >n 时,方程组仅有零解 2=O 有结论( )
B .m
C .若A 有n 阶子式不为零,则方程组仅有零解
D .若A 中所有n - 1阶子式不为零,则方程组仅有零解
5.设η1, η2是非齐次线性方程组Ax =b 的两个解,则以下结论正确的是( )
A .η1+η2是Ax =b 的解
C .k η1是Ax =b 的解(这里k ≠1) B .η1-η2是Ax =b 的解 D .η1-η2是Ax =0的解
⎛1⎫⎛1⎫⎛a ⎫ ⎪ ⎪ ⎪6. 若向量组α1= 0⎪,α2= 1⎪,α3= b ⎪线性无关,则有( )
c ⎪ 0⎪ 0⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
A. a =b =c B.b =c =0 C.c =0 D.c ≠0
7.向量组α1,α2,…,αs 线性相关的充分必要条件是( )
A .α1,α2,…,αs 中至少有一个向量为零向量
B .α1,α2,…,αs 中至少有两个向量成比例
C .α1,α2,…,αs 中至少有一个向量可以表示为其余向量的线性组合
D .α1,α2,…,αs 中每一个向量都可以表示为其余向量的线性组合
8. 若向量α1=(1, a ,1) T ,α2=(0,a ,1) T ,α3=(1,1,1) T 线性相关,则a =( )
A. 1 B.0 C. -1 D.2
9.设η1, η2是非齐次线性方程组Ax =b 的两个解,则以下结论正确的是( )
A .η1+η2是Ax =b 的解
C .k η1是Ax =b 的解(这里k ≠1) B .η1-η2是Ax =b 的解 D .η1-η2是Ax =0的解
10. 设A 为m×n矩阵,则齐次线性方程组Ax=0仅有零解的充分必要条件是( )
A .A 的列向量组线性无关
C .A 的行向量组线性无关 B .A 的列向量组线性相关 D .A 的行向量组线性相关
11.设A 为m×n矩阵,则齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件是( )
A .A 的列向量组线性无关
C .A 的行向量组线性无关 B .A 的列向量组线性相关 D .A 的行向量组线性相关
⎧x 1+x 3=012.齐次线性方程组⎨ 的基础解系含( )个线性无关的解向量 x +x =04⎩2
A.1 B.2 C.3 D.4
解析:有n -r 个线性无关解向量,n 是未知量的个数,r 是系数矩阵的秩
二、填空题
1. 设α1=(1, 0, 3, -5) T , α2=(1, 2, 1, -3) T , α3=(1, 1, 2, -4) T , α4=(1, 2, 1, 2) T ,则该向量组的 秩为______
2. 向量组α1=(1,5,3,11), α2=(4,2,7,-3), α3=(0,0,0,0),α4=(3,1, -2,13) 的线性相关性是:____
3. 向量组α1=(1,5,3), α2=(4,2,7),α3=(1,2,11), α4=(3,1, -2) 的线性相关性是:________
4. 已知α1=(t ,1,1), α2=(0,2,3),α3=(1,2,1) 线性相关,则t =5. 当k ≠-9时,向量组α1=(1, 2, -3), α2=(-2, -3, 6), α3=(3, 5, k )线性无关
6. 设α1=(1, -1, 1) T , α2=(-2, 3, 1) T , α3=(1, 1, t ) T 。则当t = ____时向量α3能由向量α1, α2 线性表示
7. 设齐次线性方程组AX =O 的基础解系中含有三个解向量,其中A 为4⨯5矩阵,则r (A ) =
8. 向量组α1=(1, 2, 1, 3) T , α2=(4, -1, -5, -6) T , α3=(1, -3, -4, -7) T ,α4=(1, 4, -5, -1) T 的秩为_________
三、计算题
1. 求下列向量组的一个极大无关组,并将其余向量用此极大无关组线性表示。 a 1=(1, 1, 3, 1) T , a 2=(-1, 1, -1, 3) T , a 3=(5, -2, 8, -9) T , a 4=(-1, 3, 1, 7) T
2. 设向量组α1=(1,-1,2,1),α2=(2,-2,4,-2),α3=(3,0,6,-1), α4=(0,3,0,-4).
(1)求向量组的一个极大线性无关组;
(2)将其余向量表为该极大线性无关组的线性组合.
3. 设向量组α1=(1, -1,2,1,0), α2=(2,-2,4, -2,0), α3=(3,0,6,-1,1), α4=(0,3,0,0,1), 求向量组的秩及其一个极大无关组,并把其余向量用此极大无关组线性表出
T T T T
四、证明题
1. α1, α2, α3线性无关,β1=α1+α2+α3,β2=α1+2α2+3α3,β3=α1+3α2+4α3 ,证明向量组β1, β2, β3也线性无关。
2. 如果向量组
性无关
3. 证明:
4. 已知向量组α1, α2, α3线性无关,证明向量组α1+2α2,2α2+3α3,3α3+α1线性无关。 α1, α2, , αs 线性无关,试证:向量组α1, α1+α2, , α1+α2+ +αs 线α1, α2, α3线性无关⇔α1-α2, α2-α3, α3-α1线性无关.